2012年高考数学 高考试题+模拟新题分类汇编专题M 推理与证明 理

用心 爱心 专心1 M M 推理与证明推理与证明 M1 合情推理与演绎推理 11 M1M1 2012 陕西卷 观察下列不等式 1 1 22 3 2 1 1 22 1 32 5 3 1 1 22 1 32 1 42 7 4 照此规律 第五个不等式为 11 1 1 22 1 32 1 42 1 52 1 62 11 6 解析 本小题主要考查了归纳与推理的能力 解题的关键是对给出的几个事例分析 找出规律 推出所要的结果 从几个不等式左边分析 可得出第五个式子的左边为 1 对几个不等式右边分析 其分母依次为 2 3 4 所以第 5 个式 1 22 1 32 1 42 1 52 1 62 子的分母应为 6 而其分子依次为 3 5 7 所以第 5 个式子的分子应为 11 所以第 5 个 式子应为 1 0 其中r 为有理数 且 0 rg 1 0 从而f a2 ng a2 0 进 n 32 而f a2 是 0 1 上的增函数 因此f a2 f 1 n 2 所要证的不等式成立 当a2 1 时 令b 则 0 b 1 由已知的结论知 1 a2 1 1 a2 n 1 1 a2 n 2 1 1 a2 n 1 两边同时乘以a得所要证的不等式 n 12 综上 当a2 1 且a2 0 时 有Sn a1 an 当且仅当n 1 2 或a2 1 时等号成 n 2 立 22 B12B12 M3M3 M2M2 2012 湖北卷 1 已知函数f x rx xr 1 r x 0 其中r 为有理数 且 0 r 1 求f x 的最小值 2 试用 1 的结果证明如下命题 设a1 0 a2 0 b1 b2为正有理数 若b1 b2 1 则ab11ab22 a1b1 a2b2 3 请将 2 中的命题推广到一般形式 并用数学归纳法证明你所推广的命题 注 当 为正有理数时 有求导公式 x x 1 22 解 1 f x r rxr 1 r 1 xr 1 令f x 0 解得x 1 当 0 x 1 时 f x 0 所以f x 在 0 1 内是减函数 当x 1 时 f x 0 所以f x 在 1 内是增函数 故函数f x 在x 1 处取得最小值f 1 0 2 由 1 知 当x 0 时 有f x f 1 0 即xr rx 1 r 若a1 a2中有一个为 0 则ab11ab22 a1b1 a2b2成立 若a1 a2均不为 0 又b1 b2 1 可得b2 1 b1 于是 在 中令x r b1 可得b1 b1 1 b1 a1 a2 a1 a2 a1 a2 即ab11a1 b12 a1b1 a2 1 b1 亦即ab11ab22 a1b1 a2b2 综上 对a1 0 a2 0 b1 b2为正有理数且b1 b2 1 总有 ab11ab22 a1b1 a2b2 3 2 中命题的推广形式为 若a1 a2 an为非负实数 b1 b2 bn为正有理数 若b1 b1 bn 1 则ab11ab22 abnn a1b1 a2b2 anbn 用数学归纳法证明如下 当n 1 时 b1 1 有a1 a1 成立 假设当n k时 成立 即若a1 a2 ak为非负实数 b1 b2 bk为正有 理数 且b1 b2 bk 1 则ab11ab22 abkk a1b1 a2b2 akbk 当n k 1 时 已知a1 a2 ak ak 1为非负实数 b1 b2 bk bk 1为正有 理数 且b1 b2 bk bk 1 1 此时 0 bk 1 1 即 1 bk 1 0 于是 ab11ab22 abkkabk 1k 1 ab11ab22 abkk abk 1k 1 用心 爱心 专心7 a 1a2 ak 1 bk 1abk 1k 1 b1 1 bk 1 b2 1 bk 1 bk 1 bk 1 因 1 由归纳假设可得 b1 1 bk 1 b2 1 bk 1 bk 1 bk 1 a 1a2 ak a1 a2 ak b1 1 bk 1 b2 1 bk 1 bk 1 bk 1 b1 1 bk 1 b2 1 bk 1 bk 1 bk 1 a1b1 a2b2 akbk 1 bk 1 从而ab11ab22 abkkabk 1k 1 1 bk 1abk 1k 1 a1b1 a2b2 akbk 1 bk 1 又因 1 bk 1 bk 1 1 由 得 1 bk 1abk 1k 1 1 bk 1 a1b1 a2b2 akbk 1 bk 1 a1b1 a2b2 akbk 1 bk 1 ak 1bk 1 a1b1 a2b2 akbk ak 1bk 1 从而ab11ab22 abkkabk 1k 1 a1b1 a2b2 akbk ak 1bk 1 故当n k 1 时 成立 由 可知 对一切正整数n 所推广的命题成立 说明 3 中如果推广形式中指出 式对n 2 成立 则后续证明中不需讨论n 1 的情 况 22 D3D3 M3M3 2012 全国卷 函数f x x2 2x 3 定义数列 xn 如下 x1 2 xn 1 是过两点P 4 5 Qn xn f xn 的直线PQn与x轴交点的横坐标 1 证明 2 xn xn 1 3 2 求数列 xn 的通项公式 22 解 1 用数学归纳法证明 2 xn xn 1 3 当n 1 时 x1 2 直线PQ1的方程为 y 5 x 4 f 2 5 2 4 令y 0 解得x2 所以 2 x1 x2 3 11 4 假设当n k时 结论成立 即 2 xk xk 1 3 直线PQk 1的方程为y 5 x 4 f xk 1 5 xk 1 4 令y 0 解得xk 2 3 4xk 1 2 xk 1 由归纳假设知xk 2 4 0 3 xk 1 1 xk 1 2 xk 1 即xk 1 xk 2 所以 2 xk 1 xk 2 3 即当n k 1 时 结论成立 由 知对任意的正整数n 2 xn xn 10 成立的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 用心 爱心 专心10 2 A 解析 因 为锐角 则必有 sin 0 反之 sin 0 则 不一定为 锐角 如 120 故选 A 3 2012 洛阳检测 给出下面类比推理命题 其中 Q Q 为有理数集 R R 为实数集 C C 为 复数集 若a b R R 则a b 0 a b 类比推出 若a b C C 则a b 0 a b 若a b c d R R 则复数a bi c di a c b d 类比推出 若 a b c d Q Q 则a b c d a c b d 22 若a b R R 则a b 0 a b 类比推出 若a b C C 则a b 0 a b 其中类比得到的结论正确的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 3 C 解析 是正确的 是错误的 因为复数不能比较大小 如a 5 6i b 4 6i 虽然满足a b 1 0 但复数a与b不能比较大小 4 2012 韶关一调 在平面中 ABC的角C的内角平分线CE分 ABC面积所成的 比 将这个结论类比到空间 在三棱锥A BCD中 平面DEC平分二面角 S AEC S BEC AC BC A CD B且与AB交于E 则类比的结论为 图 K45 1 4 解析 此类问题由平面类比空间 应该面积类比体积 长度 VA CDE VB CDE S ACD S BDC 类比面积 由 类