2012届高考数学压轴题预测 2、数列

用心 爱心 专心1 20122012 届高考数学压轴题预测届高考数学压轴题预测 专题专题 2 2 数列数列 1 已知函数 2 1f xxx 是方程f x 0 的两个根 fx是f x 的导 数 设 1 1a 1 n nn n f a aa fa n 1 2 1 求 的值 2 证明 对任意的正整数n 都有 n a a 解析 1 2 1f xxx 是方程f x 0 的两个根 1515 22 2 21fxx 2 1 115 21 21 1 244 2121 nnn nn nnn nn aaa aa aaa aa 5 11 4 21 4212 n n a a 1 1a 有基本不等式可知 2 51 0 2 a 当且仅当 1 51 2 a 时取等号 2 51 0 2 a 同 样 3 51 2 a 51 2 n a n 1 2 2 已知数列 n a的首项 1 21aa a 是常数 且1a 242 2 1 nnaa nn 2n 数列 n b的首项 1 ba 2 nab nn 2n 1 证明 n b从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列 2 设 n S为数列 n b的前 n 项和 且 n S是等比数列 求实数a的值 3 当 a 0 时 求数列 n a的最小项 分析 第 1 问用定义证明 进一步第 2 问也可以求出 第 3 问由a的不同而要分 类讨论 解 1 2 nab nn 222 11 1 2 1 4 1 2 1 nnnanab nnn nn bna222 2 n 2 由 1 21aa 得 2 4aa 22 444baa 1a 2 0b 即 n b从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列 2 1 44 21 34 22 2 2 1 n n n a Saaa 用心 爱心 专心2 当 n 2 时 11 1 22 23434 2 22 234 1 234 n n nn n Saaa Saaaa n S是等比数列 1 n n S S n 2 是常数 3a 4 0 即 4 3 a 3 由 1 知当2n 时 2 44 2 1 2 nn n baa 所以 2 21 1 1 2 2 n n an a an n 所以数列 n a为 2a 1 4a 8a 1 16a 32a 7 显然最小项是前三项中的一项 当 1 0 4 a 时 最小项为 8a 1 当 1 4 a 时 最小项为 4a 或 8a 1 当 1 1 4 2 a 时 最小项为 4a 当 1 2 a 时 最小项为 4a 或 2a 1 当 1 2 a 时 最小项为 2a 1 点评 本题考查了用定义证明等比数列 分类讨论的数学思想 有一定的综合性 考点二 求数列的通项与求和 3 已知数列 n a中各项为 12 1122 111222 111 n 个 222 n 个 1 证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积 2 求这个数列前 n 项之和 Sn 分析 先要通过观察 找出所给的一列数的特征 求出数列的通项 进一步再求和 解 1 12 101 10 101 99 nnn n a 1 101 102 9 nn 101101 1 33 nn 记 A 101 3 n 则 A 333 n 为整数 n a A A 1 得证 2 2 112 1010 999 nn n a 用心 爱心 专心3 2422 112 101010 10 1010 999 nn n Sn 221 1 1011 10198210 891 nn n 点评 本题难点在于求出数列的通项 再将这个通项 分成 两个相邻正数的积 解 决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力 4 已知数列 n a满足 4 1 1 a 2 21 1 1 Nnn a a a n n n n 求数列 n a的通项公式 n a 设 2 1 n n a b 求数列 n b的前n项和 n S 设 2 12 sin n ac nn 数列 n c的前n项和为 n T 求证 对任意的 Nn 7 4 n T 分析 本题所给的递推关系式是要分别 取倒 再转化成等比型的数列 对数列中不 等式的证明通常是放缩通项以利于求和 解 1 2 1 1 n n n aa 1 1 2 1 1 1 1 n n n n aa 又3 1 1 1 a 数列 n n a 1 1 是首项为3 公比为2 的等比数列 1 2 3 1 1 nn n a 即 123 1 1 1 n n n a 12649 123 1121 nnn n b 92643 21 21 1 6 41 41 1 9 nnS nn nn n 1 1 2 12 sin n n 123 1 1 2 3 1 11 1 nnn n n c 当3 n时 则 123 1 123 1 123 1 13 1 12 n n T 2 1 2 2 1 12 1 132 1 1 28 11 23 1 23 1 23 1 7 1 4 1 n n 7 4 84 48 84 47 6 1 28 11 2 1 1 6 1 28 11 2 n 321 TTT 对任意的 Nn 7 4 n T 点评 本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列 n a的通项 n a 第三问不等式的证明要用到放缩的办法 这将到下一考点要重点讲到 考点三 数列与不等式的联系 用心 爱心 专心4 5 已知 为锐角 且12tan 函数 4 2sin 2tan 2 xxxf 数列 an 的首项 2 1 11nn afaa 求函数 xf的表达式 求证 nn aa 1 分析 本题是借助函数给出递推关系 第 2 问的不等式利用了函数的性质 第 3 问是转化成可以裂项的形式 这是证明数列中的不等式的另一种出路 解 1 12 1 12 2 tan1 tan2 2tan 2 2 又 为锐角 4 2 1 4 2sin xxxf 2 nnn aaa 2 1 2 1 1 a n aaa 32 都大于 0 0 2 n a nn aa 1 点评 把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想 本题中的第 3 问不等 式的证明更具有一般性 6 已知数列 n a满足 11 1 21 nn aaanN 求数列 n a的通项公式 若数列 n b满足 nn b n bbbb a 1 4444 1111 321 证明 n b是等差数列 证明 231 1112 3 n nN aaa 分析 本例 1 通过把递推关系式转化成等比型的数列 第 2 关键在于找出连续 三项间的关系 第 3 问关键在如何放缩 解 1 12 1 nn aa 1 21 1 nn aa 故数列 1 n a是首项为 2 公比为 2 的等比数列 n n a21 12 n n a 2 nn b n bbbb a 1 4444 1111 321 nn nbnbbb 24 21 nn nbnbbb 2 2 21 1121 1 1 2 2 nnn bnnbbbb 得 nnn nbbnb 11 1 22 即 1 1 2 nn bnnb 21 2 1 nn nbbn 得 11 2 nnn nbnbnb 即 11 2 nnn bbb 所以数列 n b是等差数列 3 1 11 1 2 1 22 1 12 11 n nn n aa 设 132 111 n aaa S 则 111 2 11 322n aaaa S 1 2 11 12 n a S a 用心 爱心 专心5 3 21 3 212 112 nn aaa S 点评 数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了 而且不容易把握 对于这样的题要 多探索 多角度的思考问题 7 已知函数 ln 1f xxx 数列 n a满足 1 01a 1nn af a 数列 n b满足 11 11 1 22 nn bbnb nN 求证 1 01 nn aa 2 1 2 n n a a 若 1 2 2 a 则当 n 2 时 nn ban 分析 第 1 问是和自然数有关的命题 可考虑用数学归纳法证明 第 2 问可利 用函数的单调性 第 3 问进行放缩 解 先用数学归纳法证明01 n a nN 1 当 n 1 时 由已知得结论成立 2 假设当 n k 时 结论成立 即01 k a 则当 n k 1 时 因为 0 x 1 时 1 10 11 x fx xx 所以 f x 在 0 1 上是增函数 又 f x 在 0 1上连续 所以 f 0 f k a f 1 即 0 1 1 ln21 k a 故当 n k 1 时 结论也成立 即01 n a 对于一切正整数都成立 又由01 n a 得 1 ln 1ln 1 0 nnnnnn aaaaaa 从而 1nn aa 综上可知 1 01 nn aa 构造函数 g x 2 2 x f x 2 ln 1 2 x xx 0 xg 0 0 因为01 n a 所以 0 n g a 即 2 2 n n a f a 0 从而 2 1 2 n n a a 因为 11 11 1 22 nn bbnb 所以0 n b 1n n b b 1 2 n 所以 12 1 121 1 2 nn n n nn bbb bbn bbb 由 2 1 2 n n a a 知 1 2 nn n aa a 所以 1 n a a 31212 121 2 22 nn n aaaaa a aaa 因为 1 2 2 a n 2 1 01 nn aa 所以 n a 112 1 2 22 n aa a a 1 1 2 n n a 2 1 2 2n a 1 2n 用心 爱心 专心6 由 两式可知 nn ban 点评 本题是数列 超越函数 导数的学归纳法的知识交汇题 属于难题 复习时应 引起注意 考点四 数列与函数 向量等的联系 8 已知函数 f x 52 168 x x 设正项数列 n a满足 1 a l 1nn af a 1 写出 2 a 3 a的值 2 试比较 n a与 5 4 的大小 并说明理由 3 设数列 n b满足 n b 5 4 n a 记 Sn 1 n i i b 证明 当 n 2 时 Sn 1 4 2n 1 分析 比较大小常用的办法是作差法 而求和式的不等式常用的办法是放缩法 解 1 1 52 168 n n n a a a 因为 1 1 a 所以 23 73 84 aa 2 因为 1 0 0 nn aa 所以1680 02 nn aa 1 55 48 52553 44 4168432 2 2 2 nn n n nnn aa a a aaa 因为20 n a 所以 1 5 4 n a 与 5 4 n a 同号 因为 1 51 0 44 a 2 5 0 4 a 3 5 0 4 a 5 0 4 n a 即 5 4 n a 3 当2n 时 11 11 531531 42 242 2 nnnn nn baab aa 11 31 2 5 2 2 4 nn bb 所以 213 121 2222 nn nnn bbbb 所以 3 12 1 12 1111 4 21 422124 n n n nn Sbbb 点评 本题是函数 不等式的综合题 是高考的难点热点 9 在平面直角坐标系中 已知三个点列 An Bn Cn 其中 nnnn bnBanA 0 1 nCn 满足向量 1 nnA A与向量 nnC B共线 且点 B n 在方向向量为 1 6 的 线上 11 abaa 1 试用a与 n 表示 2 nan 2 若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值 试求a的取值范围 分析 第 1 问实际上是求数列的通项 第 2 问利用二次函数中求最小值的方式 来解决 解 1 用心 爱心 专心7 1 1 1111 naaCBAAbCBaaAA nnnnnnnnnnnnn 共线 与 又 Bn 在方向向量为 1 6 的直线上 6 6 1 1 1 nn nn bb nn b