2012年中考数学一轮复习精品讲义 轴对称 人教新课标版

用心 爱心 专心1 第十二章第十二章 轴对称轴对称 本章小结 小结 1 本章概述 本章主要从生活中的图形入手 学习轴对称及其基本性质 欣赏 体验轴对称在现实生活中的广泛应 用 在此基础上 利用轴对称探索等腰三角形的性质及其判定方法 进一步学习等边三角形的性质和判定 轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象 是密切数学知识与现实联系的重要内容 本章内容是上一章内 容的继续 又是后面学习四边形 圆的基础 所以学好本节知识至关重要 本节中涉及轴对称 等腰三角形 等边三角形 垂直平分线等重要概念 涉及等腰三角形 等边对等角 三线合一 等重要性质 在学习时应 特别注意 小结 2 本章学习重难点 本章重点 1 轴对称的概念和性质和判定 2 等腰 或等边 三角形的性质和判定 本章难点 1 利用轴对称的性质进行图案设计 2 书写推理证明过程 小结 3 学法指导 1 注意联系实际 通过观察 动手操作等直观方式掌握轴对称及等腰三角形的性质和判定 利用轴对称的 观点解释生活中的有关现象 设计图案选择最佳方案等 体现知识的应用 体现具体 抽象 具体的过 程 2 注意知识间的联系 图形的轴对称变换 图形与坐标 图形的证明在本章都有涉及 注意各部分知识之 间的联系 把所学知识纳入已有的知识体系 3 注意体会转化思想 类比思想 分类讨论思想在本章学习中的应用 知识网络结构图 轴对称 轴对称图形 1 定义 如果一个图形沿一条直线折叠 直线两旁的部分能够互相重合 这个图形就叫做轴对称图形 这条直线就是它的对称轴 两个图形成轴对称 或一个图形是轴对称图形 则对应线段 对折后重合的线段 相等 对应角 对折后重合的角 相等 对称轴垂直平分连接对应点的线段 2 性质 3 垂直平分线 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 叫 做这条线段的垂直平分线 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 距离相等 判定 与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段 的垂直平分线上 作轴对称图形 用坐标表示轴对称 轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形 叫做轴对称变换 P x y 关于 x 轴的对称点的坐标为 P x y P x y 关于 y 轴的对称点的坐标为 P x y 性质 等腰三角形 定义 有两条边相等的三角形 叫做等腰三角形 1 等腰三角形的两个底角相等 等边对等角 2 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高相 互 重合 三线合一 用心 爱心 专心2 专题总结及应用 一 知识性专题 专题 1 轴对称及轴对称图形 专题解读 此部分内容是近几年中考中常见的题型 也是新题型之一 解题的依据主要是轴对称及轴 对称的性质 例 1 如图 12 112 所示的是小方画的正方形风筝图案 她以图中的对角线所在直线为对称轴 在对角线 的下方画一个三角形 使得新的风筝图案成为轴对称图形 若如图 12 113 所示的图形中有一图形为此轴对称 图形 则此图为 分析 本题主要考查轴对称图形的性质 即对应点连线被对称轴垂直平分 只有 C 为轴对称图形 故选 C 规律 方法 判断某图形是否为轴对称图形 或两个图形是否成轴对称 关键是能否找到一条直线可将这 个图形 或两个图形 沿着这条直线对折 使对折后的两部分 或两个图形 重合 专题 2 利用轴对称变换作轴对称变换后的图形及设计方案 专题解读 利用轴对称变换设计精美图案 当对称轴改变方向时 原图形的 对称图形也改变方向 一个图形经过若干次轴对称变换 再结合平移 旋转等 就可 以得到非常美丽的图案 例 2 如图 12 114 所示 给出了一个图案的一半 其中的虚线就是这个图案的 对称轴 请画出这个图案的另一半 解 如图 12 114 所示 解题策略 先作出特殊点的对称点 然后连接即可 专题 3 等腰三角形的性质和判定 专题解读 等腰三角形的性质和判定可以用来证明角相等 线段相等以及线段垂直 这是几何证明中最 重要的知识之一 它经常与其他几何知识 如四边形 圆等 综合在一起考查 例 3 如图 12 115 所示 AB AC E D分别在AB AC上 BD和CE相交于点F 且 ABD ACE 求证 BF CF 分析 本题综合考查等腰三角形的性质和判定 由于AB AC 所以作辅助线BC 则可以 构造等腰三角形 从而利用等腰三角形的性质解决问题 证明 连接BC AB AC ACB ABC 等边对等角 又 ACE ABD FCB FBC BF CF 等角对等边 解题策略 本题解题时灵活运用了等腰三角形的性质和判定 也可以连辅助线AF 来证明BF CF 用 这个方法证明要用到三角形全等 比较麻烦 专题 4 等边三角形的性质和判定 专题解读 等边三角形是一个很特殊的三角形 它的三边都相等 三个角都是 60 正是由于它的特殊性 因此在很多的几何证明题中都会用到 用心 爱心 专心3 例 4 如图 12 116 所示 AD是 ABC的中线 ADC 60 BC 4 若将 ADC沿直线AD折叠 则C点 落在点E的位置上 求BE的长 分析 本题综合考查轴对称和等边三角形的判定和性质 解 由折叠得 ADE ADC 60 CD DE 又 BD DC DE BD ADE ADC 60 BDE 180 60 60 60 BDE为等边三角形 BE BD 2 1 BC 2 解题策略 本题运用了 有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形 这一判定方法 专题 5 含 30 角的直角三角形的性质与等腰三角形的综合应用 专题解读 直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半 这条性质在实际生活中有着广泛的 应用 由角的特殊性 揭示了直角三角形中直角边和斜边的关系 例 5 如图 12 117 所示 ABC中 AB AC BAC 120 AD AC交BC于点D 求证BE 3AD 分析 本题综合考查等腰三角形的性质和判定 以及直角三角形中 30 角所对的直角边 是斜边的一半的性质 证明 AB AC B C 等边对等角 又 BAC 120 B C 30 AD AC DAC 90 BAD BAC DAC 120 90 30 B BAD BD AD 等角对等边 在 Rt ADC中 C 30 CD 2AD BC BD CD AD 2AD 3AD 二 规律方法专题 专题 6 正确作辅助线解决问题 专题解读 本章涉及等腰三角形的性质 角平分线及线段的垂直平分线的性质 做题时可通过添加适 当的辅助线由全等等知识获得结论 例 6 如图 12 118 所示 B 90 AD AB BC DE AC 求证BF DC 证明 连接AE ED AC ADE 90 又 B 90 在 Rt ABE和 Rt ADE中 AEAE ADAB Rt ABE Rt ADE HL BE ED AB BC BAC C 又 B 90 BAC C 90 C 45 EDC 90 C DEC 45 DE DC BE DC 例 7 如图 12 119 所示 在 ABC中 AB AC 在AB上取一点E 在AC的延 用心 爱心 专心4 长线上取一点F 使BE CF EF交BC于G 求证EG FG 证明 过E作EM AC 交BC于点M 则 EMB ACB MEG F 又 AB AC B ACB B EMB EB EM 又 BE CF EM FC 在 MEG和 CFG中 已证 对顶角相等 已证 CFEM FGCEGM FMEG MEG CFG AAS EG FG 三 思想方法专题 专题 7 分类讨论思想 专题解读 本章涉及等腰三角形的边 角的计算 应通过题意探讨其可能存在的情况 运用相关知识 一一讨论不难获得结论 例 8 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为 13 cm 和 15 cm 两部分 试求此等腰三角形 的腰长和底边长 分析 这是一类常见的等腰三角形分类讨论的问题 解题时应注意到分为 13 cm 和 15 cm 两部分时的两种可 能情形 进行分类讨论即可 解 如图 12 120 所示 AB AC D为AC的中点 所以AD CD 由题意知 15 13 CDBC ADAB 或 13 15 CDBC ADAB 解得AB AC 3 26 BC 3 32 或AB AC 10 BC 8 即此等腰三角形的腰长与底边长分别为 3 26 cm 3 32 cm 或 10 cm 8 cm 规律 方法 本题的分类讨论既可以说是来源于不同的图形 也可以说是来源于题设中的 不明确 解题 过程应从题设中挖掘出类似的信息 以使解答完整 专题 8 数形结合思想 专题解读 数形结合思想是比较常用的数学思想 在解有关三角形的问题时显得尤为重要 例 9 开放题 如图 12 121 所示 ABC中 已知AB AC 要使AD AE 需添加的条 件是 分析 从确定 ADE是等腰三角形着眼 若 ADE AED 可得AD AE 除此以外还可加 ADB AEC或 BAD CAE或BD CE 故填 ADE AED或 ADB AEC或 BAD CAE或BD CE 答案不唯一 例 10 探究题 如图 12 122 所示 线段OP的一个端点O在直线a上 以OP为一边画 等腰三角形 并且使另一个顶点在直线a上 这样的等腰三角形能画几个 分析 以OP为一边画等腰三角形 要考虑OP作腰和OP作底边两种情况 用心 爱心 专心5 解 1 当OP作等腰三角形的腰时 分O作顶点和P作顶点两种情况 当O作顶点 OP作腰时 则以O为 圆心 OP为半径画弧 与直线a交于M1 M2两点 则 OPM1和 OPM2都是等腰三角形 当P作顶点 PO作腰时 则以P为圆心 PO为半径画弧 交直线a于M3 则 POM3为等腰三角形 2 当OP作等腰三角形的底边时 作OP的垂直平分线交直线a于M4 则 OPM4为等腰三角形 所以这样的等腰三角形能画 4 个 如图 12 123 所示 例 11 动手操作题 如图 12 124 所示 ABC中 AB AC A 36 仿照图 请你再用两种不同的 方法 将 ABC分割成 3 个三角形 使每个三角形都是等腰三角形 作图工具不限 不写作法和证明 但要标出 所分得的每个等腰三角形的内角的度数 分析 在 ABC中 AB AC A 36 所以 B C 72 所以分割出的等腰三角形的底角或顶角为 36 72 108 18 144 以这些度数为基础设计分割方案 便可得出符合条件的图形 解 如图 12 124 所示均符合要求 2011 中考真题精选 1 2011 江苏淮安 2 3 分 下列交通标志是轴对称图形的是 A B C D 考点 轴对称图形 分析 根据轴对称图形的概念求解 只要寻找对称轴 图形两部分折叠后可重合 既是轴对称图形 解答 解 A 不是轴对称图形 B 不是轴对称图形 C 不是轴对称图形 D 是轴对称图形 故选 D 点评 此题主要考查了轴对称图形的概念 轴对称图形的关键是寻找对称轴 图形两部分折叠后可重合 2 2011 南通 下面的图形中 既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A B C D 用心 爱心 专心6 考点 中心对称图形 轴对称图形 分析 结合轴对称图形与中心对称图形的定义进行分析 解答 解 A 项是中心对称图形 不是轴对称图形 故本项错误 B 项为中心对称图形 不是轴对称图形 故本项错误 C 项为中心对称图形 也是轴对称图形 故本项正确 D 项为轴对称图形 不是中心对称图形 故本项错误故答案选择 C 点评 本题主要考察轴对称图象的定义和中心对称图形的定义 解题的关键是找到图形是否符合轴对称图形和 中心对称图形的定义 3 2011 江苏无锡 6 3 分 一名同学想用正方形和圆设计一个图案 要求整个图案关于正方形的某条对角 线对称 那么下列图案中不符合要求的是 A B C D 考点 轴对称图形 专题 数形结合 分析 轴对称图形是针对一个图形而言的 是一种具有特殊性质图形 被一条直线分割成的两部分沿着对称轴 折叠时 互相重合 解答 解 A 图象关于对角线所在的直线对称 两条对角线都是其对称轴 故不符合题意 B 图象关于对角线所在的直线对称 两条对角线都是其对称轴 故不符合题意 C 图象关于对角线所在的直线对称 有一条对称轴 故不符合题意 D 图象关于对角线所在的直线不对称 故符合题意 故选 D 点评 本题考查了轴对称图形 轴对称图形的关键是寻找对称轴 图形两部分沿对称轴折叠后可重合 4 2011 山西 6 2 分 将一个矩形纸片依次按图 1 图 的方式对折 然后沿图 3 中的虚线裁剪 最 后头将图 4 的纸再展开铺平 所得到的图案是 考点 轴对称 专题 操作题 图形变换 分析 由图案的对称性进行想象 或动手操作一下都可 解答 A 点评 动手折一折 动脑想一想 不难得出答案 5 2011 四川广安 5 3 分 下列几何图形 角 平行四边形 扇形 正方形 其中轴对称图形是 向上对折 图 1 图 3 向右对折 图 2 图 4 D C B A 第 6 题 用心 爱心 专心7 A B C D 考点 轴对称图形 专题 对称 分析 根据轴对称图形的概念及所给出的图形的特点可知 角 扇形 正方形是轴对称图形 而平行 四边形是中心对称图形 解答 C 点评 把一个图形沿着某一条直线对称 如果图形左右两边的部分能够完全重合 那么这个图形就是轴对称图 形 解题时要注意记住初中阶段学过的哪些基本图形是轴对称图形 6 2011 台湾 4 4 分 下列有一面国旗是轴对称图形 根据选项中的图形 判断此国旗为何 A B C D 考点 轴对称图形 专题 常规题型 分析 根据轴对称图形的概念求解 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合 这样的图形叫做轴对 称图形 这条直线叫做对称轴 解答 解 A 不是轴对称图形 故本选项错误 B 不是轴对称图形 故本选项错误 C 不是轴对称图形 故本选项错误 D 是轴对称图形 故本选项正确 故选 D 点评 本题考查轴对称图形 注意掌握轴对称图形的概念 轴对称图形的关键是寻找对称轴 图形两部分折叠 后可重合 7 2011 台湾 26 4 分 如图 1 将某四边形纸片 ABCD 的 AB 向 BC 方向折过去 其中 AB BC 使得 A 点落 在 BC 上 展开后出现折线 BD 如图 2 将 B 点折向 D 使得 B D 两点重迭 如图 3 展开后出现折线 CE 如 图 4 根据图 4 判断下列关系何者正确 A AD BCB AB CD C ADB BDCD ADB BDC 考点 翻折变换 折叠问题 专题 操作型 分析 由 A 点落在 BC 上 折线为 BD 根据折叠的性质得到 ABD CBD 又 B 点折向 D 使得 B D 两点重迭 折线为 CE 再根据折叠的性质得到 CD CB 然后转化为角相等 这样就有 ABD CDB 根据平行线的判定定理 即可得到 B 正确 用心 爱心 专心8 解答 解 A 点落在 BC 上 折线为 BD ABD CBD 又 B 点折向 D 使得 B D 两点重迭 折线为 CE CD CB CBD CDB ABD CDB AB CD 即选项 B 正确 故选 B 点评 本题考查了折叠的性质 折叠后重叠的两部分图形全等 也考查了动手能力和空间想象能力 8 2011 湖北荆州 2 3 分 下列四个图案中 轴对称图形的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 考点 轴对称图形 分析 根据轴对称图形的定义 1 得出 图形沿一条直线对着 分成的两部分完全重合及是轴对称图形 分别判 断得出即可 解答 解 根据图象 以及轴对称图形的定义可得 第 1 2 4 个图形是轴对称图形 第 3 个是中心对称图形 故选 C 点评 此题主要考查了轴对称图形的定义 根据定义判断出图形形状是解决问题的关键 9 2011 柳州 在三角形 四边形 五边形 和正六边形中 是轴对称图形的是 A 三角形B 四边形 C 五边形D 正六边形 考点 轴对称图形 专题 几何图形问题 分析 关于某条直线对称的图形叫轴对称图形 解答 解 只有正六边形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合 是轴对称图形 故选 D 点评 本题考查了轴对称图形的知识 轴对称图形的判断方法 把某个图象沿某条直线折叠 如果图形的两部 分能够重合 那么这个是轴对称图形 10 2011 郴州 观察下列图案 既是中心对称图形又是轴对称图形的是 A B C D 用心 爱心 专心9 考点 中心对称图形 轴对称图形 专题 几何图形问题 分析 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 解答 解 A 不是轴对称图形 不符合题意 故本选项错误 B 是轴对称图形 不是中心对称图形 不符合题意 故本选项错误 C 是轴对称图形 也是中心对称图形 符合题意 故本选项正确 D 是轴对称图形 不是中心对称图形 不符合题意 故本选项错误 故选 C 点评 本题考查轴对称图形及中心对称图形的知识 要注意 轴对称图形的关键是寻找对称轴 图形两部分折 叠后可重合 中心对称图形是要寻找对称中心 旋转 180 度后与原图形重合 11 2011 山东青岛 4 3 分 下列汽车标志中既是轴对称又是中心对称图形的是 A B C D 考点 轴对称图形 中心对称图形 分析 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 解答 解 A 是轴对称图形 不是中心对称图形 B 是轴对称图形 不是中心对称图形 C 不是轴对称图形 也不是中心对称图形 D 是中心对称图形 也是轴对称图形 故选 D 点评 此题将汽车标志与对称相结合 掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念 轴对称图形的关键是寻找对 称轴 图形两部分折叠后可重合 中心对称图形是要寻找对称中心 图形旋转 180 后与原图重合 12 2011 泰安 19 3 分 如图 点O是矩形ABCD的中心 E是AB上的点 沿CE折叠后 点B恰好与点O 重合 若BC 3 则折痕CE的长为 A 32B 2 33 C 3D 6 考点 翻折变换 折叠问题 勾股定理 专题 探究型 分析 先根据图形翻折变换的性质求出AC的长 再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论 解答 解 CED是 CEB翻折而成 BC CD BE DE O是矩形ABCD的中心 OE是AC的垂直平分线 AC 2BC 2 3 6 AE CE 用心 爱心 专心10 在Rt ABC中 AC2 AB2 BC2 即 62 AB2 32 解得AB 33 在Rt AOE中 设OE x 则AE 33 x AE2 AO2 OE2 即 33 x 2 33 2 32 解得x 3 AE EC 33 3 23 故选 A 点评 本题考查的是翻折变换 熟知折叠是一种对称变换 它属于轴对称 折叠前后图形的形状和大小不变 位置变化 对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键 13 2011 山东省潍坊 4 3 分 如图 阴影部分是由 5 个小正方形涂黑组成的一个直角图形 再将方格内 空白的两个小正方形涂黑 得到新的图形 阴影部分 其中不是轴对称图形的是 考点 轴对称图形 分析 本题需先根据轴对称图形的有关概念沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合对每一个图形进行 分析即可得出正确答案 解答 解 A 沿某直线折叠 分成的两部分能互相重合 它是轴对称图形 B 沿某直线折叠 分成的两部分能互相重合 它是轴对称图形 C 绕某一点旋转 180 以后 能够与原图形重合 它是轴对称图形 D 根据轴对称定义 它不是轴对称图形 故选 D 点评 本题主要考查了轴对称图形的有关概念 在解题时要注意轴对称图形的概念与实际相结合是本题的关 键 用心 爱心 专心11 2011 四川达州 2 3 分 图中所示的几个图形是国际通用的交通标志 其中不是轴对称图形的是 A B C D 考点 轴对称图形 分析 根据轴对称图形的概念求解 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合 这样的图形叫做轴对 称图形 解答 解 A B D都是轴对称图形 而C不是轴对称图形 故选C 点评 本题主要考查了轴对称图形的概念 轴对称图形的关键是寻找对称轴 图形两部分折叠后可重合 14 2011 四川广安 5 3 分 下列几何图形 角 平行四边形 扇形 正方形 其中轴对称图形是 A B C D 考点 轴对称图形 专题 对称 分析 根据轴对称图形的概念及所给出的图形的特点可知 角 扇形 正方形是轴对称图形 而平行 四边形是中心对称图形 解答 C 点评 把一个图形沿着某一条直线对称 如果图形左右两边的部分能够完全重合 那么这个图形就是轴对 称图形 解题时要注意记住初中阶段学过的哪些基本图形是轴对称图形 15 2011 四川泸州 11 2 分 如图 在 Rt ABC中 ABC 90 C 60 AC 10 将BC向BA方向翻折过 去 使点C落在BA上的点C 折痕为BE 则EC的长度是 A 35 B 35 5 C 10 35 D 5 3 考点 翻折变换 折叠问题 分析 作ED BC于D 可得含 30 的 Rt CED及含 45 的直角三角形BED 设所求的EC为x 则 CD 0 5x BD BE 2 3 x 根据BC 5 列式求值即可 解答 解 作ED BC于D 设所求的EC为x 则CD 2 1 x BD BE 2 3 x ABC 90 C 60 AC 10 BC AC cosC 5 CD BD 5 CE 35 5 故选 B 点评 考查翻折变换问题 构造出含 30 及含 45 的直角三角形是解决本题的突破点 用心 爱心 专心12 16 在下列几何图形中 一定是轴对称图形的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 C 考点 轴对称图形 专题 几何图形问题 分析 根据轴对称图形的概念 分析各图形的特征求解 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合 这样的图形叫做轴对称图形 这条直线叫做对称轴 解答 解 扇形是轴对称图形 符合题意 等腰梯形是轴对称图形 符合题意 菱形是轴对称图形 符合题意 直角三角形不一定是轴对称图形 故不符合题意 共 3 个轴对称图形 故选 C 点评 考查了轴对称图形的概念 轴对称图形的关键是寻找对称轴 图形两部分折叠后可重合 17 12 如图 在直角坐标系中 矩形 ABC0 的边 OA 在 x 轴上 边 0C 在 y 轴上 点 B 的坐标为 1 3 将矩 形沿对角线 AC 翻折 B 点落在 D 点的位置 且 AD 交 y 轴于点 E 那么点 D 的坐标为 A 4 12 55 B 2 13 55 C 1 13 2 5 D 3 12 5 5 答案 A 考点 翻折变换 折叠问题 坐标与图形性质 专题 计算题 综合题 用心 爱心 专心13 分析 如图 过 D 作 DF AF 于 F 根据折叠可以证明 CDE AOE 然后利用全等三角形的性质得到 OE DE OA CD 1 设 OE x 那么 CE 3 x DE x 利用勾股定理即可求出 OE 的长度 而利用已知条件可以证明 AEO ADF 而 AD AB 3 接着利用相似三角形的性质即可求出 DF AF 的长度 也就求出了 D 的坐标 解答 解 如图 过 D 作 DF AF 于 F 点 B 的坐标为 1 3 AO 1 AB 3 根据折叠可知 CD OA 而 D AOE 90 DEC AEO CDE AOE OE DE OA CD 1 设 OE x 那么 CE 3 x DE x 在 Rt DCE 中 CE2 DE2 CD2 3 x 2 x2 12 x 4 3 又 DF AF DF EO AEO ADF 而 AD AB 3 AE CE 3 45 33 AEEOAO ADDFAF 即 54 1 33 3DFAF DF 12 5 AF 9 5 OF 9 5 1 4 5 D 的坐标为 4 5 12 5 故选 A 点评 此题主要考查了图形的折叠问题 也考查了坐标与图形的性质 解题的关键是把握折叠的隐含条件 利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形 然后利用它们的性质即可解决问题 用心 爱心 专心14 综合验收评估测试题 一 选择题 每小题 3 分 共 30 分 1 如图 12 125 所示的四个中文艺术字中 不是轴对称图形的是 一 日 千 里 A B C D 图 12 125 2 如图 12 126 所示 把等腰直角三角形ABC沿BD折叠 使点A落在边BC上的点E处 下面结论错误的 是 A AB BE B AD DC C AD CE D AD EC 3 如图 12 127 所示 直线CD是线段AB的垂直平分线 P为直线CD上的一点 已知线段PA 5 则线段 PB的长度为 A 6 B 5 C 4 D 3 4 点P 3 5 关于x轴对称的点的坐标为 A 3 5 B 5 3 C 3 5 D 3 5 5 如图 12 128 所示 ABC与 A B C 关于直线 对称 且 A 78 C 48 则 B的度数 为 A 48 B 54 C 74 D 78 6 如图 12 129 所示的是一块三角形的草坪 现要在草坪上建一凉亭供大家休息 要使凉亭到草坪三条边 的距离相等 凉亭的位置应选在 A ABC的三条中线的交点 B ABC的三边的中垂线的交点 C ABC三条角平分线的交点 D ABC三条高所在直线的交点 7 如图 12 130 所示的是把一张长方形的纸沿长边中点的连线对折两次后得到的图形 再沿虚线裁剪 外 面部分展开后的图形是图 12 131 中的 8 如图 12 132 所示 在 ABC中 AB AC A 36 BD CE分别是 ABC BCD的角平分线 则图 中的等腰三角形有 A 5 个 B 4 个 C 3 个 D 2 个 用心 爱心 专心15 9 如图 12 133 所示 坐标平面内一点A 2 1 O为原点 P是x轴上的一个动点 如果以点 P O A为顶点的三角形是等腰三角形 那么符合条件的动点P的个数为 A 2 B 3 C 4 D 5 10 如图 12 134 所示 A 15 AB BC CD DE EF 则 DEF等于 A 90 B 75 C 70 D 60 二 填空题 每小题 3 分 共 30 分 11 等腰三角形ABC的两边长为 2 和 5 则第三边长为 12 如图 12 135 所示 镜子中的号码实际是 13 如图 12 136 所示 ABC中 DE垂直平分AC 交AB于E A 30 ACB 80 则 BCE 14 从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发 能将其剪成两个等腰三角形纸片 则原等腰三角形纸片的底 角等于 15 如图 12 137 所示 将矩形纸片ABCD折叠 使点D与点B重合 点C落在点C 处 折痕为EF 若 ABE 20 那么 EFC 的度数为 度 16 若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 35 则这个三角形的顶角为 17 等边三角形是轴对称图形 它有 条对称轴 18 1 若等腰三角形的一个内角等于 130 则其余两个角分别为 2 若等腰三角形的一个内角等于 70 则其余两个角分别为 19 如图 12 138 所示 在 ABC中 C 90 AD平分 BAC 交BC于点D CD 3 则点D到AB的距 离为 20 如图 12 139 所示 在 ABC中 AB AC A 60 BE AC于E 延长BC到D 使CD CE 连接 DE 若 ABC的周长是 24 BE a 则 BDE的周长是 三 解答题 每小题 10 分 共 60 分 用心 爱心 专心16 21 如图 12 140 所示 有分别过A B两个加油站的公路l1 l2相交于点O 现准备在 AOB内建一个油 库 要求油库的位置点P满足到A B两个加油站的距离相等 而且P到两条公路l1 l2的距离也相等 请用尺 规作图作出点P 不写作法 保留作图痕迹 22 如图 12 141 所示 BAC ABD 1 要使OC OD 可以添加的条件为 或 写出 2 个符合题意的条件即可 2 请选择 1 中你所添加的一个条件 证明OC OD 23 如图 12 142 所示 ABC中 AB AC E在CA的延长线上 AE AF AD是BC边上的高 试判断EF 与BC的位置关系 并说明理由 24 如图 12 143 所示 ABC中 点E在AC上 点N在BC上 在AB上找一点F 使 ENF的周长最小 并说明理由 25 如图 12 144 所示 某船上午 11 时 30 分在A处观测海岛B在北偏东 60 方向 该船以每小时 10 海 里的速度向正东方向航行 航行到C处时 再观测海岛B在北偏东 30 方向 又以同样的速度继续航行到D处 再观测海岛B在北偏西 30 方向 当轮船到达C处时恰好与海岛B相距 20 海里 请你确定轮船到达C处和D 处的时间 26 如图 12 145 所示 在 ABC中 ABC 2 C AD为BC边上的高 延长AB到E点 使BE BD 过 点D E引直线交AC于点F 则有AF FC 为什么 用心 爱心 专心17 参考答案 1 C 2 B 提示 由折叠知 BED A 90 BD是 ABC的平分线 所以AD DE 3 B 提示 由CD是AB的垂直平分线可知PB PA 5 4 D 提示 两点关于x轴对称 则两点坐标的关系是 横坐标相同 纵坐标相反 5 B 提示 由 ABC和 A B C 关于l对称 可知 C C 48 所以 B 180 A C 180 78 48 54 6 C 提示 到角的两边距离相等的点在角的平分线上 7 D 提示 按要求动手操作即可 8 A 提示 有 BCE DEC ABD BCD和 ABC 9 C 提示 以O为圆心 OA为半径画圆与x轴有两个交点 以A为圆心 OA为半径画圆与x轴又交于一 个与O不重合的一个点 作线段OA的垂直平分线与x轴交于一点 这四点都能使 POA为等腰三角形 10 D 提示 AB BC ACB A 15 CBD 30 BC CD CDB CB