2012年高考数学 高考试题+模拟新题分类汇编专题J 计数原理 理

用心 爱心 专心1 J J 计数原理计数原理 J1 基本计数原理 10 J1J1 J2J2 2012 安徽卷 6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换 任意两位 同学之间最多交换一次 进行交换的两位同学互赠一份纪念品 已知 6 位同学之间共进行 了 13 次交换 则收到 4 份纪念品的同学人数为 A 1 或 3 B 1 或 4 C 2 或 3 D 2 或 4 10 D 解析 本题考查组合数等计数原理 任意两个同学之间交换纪念品共要交换 C 15 次 如果都完全交换 每个人都要交换 2 6 5 次 也就是得到 5 份纪念品 现在 6 个同学总共交换了 13 次 少交换了 2 次 这 2 次如 果不涉及同一个人 则收到 4 份纪念品的同学人数有 4 人 如果涉及同一个人 则收到 4 份纪念品的同学人数有 2 人 答案为 D 6 J1J1 J2J2 2012 北京卷 从 0 2 中选一个数字 从 1 3 5 中选两个数字 组成无重 复数字的三位数 其中奇数的个数为 A 24 B 18 C 12 D 6 6 B 解析 本题考查排列组合计数的基础知识 考查分析问题和解决问题的能力 法一 直接法 本题可以理解为选出三个数 放在三个位置 要求末尾必须放奇数 如果选到了 0 这个数 这个数不能放在首位 所以n C C A C C 12 6 18 2 3 1 2 2 22 3 1 2 法二 间接法 奇数的个数为n C C C A C C 18 1 3 1 2 1 2 2 21 3 1 2 7 K2K2 J1J1 2012 广东卷 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个 其个 位数为 0 的概率是 A B 4 9 1 3 C D 2 9 1 9 7 D 解析 本题考查利用古典概型求解概率以及两个基本计数原理 解决本题的突 破口是首先确定符合条件的两位数的所有个数 再找到个位是 0 的个数 利用公式求解 设个位数与十位数分别为y x 则如果两位数之和是奇数 则x y分别为一奇数一 偶数 第一类x为奇数 y为偶数共有 C C 25 1 51 5 另一类x为偶数 y为奇数共有 C C 20 1 41 5 两类共计 45 个 其中个位数是 0 十位数是奇数的两位数有 10 30 50 70 90 这 5 个 数 所以个位数是 0 的概率为 P A 5 45 1 9 6 J1J1 J2J2 2012 浙江卷 若从 1 2 3 9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数 其 和为偶数 则不同的取法共有 A 60 种 B 63 种 C 65 种 D 66 种 6 D 解析 本题考查计数原理与组合等基础知识 考查灵活运用知识与分析 解决 问题的能力 要使所取出的 4 个数的和为偶数 则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有 要求 所以按照取出的数字奇偶数的个数分类 1 2 3 9 这 9 个整数中有 5 个奇数 4 个偶数 要想同时取 4 个不同的数其和为偶数 则取法有三类 用心 爱心 专心2 4 个都是偶数 1 种 2 个偶数 2 个奇数 C C 60 种 2 5 2 4 4 个都是奇数 C 5 种 不同的取法共有 66 种 4 5 点评 对于计数问题 有时正确的分类是解决问题的切入点 同时注意分类的全面与 到位 不要出现遗漏现象 J2 排列 组合 11 J2J2 2012 山东卷 现有 16 张不同的卡片 其中红色 黄色 蓝色 绿色卡片各 4 张 从中任取 3 张 要求这 3 张卡片不能是同一种颜色 且红色卡片至多 1 张 不同取 法的种数为 A 232 B 252 C 472 D 484 11 C 解析 本题考查排列 组合 考查运算求解能力 应用意识 中档题 法一 排除法 先从 16 张卡片选 3 张 然后排除所取三张同色与红色的为 2 张的情况 C 4C C C 560 88 472 3 163 42 4 1 12 法二 有红色卡片的取法有 C C C C C C C 不含红色卡片的取法有 1 4 2 3 1 4 1 41 4 1 3 2 4 C C C C C C 总共不同取法有 C C C C C C C C C C C C C 472 1 4 1 4 1 41 3 2 4 1 81 4 2 3 1 4 1 41 4 1 3 2 41 4 1 4 1 41 3 2 4 1 8 8 J2J2 2012 陕西卷 两人进行乒乓球比赛 先赢 3 局者获胜 决出胜负为止 则所 有可能出现的情形 各人输赢局次的不同视为不同情形 共有 A 10 种 B 15 种 C 20 种 D 30 种 8 C 解析 本小题主要考查排列 组合的知识 解题的突破口为找出甲或乙赢的情 况进行分析计算 依甲赢计算 打三局结束甲全胜只有 1 种 打四局结束甲前三局赢两局 第四局必胜有 C 种 打五局结束甲前四局赢两局 第五局必胜有 C 1 6 种 故甲胜共 2 32 4 有 10 种 同样乙胜也有 10 种 所以共有 20 种 故选 C 5 J2J2 2012 辽宁卷 一排 9 个座位坐了 3 个三口之家 若每家人坐在一起 则不同 的坐法种数为 A 3 3 B 3 3 3 C 3 4 D 9 5 C 解析 本小题主要考查排列组合知识 解题的突破口为分清是分类还是分步 是排列还是组合问题 由已知 该问题是排列中捆绑法的应用 即先把三个家庭看作三个不同元素进行全排 列 而后每个家庭内部进行全排列 即不同坐法种数为 A A A A 3 4 3 33 33 33 3 2 J2J2 2012 课标全国卷 将 2 名教师 4 名学生分成 2 个小组 分别安排到甲 乙 两地参加社会实践活动 每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成 不同的安排方案共有 A 12 种 B 10 种 C 9 种 D 8 种 2 A 解析 分别从 2 名教师中选 1 名 4 名学生中选 2 名安排到甲地参加社会实践 活动即可 则乙地就安排剩下的教师与学生 故不同的安排方法共有 C C 12 种 故选 A 1 2 2 4 11 J2J2 2012 全国卷 将字母a a b b c c排成三行两列 要求每行的字母互 不相同 每列的字母也互不相同 则不同的排列方法共有 A 12 种 B 18 种 C 24 种 D 36 种 11 A 解析 本小题主要考查排列组合的应用 解题的突破口为正确理解题意并进 用心 爱心 专心3 行合理分步 第一步排第一列 一定是一个a 一个b和一个c 共有 A 6 种不同的排法 第二步 3 3 排第二列 要求每行每列字母均不同共有 2 种不同的排法 则总共有 2A 12 种不同的排 3 3 法 故选 A 6 J1J1 J2J2 2012 北京卷 从 0 2 中选一个数字 从 1 3 5 中选两个数字 组成无重 复数字的三位数 其中奇数的个数为 A 24 B 18 C 12 D 6 6 B 解析 本题考查排列组合计数的基础知识 考查分析问题和解决问题的能力 法一 直接法 本题可以理解为选出三个数 放在三个位置 要求末尾必须放奇数 如果选到了 0 这个数 这个数不能放在首位 所以n C C A C C 12 6 18 2 3 1 2 2 22 3 1 2 法二 间接法 奇数的个数为n C C C A C C 18 1 3 1 2 1 2 2 21 3 1 2 10 J1J1 J2J2 2012 安徽卷 6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换 任意两位 同学之间最多交换一次 进行交换的两位同学互赠一份纪念品 已知 6 位同学之间共进行 了 13 次交换 则收到 4 份纪念品的同学人数为 A 1 或 3 B 1 或 4 C 2 或 3 D 2 或 4 10 D 解析 本题考查组合数等计数原理 任意两个同学之间交换纪念品共要交换 C 15 次 如果都完全交换 每个人都要交换 2 6 5 次 也就是得到 5 份纪念品 现在 6 个同学总共交换了 13 次 少交换了 2 次 这 2 次如 果不涉及同一个人 则收到 4 份纪念品的同学人数有 4 人 如果涉及同一个人 则收到 4 份纪念品的同学人数有 2 人 答案为 D 11 J2J2 2012 四川卷 方程ay b2x2 c中的a b c 3 2 0 1 2 3 且 a b c互不相同 在所有这些方程所表示的曲线中 不同的抛物线共有 A 60 条 B 62 条 C 71 条 D 80 条 11 B 解析 由于要表示抛物线 首先a b均不能为 0 又b要进行平方 且只需考虑不同情况 故b2在 1 4 9 中考虑 c 0 时 若a取 1 则b2可取 4 或 9 得到 2 条不同的抛物线 若a取 2 3 2 3 任意一个 b2都有 1 4 9 三种可能 可得到 4 3 12 条抛物线 以上共计 14 条不同的抛物线 c 0 时 在 3 2 1 2 3 中任取 3 个作为a b c的值 有 A 60 种情况 3 5 其中a c取定 b取互为相反数的两个值时 所得抛物线相同 这样的情形有 4A 24 种 2 3 其中重复一半 故不同的抛物线共有 60 12 48 条 以上两种情况合计 14 48 62 条 6 J1J1 J2J2 2012 浙江卷 若从 1 2 3 9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数 其 和为偶数 则不同的取法共有 A 60 种 B 63 种 C 65 种 D 66 种 6 D 解析 本题考查计数原理与组合等基础知识 考查灵活运用知识与分析 解决 问题的能力 要使所取出的 4 个数的和为偶数 则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有 要求 所以按照取出的数字奇偶数的个数分类 1 2 3 9 这 9 个整数中有 5 个奇数 4 个偶数 要想同时取 4 个不同的数其和为偶数 则取法有三类 4 个都是偶数 1 种 2 个偶数 2 个奇数 C C 60 种 2 5 2 4 4 个都是奇数 C 5 种 不同的取法共有 66 种 4 5 用心 爱心 专心4 点评 对于计数问题 有时正确的分类是解决问题的切入点 同时注意分类的全面与 到位 不要出现遗漏现象 J3 二项式定理 1 J3J3 2012 四川卷 1 x 7的展开式中x2的系数是 A 42 B 35 C 28 D 21 1 D 解析 根据二项展开式的通项公式Tr 1 Cxr 取r 2 得x2的系数为 C r72 7 21 7 6 2 5 J3J3 2012 上海卷 在 6的二项展开式中 常数项等于 x 2 x 5 160 解析 考查二项式定理 主要是二项式的通项公式的运用 由通项公式得Tr 1 Cx6 r r 2 rC x6 2r 令 6 2r 0 解得r 3 所以是 r6 2 x r6 第 4 项为常数项 T4 2 3C 160 3 6 12 J3J3 2012 陕西卷 a x 5展开式中x2的系数为 10 则实数a的值为 12 1 解析 本小题主要考查了二项式定理 解题的关键是写出二项展开式的通项 公式 其展开式的通项公式为 Tr 1 Ca5 rxr 令r 2 所以x2的系数为 Ca3 即有 r52 5 Ca3 10 a 1 故填 1 2 5 13 J3J3 2012 湖南卷 6的二项展开式中的常数项为 用数字作 2 x 1 x 答 13 160 解析 由二项式的通项公式得Tr 1 C 2 6 r r 1 r6x 1 x r26 rC x3 r r6 令 3 r 0 r 3 所以常数项为T4 1 326 3C 160 3 6 5 J3J3 2012 湖北卷 设a Z Z 且 0 a 13 若 512 012 a能被 13 整除 则a A 0 B 1 C 11 D 12 5 D 解析 512 012 a a 13 4 1 2 012 1 13 14 2012 a 1 C 13 4 C 13 4 2 C 13 4 2 012 12 01222 0122 0122 012 显然当a 1 13k k Z Z 即a 1 13k k Z Z 时 512 012 a 13 4 C C 12 012 13 4 1 C 13 4 2 011 能被 13 整除 因为a Z Z 且 0 a 13 所以 22 0122 0122 012 a 12 故选 D 10 J3J3 2012 广东卷 6的展开式中x3的系数为 用数字作答 x2 1 x 10 20 解析 本题考查二项展开式特定项的系数问题 解题关键是正确写出展开式 的通项 Tr 1 Cx2 6 r r C x2 6 r x r Cx12 3r 令 12 3r 3 解得r 3 所以x3 r6 1 x r6r6 的系数为 C 20 3 6 11 J3J3 2012 福建卷 a x 4的展开式中x3的系数等于 8 则实数a 11 2 解析 本题考查二项展开式特定项的系数问题 解题关键是正确写出展开式 的通项 该二项式的通项是Tr 1 Ca4 rxr x3的系数为 8 即令r 3 所以 Ca1 8 所 r43 4 用心 爱心 专心5 以 4a 8 所以a 2 15 J3J3 2012 全国卷 若 n的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等 则 x 1 x 该展开式中的系数为 1 x2 15 56 解析 本小题主要考查二项式定理中通项公式的应用 解题的突破口为先利 用二项式系数相等求出n 再结合通项公式即可 由题有 C C n 8 Tr 1 Cx8 r r C2r 8 令 2r 8 2 r 5 的系 2n6nr8 1 x r8 1 x 1 x2 数为 C 56 故填 56 5 8 7 J3J3 2012 安徽卷 x2 2 5的展开式的常数项是 1 x2 1 A 3 B 2 C 2 D 3 7 D 解析 本题考查二项式定理的简单应用 因为 5 x25 25 又 25展开式中的常数项为 2C x2 2 1 x2 1 1 x2 1 1 x2 1 1 x2 1 5 5 05 2 x25展开式中的常数项为x2C14 5 故二项式 1 x2 1 1 x2 1 4 5 1 x2 1 x2 2 5展开式中的常数项为 2 5 3 1 x2 1 5 J3J3 2012 天津卷 在 5的二项展开式中 x的系数为 2x2 1 x A 10 B 10 C 40 D 40 5 D 解析 本题考查二项式定理 考查运算求解能力 容易题 Tk 1 C 2x2 5 k k 1 kC 25 kx10 3k 令 10 3k 1 即k 3 k5 1 x k5 此时x的系数为 1 3C 22 40 3 5 14 J3J3 B12B12 2012 浙江卷 若将函数f x x5表示为f x a0 a1 1 x a2 1 x 2 a5 1 x 5 其中a0 a1 a2 a5为实数 则a3 14 10 解析 本题主要考查函数的解析式以及二项式定理 法一 由于f x x5 5那么a3 C 1 2 10 故应填 10 1 x 1 2 5 法二 对等式f x x5 a0 a1 1 x a2 1 x 2 a5 1 x 5两边连续对x求导 三次得 60 x2 6a3 24a4 1 x 60a5 1 x 2 再运用赋值法 令x 1 得 60 6a3 即a3 10 法三 由等式两边对应项系数相等 即Error a3 10 点评 正确地把函数与二项展开式加以对比 再结合二项式定理加以分析与应用 注 意等式的拆分与组合 4 J3J3 2012 重庆卷 8的展开式中常数项为 x 1 2x A B 35 16 35 8 C D 105 35 4 用心 爱心 专心6 4 B 解析 展开式的第k 1 项为Tk 1 C 8 k k kC x4 k 令 k8x 1 2x 1 2 k8 4 k 0 则k 4 所以展开式中常数项为 4C 1 2 4 8 35 8 J4 单元综合 20122012 模拟题模拟题 1 2012 西安五校联考 2011 年西安世园会组委会要派五名志愿者从事翻译 导游 礼仪三项工作 要求每项工作至少有一人从事 则不同的派给方案共有 A 25 种 B 150 种 C 240 种 D 360 种 1 B 解析 五名志愿者从事翻译 导游 礼仪三项工作 要求每项工作至少有一人 从事 分为两类 第一类有一样 3 人做 另 2 样各一人 C A 60 第二类有两样各 2 人 3 5 3 3 做 另一样 1 人做 C C A 90