高中数学圆锥曲线知识点小结

1 圆锥曲线圆锥曲线 知识点小结知识点小结 一 椭圆 一 椭圆 1 椭圆的定义 平面内与两个定点的距离的和等于常数 大于 的点的轨迹 21 F F 21F F 其中 两个定点叫做椭圆的焦点 焦点间的距离叫做焦距 注意 表示椭圆 表示线段 没有轨迹 2 21F Fa 2 21F Fa 21F F 2 21F Fa 2 椭圆的标准方程 图象及几何性质 中心在原点 焦点在轴上x 中心在原点 焦点在轴上y 标准方程 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 图 形 x O F1F2 P y A2A1 B1 B2 O F1 F2P y A2 B2 B1 A1 顶 点 0 0 0 0 21 21 bBbB aAaA 0 0 0 0 21 21 aBaB bAbA 对称轴 轴 轴 短轴为 长轴为xyb2a2 焦 点 0 0 21 cFcF 0 0 21 cFcF 焦 距 0 2 21 ccFF 222 bac 离心率 离心率越大 椭圆越扁 10 e a c e 3 常用结论 1 椭圆的两个焦点为 过的直线交椭圆于两点 则 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 21 F F 1 FBA 的周长 2 ABF 2 设椭圆左 右两个焦点为 过且垂直于对称轴的直线交椭圆于 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 21 F F 1 F 两点 则的坐标分别是 QP QP PQ 4 求离心率的常用方法 法一 分别求出 a c 再代入公式 法二 建立 a b c 满足的关系 消去 b 再化为关于 e 的方程 最后解方程求 e 求 e 时 要注意椭圆离心率取 值范围是 0 e 1 而双曲线离心率取值范围是 e 1 x 2 二 双曲线 二 双曲线 1 双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值绝对值等于常数 小于小于 的点的轨迹 21 F F 21F F 其中 两个定点叫做双曲线的焦点 焦点间的距离叫做焦距 注意 与 表示双曲线的一支 aPFPF2 21 aPFPF2 12 2 21F Fa 表示两条射线 没有轨迹 2 21F Fa 2 21F Fa 2 双曲线的标准方程 图象及几何性质 中心在原点 焦点在轴上x 中心在原点 焦点在轴上y 标准方程 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 图 形 x O F1F2 P y A2 A1 x O F1 P B2 B1 F2 顶 点 0 0 21 aAaA 0 0 21 aBaB 对称轴 轴 轴 虚轴为 实轴为xyb2a2 焦 点 0 0 21 cFcF 0 0 21 cFcF 焦 距 0 2 21 ccFF 222 bac 离心率 离心率越大 开口越大 1 e a c e 渐近线 x a b y x b a y 3 双曲线的渐近线 求双曲线的渐近线 可令其右边的 1 为 0 即得 因式分解得到 1 2 2 2 2 b y a x 0 2 2 2 2 b y a x 0 xy ab 与双曲线共渐近线的双曲线系方程是 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 4 等轴双曲线为 其离心率为 222 tyx 2 4 常用结论 1 双曲线的两个焦点为 过的直线交双曲线的同一支于 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 21 F F 1 F 两点 则的周长 BA 2 ABF 2 设双曲线左 右两个焦点为 过且垂直于对称轴的直线交双曲 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 21 F F 1 F 线于两点 则的坐标分别是 QP QP PQ y 3 三 抛物线三 抛物线 1 抛物线的定义 平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹 其中 定点为抛物线的焦点 定直线叫做准线 2 抛物线的标准方程 图象及几何性质 0 p 标准方程 pxy2 2 pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 图 形 x O F P yl O F P y l x O F P y l x O F P yl x 顶 点 0 0 O 对称轴轴x 轴y 焦 点 0 2 p F 0 2 p F 2 0 p F 2 0 p F 离心率1 e 准 线 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 焦半径 2 0 p xPF 2 0 p yPF 四 弦长公式四 弦长公式 14 1 1 2 21 2 21 2 21 2 A kxxxxkxxkAB 求弦长步骤 1 求出或设出直线与圆锥曲线方程 2 联立两方程 消去 y 得关于 x 的一元二次方程 设 由韦达定理求出 0 2 CBxAx 11 yxA 22 yxB A B xx 21 A C xx 21 3 代入弦长公式计算 法 二 若是联立两方程 消去 x 得关于 y 的一元二次方程则相应的弦长公式是 0 2 CByAy 1 14 1 1 1 1 2 21 2 21 2 21 2 Ak yyyy k yy k AB 注意 2 求与弦长有关的三角形面积 往往先求弦长 再求这边上的高 点到直线的距离 但若三角形被 过顶点的一条线段分成两个三角形 且线段的长度为定值 求面积一般用分割法 五 弦的中点坐标的求法五 弦的中点坐标的求法 法 一 1 求出或设出直线与圆锥曲线方程 2 联立两方程 消去 y 得关于 x 的一元二次方程 设 由韦达定理求出 3 设中点 0 2 CBxAx 11 yxA 22 yxB A B xx 21 00 yxM 由中点坐标公式得 再把代入直线方程求出 2 21 0 xx x 0 xx 0 yy 法 二 用点差法 设 中点 由点在曲线上 线段的中点坐标公 11 yxA 22 yxB 00 yxM 式 过 A B 两点斜率公式 列出 5 个方程 通过相减 代入等变形 求出 00 y x 4 四 基础应用四 基础应用 1 已知 F1 F2为椭圆 a b 0 的两个焦点 过 F2作椭圆的弦 AB 若 AF1B 的周长为1 2 2 2 2 b y a x 16 椭圆离心率 则椭圆的方程是 2 3 e 2 已知椭圆的短半轴长为 1 离心率 00 的焦点为 F