2012年全国各地中考数学压轴题汇编五

用心 爱心 专心1 20122012 年全国各地中考数学压轴题汇编五年全国各地中考数学压轴题汇编五 2012 长沙 41 如图半径分别为 m n 0 m n 的两圆 O1和 O2相交于 P Q 两点 且点 P 4 1 两圆同时与两坐标轴相切 O1与 x 轴 y 轴分别切于点 M 点 N O2与 x 轴 y 轴分别 切于点 R 点 H 1 求两圆的圆心 O1 O2所在直线的解析式 2 求两圆的圆心 O1 O2之间的距离 d 3 令四边形 PO1QO2的面积为 S1 四边形 RMO1O2的面积为 S2 试探究 是否存在一条经过 P Q 两点 开口向下 且在 x 轴上截得的线段长为 的抛物线 若存在 请求出此抛物线的解析式 若不存在 请说明理由 2012 六盘水 42 如图 1 已知 ABC 中 AB 10cm AC 8cm BC 6cm 如果点 P 由 B 出发沿 BA 方向点 A 匀速运动 同时点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动 它们的速度均为 2cm s 连接 PQ 设运动的时间为 t 单位 s 0 t 4 解答下列问题 1 当 t 为何值时 PQ BC 2 设 AQP 面积为 S 单位 cm2 当 t 为何值时 S 取得最大值 并求出最大值 用心 爱心 专心2 3 是否存在某时刻 t 使线段 PQ 恰好把 ABC 的面积平分 若存在 求出此时 t 的值 若不存在 请说明理由 4 如图 2 把 AQP 沿 AP 翻折 得到四边形 AQPQ 那么是否存在某时刻 t 使四边形 AQPQ 为菱形 若存在 求出此时菱形的面积 若不存在 请说明理由 2012 攀枝花 43 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 四边形 ABCD 是菱形 顶点 A C D 均在坐标轴上 且 AB 5 sinB 1 求过 A C D 三点的抛物线的解析式 2 记直线 AB 的解析式为 y1 mx n 1 中抛物线的解析式为 y2 ax2 bx c 求当 y1 y2 时 自变量 x 的取值范围 3 设直线 AB 与 1 中抛物线的另一个交点为 E P 点为抛物线上 A E 两点之间的一个 动点 当 P 点在何处时 PAE 的面积最大 并求出面积的最大值 用心 爱心 专心3 2012 山西 44 综合与实践 如图 在平面直角坐标系中 抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 点 D 是该抛物线的顶点 1 求直线 AC 的解析式及 B D 两点的坐标 2 点 P 是 x 轴上一个动点 过 P 作直线 l AC 交抛物线于点 Q 试探究 随着 P 点的运 动 在抛物线上是否存在点 Q 使以点 A P Q C 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 请直接写出符合条件的点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 3 请在直线 AC 上找一点 M 使 BDM 的周长最小 求出 M 点的坐标 2012 黄石 45 本小题满分 10 分 已知抛物线 1 C的函数解析式为 2 3 0 yaxbxa b 若抛 物线 1 C经过点 0 3 方程 2 30axbxa 的两根为 1 x 2 x 且 12 4xx 1 求抛物线 1 C的顶点坐标 2 已知实数0 x 请证明 1 x x 2 并说明x为何值时才会有 1 2x x 3 若抛物线先向上平移 4 个单位 再向左平移 1 个单位后得到抛物线 2 C 设 1 A m y 2 B n y是 2 C上的两个不同点 且满足 0 90AOB 0m 0n 请你用含有m的表达式表示出 AOB的面积S 并求出S的最小值及S取最小值时 一次函数OA的函数解析式 参考公式 在平面直角坐标系中 若 11 P x y 22 Q xy 则P Q两点间的距 用心 爱心 专心4 离为 22 2121 xxyy 2012 广安 46 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 AB x 轴于点 B AB 3 tan AOB 将 OAB 绕 着原点 O 逆时针旋转 90 得到 OA1B1 再将 OA1B1绕着线段 OB1的中点旋转 180 得 到 OA2B1 抛物线 y ax2 bx c a 0 经过点 B B1 A2 1 求抛物线的解析式 2 在第三象限内 抛物线上的点 P 在什么位置时 PBB1的面积最大 求出这时点 P 的 坐标 3 在第三象限内 抛物线上是否存在点 Q 使点 Q 到线段 BB1的距离为 若存在 求 出点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 用心 爱心 专心5 2012 张家界 47 如图 抛物线 y x2 x 2 与 x 轴交于 C A 两点 与 y 轴交于点 B OB 4 点 O 关于直线 AB 的对称点为 D E 为线段 AB 的中点 1 分别求出点 A 点 B 的坐标 2 求直线 AB 的解析式 3 若反比例函数 y 的图象过点 D 求 k 值 4 两动点 P Q 同时从点 A 出发 分别沿 AB AO 方向向 B O 移动 点 P 每秒移动 1 个 单位 点 Q 每秒移动 个单位 设 POQ 的面积为 S 移动时间为 t 问 S 是否存在最大 值 若存在 求出这个最大值 并求出此时的 t 值 若不存在 请说明理由 2012 宜宾 48 如图 抛物线 y x2 2x c 的顶点 A 在直线 l y x 5 上 1 求抛物线顶点 A 的坐标 用心 爱心 专心6 2 设抛物线与 y 轴交于点 B 与 x 轴交于点 C D C 点在 D 点的左侧 试判断 ABD 的 形状 3 在直线 l 上是否存在一点 P 使以点 P A B D 为顶点的四边形是平行四边形 若 存在 求点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 2012 武汉 49 如图 1 点 A 为抛物线 C1 y x2 2 的顶点 点 B 的坐标为 1 0 直线 AB 交抛物 线 C1于另一点 C 1 求点 C 的坐标 2 如图 1 平行于 y 轴的直线 x 3 交直线 AB 于点 D 交抛物线 C1于点 E 平行于 y 轴的 直线 x a 交直线 AB 于 F 交抛物线 C1于 G 若 FG DE 4 3 求 a 的值 3 如图 2 将抛物线 C1向下平移 m m 0 个单位得到抛物线 C2 且抛物线 C2的顶点 为点 P 交 x 轴于点 M 交射线 BC 于点 N NQ x 轴于点 Q 当 NP 平分 MNQ 时 求 m 的 值 用心 爱心 专心7 2012 潜江 50 如图 抛物线 y ax2 bx 2 交 x 轴于 A 1 0 B 4 0 两点 交 y 轴于点 C 与 过点 C 且平行于 x 轴的直线交于另一点 D 点 P 是抛物线上一动点 1 求抛物线解析式及点 D 坐标 2 点 E 在 x 轴上 若以 A E D P 为顶点的四边形是平行四边形 求此时点 P 的坐标 3 过点 P 作直线 CD 的垂线 垂足为 Q 若将 CPQ 沿 CP 翻折 点 Q 的对应点为 Q 是否存在点 P 使 Q 恰好落在 x 轴上 若存在 求出此时点 P 的坐标 若不存在 说明理由 答案 41 解 1 由题意可知 O1 m m O2 n n 设过点 O1 O2的直线解析式为 y kx b 则有 0 m n 解得 所求直线的解析式为 y x 2 由相交两圆的性质 可知 P Q 点关于 O1O2对称 P 4 1 直线 O1O2解析式为 y x Q 1 4 如解答图 1 连接 O1Q 用心 爱心 专心8 Q 1 4 O1 m m 根据两点间距离公式得到 O1Q 又 O1Q 为小圆半径 即 QO1 m m 化简得 m2 10m 17 0 如解答图 1 连接 O2Q 同理可得 n2 10n 17 0 由 式可知 m n 是一元二次方程 x2 10 x 17 0 的两个根 解 得 x 5 0 m n m 5 n 5 O1 m m O2 n n d O1O2 8 3 假设存在这样的抛物线 其解析式为 y ax2 bx c 因为开口向下 所以 a 0 如解答图 2 连接 PQ 由相交两圆性质可知 PQ O1O2 P 4 1 Q 1 4 PQ 又 O1O2 8 S1 PQ O1O2 8 又 S2 O2R O1M MR n m n m 1 即抛物线在 x 轴上截得的线段长为 1 抛物线过点 P 4 1 Q 1 4 解得 抛物线解析式为 y ax2 5a 1 x 5 4a 令 y 0 则有 ax2 5a 1 x 5 4a 0 设两根为 x1 x2 则有 x1 x2 x1x2 在 x 轴上截得的线段长为 1 即 x1 x2 1 x1 x2 2 1 x1 x2 2 4x1x2 1 即 2 4 1 化简得 8a2 10a 1 0 解得 a 可见 a 的两个根均大于 0 这与抛物线开口向下 即 a 0 矛盾 不存在这样的抛物线 用心 爱心 专心9 42 解 AB 10cm AC 8cm BC 6cm 由勾股定理逆定理得 ABC 为直角三角形 C 为直角 1 BP 2t 则 AP 10 2t PQ BC 即 解得 t 当 t s 时 PQ BC 2 如答图 1 所示 过 P 点作 PD AC 于点 D 用心 爱心 专心10 PD BC 即 解得 PD 6 t S AQ PD 2t 6 t t2 6t t 2 当 t s 时 S 取得最大值 最大值为cm2 3 假设存在某时刻 t 使线段 PQ 恰好把 ABC 的面积平分 则有 S AQP S ABC 而 S ABC AC BC 24 此时 S AQP 12 由 2 可知 S AQP t2 6t t2 6t 12 化简得 t2 5t 10 0 5 2 4 1 10 15 0 此方程无解 不存在某时刻 t 使线段 PQ 恰好把 ABC 的面积平分 4 假设存在时刻 t 使四边形 AQPQ 为菱形 则有 AQ PQ BP 2t 如答图 2 所示 过 P 点作 PD AC 于点 D 则有 PD BC 即 解得 PD 6 t AD 8 t QD AD AQ 8 t 2t 8 t 在 Rt PQD 中 由勾股定理得 QD2 PD2 PQ2 即 8 t 2 6 t 2 2t 2 化简得 13t2 90t 125 0 解得 t1 5 t2 t 5s 时 AQ 10cm AC 不符合题意 舍去 t 由 2 可知 S AQP t2 6t S菱形 AQPQ 2S AQP 2 t2 6t 2 2 6 cm2 所以存在时刻 t 使四边形 AQPQ 为菱形 此时菱形的面积为cm2 用心 爱心 专心11 43 解 1 四边形 ABCD 是菱形 AB AD CD BC 5 sinB sinD Rt OCD 中 OC CD sinD 4 OD 3 OA AD OD 2 即 A 2 0 B 5 4 C 0 4 D 3 0 设抛物线的解析式为 y a x 2 x 3 得 2 3 a 4 a 抛物线 y x2 x 4 2 由 A 2 0 B 5 4 得直线 AB y1 x 由 1 得 y2 x2 x 4 则 解得 由图可知 当 y1 y2时 2 x 5 3 S APE AE h 当 P 到直线 AB 的距离最远时 S ABC最大 若设直线 L AB 则直线 L 与抛物线有且只有一个交点时 该交点为点 P 设直线 L y x b 当直线 L 与抛物线有且只有一个交点时 x b x2 x 4 且 0 求得 b 即直线 L y x 用心 爱心 专心12 可得点 P 由 2 得 E 5 则直线 PE y x 9 则点 F 0 AF OA OF PAE 的最大值 S PAE S PAF S AEF 综上所述 当 P 时 PAE 的面积最大 为 44 解 1 当 y 0 时 x2 2x 3 0 解得 x1 1 x2 3 点 A 在点 B 的左侧 A B 的坐标分别为 1 0 3 0 当 x 0 时 y 3 C 点的坐标为 0 3 设直线 AC 的解析式为 y k1x b1 k1 0 则 解得 直线 AC 的解析式为 y 3x 3 用心 爱心 专心13 y x2 2x 3 x 1 2 4 顶点 D 的坐标为 1 4 2 抛物线上有三个这样的点 Q 当点 Q 在 Q1 位置时 Q1 的纵坐标为 3 代入抛物线可得点 Q1 的坐标为 2 3 当点 Q 在点 Q2 位置时 点 Q2 的纵坐标为 3 代入抛物线可得点 Q2 坐标为 1 3 当点 Q 在 Q3 位置时 点 Q3 的纵坐标为 3 代入抛物线解析式可得 点 Q3 的坐标为 1 3 综上可得满足题意的点 Q 有三个 分别为 Q1 2 3 Q2 1 3 Q3 1 3 3 点 B 作 BB AC 于点 F 使 B F BF 则 B 为点 B 关于直线 AC 的对称点 连接 B D 交直线 AC 与点 M 则点 M 为所求 过点 B 作 B E x 轴于点 E 1 和 2 都是 3 的余角 1 2 Rt AOC Rt AFB 由 A 1 0 B 3 0 C 0 3 得 OA 1 OB 3 OC 3 AC AB 4 BF BB 2BF 由 1 2 可得 Rt AOC Rt B EB 即 B E BE 用心 爱心 专心14 OE BE OB 3 B 点的坐标为 设直线 B D 的解析式为 y k2x b2 k2 0 解得 直线 B D 的解析式为 y x 联立 B D 与 AC 的直线解析式可得 解得 M 点的坐标为 45 解 1 抛物线过 点 3a a 分 x2 bx x2 bx 的两根为x1 x2且 21 x x 21 2 2121 4 xxxxxx 且b b 分 x2 x x 用心 爱心 专心15 抛物线 的顶点坐标为 分 2 x 0 1 2 1 x x x x 2 1 x x显然当x 时 才有 2 1 x x 分 3 方法一 由平移知识易得 的解析式为 y x2 分 m m B n n AOB为 Rt OA OB AB m m n n m n m n 化简得 m n 分 AOB OBOA 2 1 4242 2 1 nnmm m n AOB 2 222 1 2 2 1 2 2 1 m mnm 12 2 11 2 1 1 2 1 2 m m m m AOB的最小值为 此时m 分 直线OA的一次函数解析式为 x 分 方法二 由题意可求抛物线 2 C的解析式为 2 yx 1 分 2 A m m 2 B n n 过点A B作x轴的垂线 垂足分别为C D 则 AOCBODACDB SSSS AA梯形 2222 111 222 mnmnm mn n 1 2 mn mn 由BOD OAC 得 BDOD OCAC 即 2 2 nn mm 1mn 1 分 1 n m 用心 爱心 专心16 1 2 Smn mn 11 2 m m 由 2 知 1 2m m 111 21 22 Sm m 当且仅当1m S取得最小值 1 此时A的坐标为 2 分 一次函数OA的解析式为yx 1 分 46 解 1 AB x 轴 AB 3 tan AOB OB 4 B 4 0 B1 0 4 A2 3 0 抛物线 y ax2 bx c a 0 经过点 B B1 A2 解得 抛物线的解析式为 y x2 x 4 2 点 P 是第三象限内抛物线 y x2 x 4 上的一点 如答图 1 过点 P 作 PC x 轴于点 C 设点 P 的坐标为 m n 则 m 0 n 0 n m2 m 4 于是 PC n n m2 m 4 OC m m BC OB OC 4 m 4 m B n n2 A m m2 OCD y x 用心 爱心 专心17 S PBB1 S PBC S梯形 PB1OC S OBB1 BC PC PC OB1 OC OB OB1 4 m m2 m 4 m2 m 4 4 m 4 4 m2 m m 2 2 当 m 2 时 PBB1的面积最大 这时 n 即点 P 2 3 假设在第三象限的抛物线上存在点 Q x0 y0 使点 Q 到线段 BB1的距离为 如答图 2 过点 Q 作 QD BB1于点 D 由 2 可知 此时 QBB1的面积可以表示为 x0 2 2 在 Rt OBB1中 BB1 S QBB1 BB1 QD 2 x0 2 2 2 解得 x0 1 或 x0 3 当 x0 1 时 y0 4 当 x0 3 时 y0 2 因此 在第三象限内 抛物线上存在点 Q 使点 Q 到线段 BB1的距离为 这样的点 Q 的 坐标是 1 4 或 3 2 47 解 1 令 y 0 即 x2 x 2 0 解得 x1 x2 2 C 0 A 2 0 令 x 0 即 y 2 B 0 2 综上 A 2 0 B 0 2 2 令 AB 方程为 y k1x 2 因为点 A 2 0 在直线上 0 k12 2 用心 爱心 专心18 k1 直线 AB 的解析式为 y x 2 3 由 A 2 0 B 0 2 得 OA 2 OB 2 AB 4 BAO 30 DOA 60 OD 与 O 点关于 AB 对称 OD OA 2 D 点的横坐标为 纵坐标为 3 即 D 3 因为 y 过点 D 3 k 3 4 AP t AQ t P 到 x 轴的距离 AP sin30 t OQ OA AQ 2 t S OPQ 2 t t t 2 2 依题意 得 0 t 4 当 t 2时 S 有最大值为 48 解 1 顶点 A 的横坐标为 x 1 且顶点 A 在 y x 5 上 当 x 1 时 y 1 5 4 A 1 4 2 ABD 是直角三角形 将 A 1 4 代入 y x2 2x c 可得 1 2 c 4 c 3 y x2 2x 3 B 0 3 当 y 0 时 x2 2x 3 0 x1 1 x2 3 C 1 0 D 3 0 BD2 OB2 OD2 18 AB2 4 3 2 12 2 AD2 3 1 2 42 20 BD2 AB2 AD2 ABD 90 即 ABD 是直角三角形 3 存在 由题意知 直线 y x 5 交 y 轴于点 A 0 5 交 x 轴于点 F 5 0 OE OF 5 又 OB OD 3 OEF 与 OBD 都是等腰直角三角形 BD l 即 PA BD 则构成平行四边形只能是 PADB 或 PABD 如图 过点 P 作 y 轴的垂线 过点 A 作 x 轴的垂线并交于点 C 设 P x1 x1 5 则 G 1 x1 5 则 PC 1 x1 AG 5 x1 4 1 x1 用心 爱心 专心19 PA BD 3 由勾股定理得 1 x1 2 1 x1 2 18 x12 2x1 8 0 x1 2 4 P 2 7 P 4 1 存在点 P 2 7 或 P 4 1 使以点 A B D P 为顶点的四边形是平行四边形 49 解 1 当 x 0 时 y 2 A 0 2 设直线 AB 的解析式为 y kx b 则 解得 直线 AB 解析式为 y 2x 2 点 C 为直线 y 2x 2 与抛物线 y x2 2 的交点 则点 C 的横 纵坐标满足 解得 舍 点 C 的坐标为 4 6 2 直线 x 3 分别交直线 AB 和抛物线 C1于 D E 两点 用心 爱心 专心20 yD 4 yE DE FG DE 4 3 FG 2 直线 x a 分别交直线 AB 和抛物线 C1于 F G 两点 yF 2a 2 yG a2 2 FG 2a a2 2 解得 a1 2 a2 2 2 a3 2 2 3 设直线 MN 交 y 轴于 T 过点 N 做 NH y 轴于点 H 设点 M 的坐标为 t 0 抛物线 C2的解析式为 y x2 2 m 0 t