2012年中考数学一轮复习精品讲义 全等三角形 人教新课标版

用心 爱心 专心1 第十一章第十一章 全等三角形全等三角形 本章小结 小结 1 本章概述 本章的主要内容是全等三角形 主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法 同时学习如何 利用全等三角形进行证明 学习利用三角形全等推导出角平分线的性质及判定 全等三角形是研究图形的重要 工具 是几何学习中最基础的知识 为今后学习四边形 圆等内容打下基础 小结 2 本章学习重难点 本章重点 1 全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法 2 角平分线的性质及判定 3 理解证明的基本过程 掌握用综合法证明的格式 本章难点 1 根据不同的条件合理选用三角形全等的判定方法 特别是对于 SSA 不能判定三角形 全等的认识 2 角平分线的性质和判定的正确运用 3 用综合法证明的格式 小结 3 学法指导 1 注意在探究中掌握结论 2 三角形全等的判定方法较多 注重在对比中掌握这些结论 3 注重推理能力的培养 推理时前因后果写清楚 过程书写要严密 有理有据 4 注重联系实际 5 注意分类讨论思想 转化思想 数学建模思想等的应用 掌握作辅助线的技巧 知识网络结构图 用心 爱心 专心2 专题总结及应用 一 知识性专题 专题 1 三角形全等的判定与性质的综合应用 专题解读 三角形的全等的判定要根据题目的具体情况确定采用 SAS ASA AAS SSS HL 中的哪个定 理 而且这几个判定方法往往要结合其性质综合解题 例 1 如图 11 113 所示 BD CE分别是 ABC 的边AC和AB上的高 点P在BD的延线上 BP AC 点 Q 在CE上 CQ AB 1 求证AP AQ 2 求证AP AQ 分析 1 欲证AP AQ 只需证对应的两个三角形全等 即证 ABP QCA即 可 2 在 1 的基础上证明 PAQ 90 证明 1 BD CE分别是 ABC的边AC AB上的高 ADB AEC 90 在 Rt AEC和 Rt ADB中 ABP 90 BAD ACE 90 一 DAB ABP ACE 在 ABP和 QCA中 BP CA 已知 ABP ACE 已证 AB QC 已知 ABP QCA SAS AP AQ 全等三角形的对应边相等 2 ABP QCA P CAQ 全等三角形的对应角相等 又 P PAD 90 CAQ PAD 90 即 QAP 90 AP AQ 例 2 若两个锐角三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等 试判断这两个三角形的第三边所对的角 之间的关系 并说明理由 分析 运用全等三角形的判定和性质 探讨两角之间的关系 题中没给图形 需自己根据题意画出符合题 意的图形 结合图形写出已知 结论 已知 如图 11 114 所示 在 ABC和 A B C 中 AB A B BC B C AD A D 分别是 BC B C 上的高 且AD A D 判断 B和 B 的关系 解 B B 理由如下 AD A D 分别是BC B C 边上的高 用心 爱心 专心3 ADB A D B 90 在 Rt ADB和 Rt A D B 中 ABA B ADAD Rt ADB Rt A D B HL B B 全等三角形的对应角相等 规律 方法 边 角 中线 角平分线 高是三角形的基本元素 从以上诸元素中 选取三个条件组合 可以得到关于三角形全等判定的若干命题 例 3 如图 11 115 所示 已知四边形纸片ABCD中 AD BC 将 ABC DAB分别对折 如果两条折痕恰好相交于DC上一点E 点C D都落在AB边上的F处 你能获得哪些结论 分析 对折前后重合的部分是全等的 从线段关系 角的关系 面积关系等不同方 面进行探索 以获得更多的结论 这是一道开放性试题 解 AD AF ED EF EC BC BF AD十BC AB DE EC 2EF 1 2 3 4 D AFE C EFB DEA FEA CEB FEB AEB 90 或EA EB S DAE S EAF S ECB S EFB 解题策略 本题融操作 观察 猜想 推理于一体 需要具有一定的综合能力 推理论证既是说明道 理 也是探索 发现的途径 善于在复杂的图形中发现 分解 构造基本的全等三角形是解题的关键 需要注 意的是 通常面临以下情况时 我们才考虑构造全等三角形 1 给出的图形中没有全等三角形 而证明结论 需要全等三角形 2 从题设条件中无法证明图形中的三角形全等 证明需要另行构造全等三角形 专题 2 全等三角形的性质及判定的实际应用 专题解读 全等三角形的知识在实际问题中的应用是常见的一种类型题 解题的是键是将实际问题抽象 成几何问题来解决 一般难度不大 例 4 如图 11 116 所示 太阳光线AC与A C 是平行的 同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下 的影子一样长吗 说说你的理由 分析 本题欲确定影子一样长 实际就是证明BC与B C 相等 而要证明两条 线段相等 常常证明它们所在的两个三角形全等 解 影子一样长 理由如下 因为AB BC A B B C 所以 ABC A B C 90 因为AC A C 所以 ACB A C B 在 ABC和 A B C 中 ABC A B C ACB A C B AB A B 所以 ABC A B C AAS 所以BC B C 全等三角形的对应边相等 专题 3 角平分线的性质及判定的应用 专题解读 此部分内容单独考查时难度不大 要注意角平分线的性质及判定的 区别与联系 例 用心 爱心 专心4 5 如图 11 117 所示 P是 AOB的平分线上的一点 PC AO于 C PD OB于D 写出图中一组相等的线段 只需写出一组即可 分析 本题主要运用角平分线的性质定理来解决 同时本题是一道开放性试题 答案不唯一 故填 PD PC 或OD OC 解题策略 OC与OD相等可通过三角形全等来得到 例 6 如图 11 118 所示 在 ABC中 AD平分 BAC DG BC且平分BC 交BC于G DE AB 于 E DF AC交AC的延长线于F 1 说明BE CF的理由 2 如果AB a AC b 求AE BE的长 分析 本题综合考查了角平分线与全等三角形的性质及判定 难度中等 解 1 连接BD CD AD是 BAC的平分线 且DE AB DF AC DE DF 又 DG BC且BG GC DBG DCG DB DC Rt BED Rt CFD HL BE CF 2 DE AB DF AC DEA DFA 90 在 Rt ADE和 Rt ADF中 Rt ADF中 ADAD DEDF Rt ADE Rt ADF HL AE AF 又 BE CF a BE 6 BE 2BE a b 即BE 2 ab AE AB BE a 2 ab 2 ab 专题 4 利用尺规作图 作一个三角形与另一个三角形全等或作一个角的平分线 专题解读 尺规作图是数学的重要知识之一 作一个角的平分线和作一个三角形全等于另一个三角形 是尺规作图中的基本作图 很多复杂的图形都是通过这些简单的基本图形作出来的 例 7 如图 11 119 所示 已知 ABC 在 ABC内求作一点P 使它到 ABC三边的距离相等 保留作图痕 迹 不写作法 分析 到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点 其实只需作出两个角的平分线 即可确定 P点的位置 作图痕迹指的是确定点P的过程 用心 爱心 专心5 解 如图 11 120 所示 二 思想方法专题 专题 5 分类讨论思想 专题解读 对于三角形全等的有些性质及判定的问题 由于已知条件的不 确定或开放性问题 常用到分类讨论思想 例 8 如图 11 121 所示 在 ABD和 ACE中 有下列四个论断 AB AC AD AE B C BD CE 请以其中三个论断作为条件 余下一个作为结论 写出一个正确的数学命题 用序号 的形式 写出 分析 解决本题一方面用分类讨论的数学思想来考虑问题 另一方面需熟练应用全等三角形的性质及判定 方法 具体分析如下 1 以 为结论 为条件 在 ABD和 ACE中 ADAE BC BDCE ABD ACE AB AC 不能以 为条件 为结论 2 以 为结论 为条件 在 ABD和 ACE中 ABAC BC BDCE ABD ACE SAS AD AE 能以 为条件 为结论 3 以 为结论 为条件 在 ABD和 ACE中 ABAC ADAE BDCE ABD ACE SSS B C 能以 为条件 为结论 4 以 为结论 为条件 在 ABD和 ACE中 ABAC ADAE BC ABD ACEC BD CE 不能以 为条件 为结论 正确的结果有两种 其一 其二 两者任选其一即可 故填 或 专题 6 转化思想 专题解读 三角形全等是证明线段相等 角相等最常用的方法 证线段 或角 相等往往转化为证线 段 或角 所在的两个三角形全等 当需证的两个全等的三角形不明显时 还要添加辅助线 构造全等三角 形 例 9 如图 11 122 所示 已知AB CD AD BC 求证 B D A C 分析 本题是证明四边形的对角相等 需构造全等三角形 转化为证三角形全等 为此 需作辅助线AC 用心 爱心 专心6 把四边形ABCD分成 ACD和 CBA 证明 连接AC 在 ADC和 CBA中 ADBC DCBA ACAC ADC CBA SSS D B 同理 DAB DCB 例 10 如图 11 123 所示 ABC中 BD为 ABC的平分线 DE AB于E 且DE 2 AB 9 BC 6 你能求出 ABC的面积吗 分析 要求 ABC的面积 只需分别求出 ABD和 BCD的面积即可 在 ABD中 底AB 高DE都知道在 BCD中 底BC知道 高没画出来 所以问题就转化为求 BCD的高 这里可以作辅助线DF BC于F 解 作DF BC于F 因为BD是 ABC的平分线 DE AB DF BC 所以DE DF 由DE 2 cm 可知DF 2 cm 所以 S ABC S ABD S BCD 1 2 AB DE 1 2 BC DF 1 2 9 2 1 2 6 2 15 2 专题 7 数学建模思想 专题解读 全等三角形在实际生活中有很多的应用 比如 测量工具内槽宽的工具 卡钳 测量不 能直接测量的两点间的距离等 对于这些实际问题 往往是根据实际情况 建立数学模型 利用数学原理解决 问题 例 11 如图 11 124 所示的是人民公园中的荷花池 现要测量此荷花池两旁A B两棵树之 间的距离 但无法直接测量 请你运用所学知识 以卷尺和测角仪为测量工具设计一种 测量方案 要求 1 画出你设计的测量平面图 2 简述测量方法 并写出测量数据 长度用a b c 表示 角度用 表示 3 根据你测量的数据 计算A B两棵树之间的距离 分析 依题意 结合图形解题 我们可以用 SAS ASA AAS 等方法构造出两个全等三角形 即可用卷尺测 出与AB相等的边的长度 从而得到A B间的距离 解法 1 如图 11 125 所示 在平面内选取一个可以直接到达A B的点C 连接AC并延长至D 使 AC CD 连接BC并延长至E 使BC CE 连接ED 用卷尺分别测出 AC CD b BC CE a ED c 则A B两点间的距离AB ED c 解法 2 作射线BM 如图 11 126 所示 在射线BM上取一点C 使点C能达到点A 在BM上取一点E 使 BC CE a 过点E作 BED ABC a 连接AC并延长 与ED相交于D点 这样易知 ABC DEC ASA 所以AB DE 用卷尺可测出ED的长为 b 则A B间的距离为 b 用心 爱心 专心7 解题策略 事实上 用测量的方法获得两个不能直接测量的两地之间的距离 除了用三角形全等的方法 外 在学习了相似三角形后 也可通过相似的方法获得测量方法和结果 专题 8 类比思想 专题解读 对于几何图形的运动问题 如平移 旋转等 以及一些规律探究题 常常会出现一个基本 图形 无论从图形上还是从解题方法上都比较简单 而其他的较复杂的图形 都是由基本图形通过变化得到的 它和基本图形有很多类似的条件和结论 类比基本图形 可以解决复杂图形的问题 主要考查观察能力和推理 猜测能力 例 12 规律探究题 如图 11 127 1 所示 AB CD AD BC O为AC的中点 过O点的直线分别与 AD BC相交于M N 那 1和 2 有什么关系 请证明 将过O点的直线旋转至图 11 127 2 3 的位置时 其他条件不变 那 图 1 中的 1 和 2 的关系还成立吗 请证明 分析 图 1 是基本的图形 在图 1 中证 1 2 不难 在图 2 3 中证 1 2 可以类比在图 1 中证明时的方法 解 1 2 证明 在 ABC和 CDA中 ABCD BCDA ACCA 所以 ABC CDA SSS 所以 BCA DAC 所以AD BC 所以 1 2 当直线旋转到图 2 3 的位置时 仍有 1 2 证明方法同上 例 13 动手操作题 正方形通过剪切可以拼成一个三角形 如图 11 128 所示 仿照图 1 所示的方法 解答下列问题 操作设计 在原图上画出即可 1 如图 11 128 2 所示 对直角三角形 设计一种方案 将它分成若干块 再拼成一个与原三角形面积 相等的长方形 2 如图 11 128 3 所示 对于任意三角形 设计一种方案 将它分成若干块 再拼成一个与原图形面 积相等的长方形 3 如图 11 128 4 所示 对于任意四边形 设计一种方案 将它分成若干块 再拼成一个与原图形面 积相等的长方形 用心 爱心 专心8 分析 本题考查观察能力 动手操作能力 剪下来的图形和拼上去的图形实际上是一个图形 拼图的关键 在于使剪切下的图形和拼接的图形的全等 普通三角形可以类比直角三角形 四边形可以类比普通三角形 解 1 如图 11 129 所示 2 如图 11 130 所示 3 如图 11 131 所示 解题策略 1 第 2 题中任意三角形的剪切 拼接 可以先把它转化为两个直角形 再按照 1 中直角三角形的拼接方法完成 对于任意四边形 则是通过连接对角线 把四边形转化为两个三角形 本题体 现了数学中的类比 转化思想 2 针对图形而言 本题中实质上是构造全等三角形 利用线段中点把线段分成两条相等的线段的条件 再添加一些合适的条件 就可以构造出全等三角形 从而达到转化线段 角以及三角形位置的目的 2011 中考真题精选 1 2011 江苏宿迁 7 3 如图 已知 1 2 则不一定能使 ABD ACD 的条件是 A AB ACB BD CD C B CD BDA CDA 考点 全等三角形的判定 专题 证明题 分析 利用全等三角形判定定理 ASA SAS AAS 对各个选项逐一分析即可得出答案 解答 证明 A 1 2 AD 为公共边 若 AB AC 则 ABD ACD SAS 故本选项正确 不合题意 B 1 2 AD 为公共边 若 BD CD 不符合全等三角形判定定理 不能判定 ABD ACD 故本选项错误 符合题意 C 1 2 AD 为公共边 若 B C 则 ABD ACD AAS 故本选项正确 不合题意 D 1 2 AD 为公共边 若 BDA CDA 则 ABD ACD ASA 故本选项正确 不合题意 故选 B 点评 此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握 此题难度不大 属于基础题 2 2011 南昌 10 3 分 如图 在下列条件中 不能证明 ABD ACD的是 用心 爱心 专心9 A BD DC AB AC B ADB ADC BD DC C B C BAD CAD D B C BD DC 考点 全等三角形的判定 专题 证明题 分析 两个三角形有公共边AD 可利用SSS SAS ASA AAS的方法判断全等三角形 解答 解 AD AD A 当BD DC AB AC时 利用SSS证明 ABD ACD 正确 B 当 ADB ADC BD DC时 利用SAS证明 ABD ACD 正确 C 当 B C BAD CAD时 利用AAS证明 ABD ACD 正确 D 当 B C BD DC时 符合 SSA 的位置关系 不能证明 ABD ACD 错误 故选 D 点评 本题考查了全等三角形的几种判定方法 关键是根据图形条件 角与边的位置关系是否符合判定的条件 逐一检验 3 2011 年山东省威海市 6 3 分 在 ABC 中 AB AC 点 D E 分别是边 AB AC 的中点 点 F 在 BC 边上 连接 DE DF EF 则添加下列哪一个条件后 仍无法判定 BFD 与 EDF 全等 A EF AB B BF CF C A DFE D B DEF 考点 全等三角形的判定 平行线的判定与性质 三角形中位线定理 专题 证明题 分析 根据平行线的性质得到 BDF EFD 根据 D E 分别是 AB AC 的中点 推出 DE BC DE 1 2 BC 得到 EDF BFD 根据全等三角形的判定即可判断 A 由 DE 1 2 BC BF EDF BFD DF DF 即可得到 BFD EDF 由 A DFE 证不出 BFD EDF 由 B DEF EDF BFD DF DF 得到 BFD EDF 解答 解 A EF AB BDF EFD D E 分别是 AB AC 的中点 DE BC DE 1 2 BC EDF BFD 用心 爱心 专心10 DF DF BFD EDF 故本选项错误 B DE 1 2 BC BF EDF BFD DF DF BFD EDF 故本选项错误 C 由 A DFE 证不出 BFD EDF 故本选项正确 D B DEF EDF BFD DF DF BFD EDF 故本选项错误 故选 C 点评 本题主要考查对全等三角形的判定 平行线的性质 三角形的中位线等知识点的理解和掌握 能求出证 全等的 3 个条件是证此题的关键 4 2011 年江西省 7 3 分 如图 在下列条件中 不能证明 ABD ACD 的是 A BD DC AB AC B ADB ADC BD DC C B C BAD CAD D B C BD DC 考点 全等三角形的判定 专题 证明题 分析 两个三角形有公共边 AD 可利用 SSS SAS ASA AAS 的方法判断全等三角形 解答 解 AD AD A 当 BD DC AB AC 时 利用 SSS 证明 ABD ACD 正确 B 当 ADB ADC BD DC 时 利用 SAS 证明 ABD ACD 正确 C 当 B C BAD CAD 时 利用 AAS 证明 ABD ACD 正确 D 当 B C BD DC 时 符合 SSA 的位置关系 不能证明 ABD ACD 错误 故选 D 点评 本题考查了全等三角形的几种判定方法 关键是根据图形条件 角与边的位置关系是否符合判定的条件 逐一检验 5 2011 安徽省芜湖市 6 4 分 如图 已知 ABC中 ABC 45 F是高AD和BE的交点 CD 4 则线段 DF的长度为 用心 爱心 专心11 A 2 2B 4 C 3 2D 4 2 考点 全等三角形的判定与性质 分析 先证明AD BD 再证明 FBD DAC 从而利用 ASA 证明 BDF CDA 利用全等三角形对应边相等就可 得到答案 解答 解 AD BC ADC FDB 90 ABC 45 BAD 45 AD BD BE AC AEF 90 DAC AFE 90 FDB 90 FBD BFD 90 又 BFD AFE FBD DAC 在 BDF和 CDA中 FBDCAD ADCFDB BDAD BDF CDA DF CD 4 故选 B 点评 此题主要考查了全等三角行的判定 关键是找出能使三角形全等的条件 6 2011 浙江金华 9 3 分 如图 西安路与南京路平行 并且与八一街垂直 曙光路与环城路垂直 如果小 明站在南京路与八一街的交叉口 准备去书店 按图中的街道行走 最近的路程约为 A 600m B 500m C 400m D 300m 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 400m 400m 300m E D C B A 考点 勾股定理的应用 全等三角形的判定与性质 专题 计算题 用心 爱心 专心12 分析 由于 BC AD 那么有 DAE ACB 由题意可知 ABC DEA 90 BA ED 利用 AAS 可证 ABC DEA 于是 AE BC 300 再利用勾股定理可求 AC 即可求 CE 根据图可知从 B 到 E 的走法有两种 分别计 算比较即可 解答 解 如右图所示 BC AD DAE ACB 又 BC AB DE AC ABC DEA 90 又 AB DE 400 ABC DEA EA BC 300 在 Rt ABC 中 AC 22 ABBC 500 CE AC AE 200 从 B 到 E 有两种走法 BA AE 700 BC CE 500 最近的路程是 500m 故选 B 点评 本题考查了平行线的性质 全等三角形的判定和性质 勾股定理 解题的关键是证明 ABC DEA 并 能比较从 B 到 E 有两种走法 7 2011 梧州 12 3 分 如图 点 B C E 在同一条直线上 ABC 与 CDE 都是等边三角形 则下列结论 不一定成立的是 A ACE BCDB BGC AFC C DCG ECFD ADB CEA 考点 全等三角形的判定 等边三角形的性质 分析 首先根据角间的位置及大小关系证明 BCD ACE 再根据边角边定理 证明 BCE ACD 由 BCE ACD 可得到 DBC CAE 再加上条件 AC BC ACB ACD 60 可证出 BGC AFC 再根据 BCD ACE 可得 CDB CEA 再加上条件 CE CD ACD DCE 60 又可证出 DCG ECF 利用排除法 可得到答案 解答 解 ABC 和 CDE 都是等边三角形 BC AC CE CD BCA ECD 60 BCA ACD ECD ACD 即 BCD ACE 在 BCD 和 ACE 中 BCD ACE SAS 用心 爱心 专心13 故 A 成立 DBC CAE BCA ECD 60 ACD 60 在 BGC 和 AFC 中 BGC AFC 故 B 成立 BCD ACE CDB CEA 在 DCG 和 ECF 中 DCG ECF 故 C 成立 故选 D 点评 此题主要考查了三角形全等的判定以及等边三角形的性质 解决问题的关键是根据已知条件找到可证三 角形全等的条件 8 2011 广西百色 8 4 分 如图 在 ABC中 AB AC ABC ACB的平分线BD CE相交于O点 且BD 交AC于点D CE交AB于点E 某同学分析图形后得出以下结论 BCD CBE BAD BCD BDA CEA BOE COD ACE BCE 上述结论一定正确的是 A B C D 考点 全等三角形的判定 等腰三角形的性质 分析 根据等腰三角形的性质及角平分线定义可得有关角之间的相等关系 运用三角形全等的判定方法AAS或 ASA判定全等的三角形 解答 解 AB AC ABC ACB BD平分 ABC CE平分 ACB ABD CBD ACE BCE BCD CBE ASA BDA CEA ASA BOE COD AAS 或 ASA 故选 D 点评 此题考查等腰三角形的性质和全等三角形的判定 难度不大 9 2011 恩施州 9 3 分 如图 AD 是 ABC 的角平分线 DF AB 垂足为 F DE DG ADG 和 AED 的面积 用心 爱心 专心14 分别为 50 和 39 则 EDF 的面积为 A 11B 5 5 C 7D 3 5 考点 角平分线的性质 全等三角形的判定与性质 专题 计算题 分析 作 DM DE 交 AC 于 M 作 DN AC 利用角平分线的性质得到 DN DF 将三角形 EDF 的面积转化为三角形 DNM 的面积来求 解答 解 作 DM DE 交 AC 于 M 作 DN AC DE DG DM DE AD 是 ABC 的角平分线 DF AB DE DN DEF DNM ADG 和 AED 的面积分别为 50 和 39 S MDG S ADG S AMG 590 39 11 S DNM S DEF 2 1 S MDG 2 1 11 5 5 故选 B 点评 本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质 解题的关键是正确的作出辅助线 将所求的三 角形的面积转化为另外的三角形的面积来求 10 2011 湖北十堰 6 3 分 工人师傅常用角尺平分一个任意角 做法如下 如图 AOB 是一个任意角 在边 OA OB 上分别取 OM ON 移动角尺 使角尺两边相同的刻度分别与 M N 重合 过角尺顶点 C 作射线 OC 由做法得 MOC NOC 的依据是 A AAS B SAS C ASA D SSS 用心 爱心 专心15 第 6 题图 考点 全等三角形的判定 作图 基本作图 专题 证明题 分析 利用全等三角形判定定理 AAS SAS ASA SSS 对 MOC 和 NOC 进行分析 即可作出正确选择 解答 证明 OM ON CM CN OC 为公共边 MOC NOC SSS 故选 D 点评 此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握 此题难度不大 属于基础题 综合验收评估测试题 时间 1 20 分钟 满分 120 分 一 选择题 每小题 3 分 共 30 分 1 如图 11 132 所示 在 ABC中 CD是 ACB的平分线 A 80 ACB 60 那么 BDC等于 A 80 B 90 C 100 D 110 2 如图 11 133 所示 E F 90 B C AE AF 则下列结论 EM FN CD DN FAN EAM CAN BAM 其中 用心 爱心 专心16 正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3 已知如图 11 134 所示的两个三角形全等 则 a的度数是 A 72 B 60 C 58 D 50 4 如图 11 135 所示 在等腰梯形ABCD中 AB DC AC BD交于点 O 则图中全等三角形共有 A 2 对 B 3 对 C 4 对 D 5 对 5 如图 11 136 所示 给出下列四组条件 AB DE BC EF AC DF AB DE B E BC EF B E BC EF C F AB DE AC DF B E 其中 能使 ABC DEF的条件共有 A 1 组 B 2 组 C 3 组 D 4 组 6 如图 11 137 所示 已知AB AD 那么添加下列一个条件后 仍无法 判定 ABC ADC的是 A CB CD B BAC DAC C BCA DCA D B D 90 7 如图 11 138 所示 在 Rt ABC中 A 90 BD平分 ABC 交AC于点D 且AD 3 则点D到BC 的距离是 A 3 B 4 C 5 D 6 8 如图 11 139 所示 尺规作图作 AOB的平分线的方法如下 以O 为 圆心 任意长为半径画弧交 OA OB于C D 再分别以点C D为圆心 以大于 1 2 CD长为半径画弧 两弧交于点P 作射线OP 连接 CP DP 由作法得 OCP ODP的根据是 A SAS B ASA C AAS D SSS 用心 爱心 专心17 9 如图 11 140 所示 在 Rt ABC中 AB AC AD BC 垂足为D E F分别是CD AD上的点 且 CE AF如果 AED 62 那么 DBF等于 A 62 B 38 C 28 D 26 10 如图 11 141 所示 已知AC BD于点P AP CP 请增加一个条件 使 APB CPD 不能添加辅助线 增加的条件不能是 A BP DP B AB CD C AB CD D A D 二 填空题 每小题 3 分 共 30 分 11 如图 11 142 所示 若 ABC A1B1C1 且 A 110 B 40 则 C1 12 如图 11 143 所示 点D E在 ABC的BC边上 且BD CE BAD CAE 要推理得出 ABE ACD 可以补充的一个条件是 不添加辅助线 写出一个即可 13 如图 11 144 所示 点B在 DAC的平分线AE上 请添加一 个适当的条件 使 ABD ABC 只填一个即可 14 如图 11 145 所示 Rt ABC中 C 90 BAC 60 AC 2 按以下步骤作图 以A为圆心 以小于AC长为半径画弧 分别交AC AB于点E D 分别以D E为圆心 以大于 1 2 DE长为半径画弧 两弧相交于点P 连接AP交BC于点F 那么 1 AB的长等于 直接填写答案 2 C AF 直接填写答案 用心 爱心 专心18 15 如图 11 146 所示 已知CD AB 若运用 SAS 判定 ADC CBA 从图中可以得到的条件是 需要补充的直接条件是 16 如图 11 147 所示 已知BF AC DE AC 垂足分别为F E 且BF DE 又 AE CF 则AB与CD的位置关系是 17 如图 11 148 所示 1 2 3 4 且AB 6 则CD 18 如图 11 149 所示 在 ABE和 ACD中 给出以下四个论断 AB AC AD AE AM AN AD DC AE BE 以其中三个论断为题设 填入下面的 已知 栏中 一个论断为结论 填入下面的 求证 栏中 使其组成一个正确的命题 已知 求证 19 如图 11 150 所示 DA AB EA AC AB AD AC AE BE和CD相交于 O AB和CD相交于P 则 DOE的度数是 20 如图 11 151 所示 已知AE平分 BAC BF AE于E ED AC BAE 36 那么 BED 三 解答题 每小题 10 分 共 60 分 21 如图 11 152 所示 已知点B E C F在同一条直线上 AB DE A D AC DF 1 求证 ABC DEF 2 求证BE CF 用心 爱心 专心19 22 如图 11 153 所示 点B F C E在同一条直线上 点A D在直线BE的两侧 AB DE AC DF BF CE 求证AC DF 23 如图 11 154 所示 点A B C D在同一条直线上 EA AD FD AD AE DF AB DC 求证 ACE DBF 24 如图 11 155 所示 在 ABC 中 ACB 90 AC BC CE BE CE与AB相交于点F AD CF于 点D 且 AD平分 FAC 请写出图中的两对全等三角形 并选择其中一对加以证明 25 如图 11 156 所示 在正方形ABCD中 AC为对角线 E为 AC上一点 连接EB ED 1 求证 BEC DEC 2 延长BE交AD 于F 当 BED 120 时 求 EFD的度数 26 1 如图 11 157 所示 在正方形ABCD中 M是BC边 不含端点B C 上任意一点 P是BC延长线 上一点 N是 DCP的平分线上一点 若 AMN 90 求证AM MN 下面给出一种证明的思路 你可以按这一思路证明 也可以选择另外的方法证明 证明 在边AB上截取AE MC 连接ME 在正方形ABCD中 B BCD 90 NMC 180 AMN AMB 180 B AMB MAB 下面请你完成余下的证明过程 在同一三角形中 等边对等角 2 若将 1 中的 正方形ABCD 改为 正三角形ABC 如图 11 158 所 示 N是 ACP的平分线上一点 则当 AMN 60 时 结论AM MN是否还成立 请说 明理由 3 若将 1 中的 正方形ABCD 改为 正 n 边形ABCD X 请你作出猜想 当 AMN 用心 爱心 专心20 时 结论AM MN仍然成立 直接写出答案 不需要证明 参考答案 1 D 提示 由CD是 ACB的平分线 ACB 60 得 ACD 30 又因为 A 80 所以 BDC ACD A 30 80 110 2 C 提示 由 E F 90 B C AE AF可得出 ACF ABE 从而得出 EAB FAC 然后 推出 AEM AFN 所以EM FN 成立 由条件可证 CAN BAM 成立 同时易推出 FAN EAM 成立 只有CD DN不一定成立 3 D 提示 全等三角形中相等边所对的角是对应角 a是边 b 所对的角 4 B 提示 ABO DCO ABC DCB ABD DCA 5 C 提示 条件 满足 SSS 条件 满足 SAS 条件 满足ASA 都能判定 ABC DEF 只有条件 满 足 SSA 不能判定 ABC DEF 6 C 提示 添加选项A满足 SSS 添加选项B满足 SAS 添加选项D满足HL 都能判定 ABC ADC 添 加选项C满足 SSA 不能判定 ABC ADC 7 A 提示 由角平分线的性质可知D到BC的距离等于D到AB的距离 8 D 9 C 提示 由AB AC BAC 90 可得 ABC是等腰直角三角形 C 45 由AD BC 可得 ABD 是等腰直角三角形 BAD 45 从而推出 ABF CAE ABF CAE 由 AED 62 可知 CAE 17 ABF 17 DBF 45 17 28 10 D 提示 添加BP DP或AB CD或 A C或 B D或AB CD均可 11 30 提示 由 A 110 B 40 可得 C 30 由 ABC A1B1C1 可得 C1 C 30 12 B C 答案不唯一 用心 爱心 专心21 13 AC AD 提示 答案不唯一 填 C D ABC ABD也可 14 1 4 2 30 提示 由 BAC 60 可得 B 30 所以AC 1 2 AB AB 4 15 CA AC DCA BAC 提示 根据 SAS 所需要的条件及题设和图形 不难得到结论 16 平行 提示 由AE CF知AF CE 又BF DE BFA DEC 90 从而知 A