2010年高三数学高考易错典型习题专练：立体几何2

20102010 年高考数学易错典型习题专练年高考数学易错典型习题专练 立体几何立体几何 四川理 15 如图 已知正三棱柱 111 ABCABC 的各条棱长都相等 M是侧棱 1 CC的中点 则异面直线 1 ABBM和所成的角的大小是 答案 90 解析 作BC中点N 连结AN ABAC ANBC 11 ABCB BCC 平面平面 11 ANB BCC 平面 1 B BCBCM AA则 1 B NBM 由三垂线定理得 1 ABBM 考点定位 本小题主要考查求异面直线的角的解法 浙江 理 12 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积是 3 cm 解析 该几何体是由二个长方体组成 下面体积为1 3 39 上面的长方体体积为 3 3 19 因此其几何体的体积为 18 17 如图 在长方形ABCD中 2AB 1BC E为DC的中点 F为线段EC 端 点除外 上一动点 现将AFD 沿AF折起 使平面ABD 平面ABC 在平面ABD内过 点D作DKAB K为垂足 设AKt 则t的取值范围是 解析 此题的破解可采用二个极端位置法 即对于 F 位于 DC 的中点时 1t 随着 F 点 到 C 点时 因 CBAB CBDKCB 平面ADB 即有CBBD 对于 2 1 3CDBCBD 又1 2ADAB 因此有ADBD 则有 1 2 t 因此 t的取值范围是 1 1 2 湖北理 3 如图 卫星和地面之间的电视信号沿直线传播 电视信号能够传送到达的地面区域 称为这个卫星的覆盖区域 为了转播 2008 年北京奥运会 我国发射了 中星九号 广播电视 直播卫星 它离地球表面的距离约为 36000km 已知地球半径约为 6400km 则 中星九号 覆 盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 km 结果中保留反余弦的符号 则该几何体的体积为 3 m 湖南理 14 在半径为13的球面上有A B C三点 6AB 8BC 10CA 则 1 球心到平面ABC的距离为 12 2 过A B两点的大圆面 与平面ABC所成二面角 锐角 的正切值为 3 陕西理 15 如图球 O 的半径为 2 圆 1 O是一小圆 1 2OO A B 是圆 1 O上两点 若 A B 两点间的球面距离为 2 3 则 1 AO B 2 三 解答题 全国 1 理 18 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥SABCD 中 底面ABCD为矩形 SD 底面ABCD 2AD 2DCSD 点 M 在侧棱SC上 ABM 60 I 证明 M 在侧棱SC的中点 II 求二面角SAMB 的大小 I 解法一 作MN SD交CD于 N 作NEAB 交AB于 E 连 ME NB 则MN 面ABCD MEAB 2NEAD 设MNx 则NCEBx 在RT MEB 中 60MBE 3MEx 在RT MNE 中由 222 MENEMN 22 32xx 解得1x 从而 1 2 MNSD M 为侧棱SC的中点 M 解法二 过M作CD的平行线 解法三 利用向量处理 II 分析一 利用三垂线定理求解 在新教材中弱化了三垂线定理 这两年高考中求二面 角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角 过M作MJ CD交SD于J 作 SHAJ 交AJ于H 作HKAM 交AM于K 则JM CD JM 面SAD 面SAD 面MBA SH 面AMB SKH 即为所求二面角的补角 分析二 利用二面角的定义 在等边三角形ABM中过点B作BFAM 交AM于点 F 则点F为 AM 的中点 取 SA 的中点 G 连 GF 易证GFAM 则GFB 即为所求二 面角 分析三 利用空间向量求 在两个半平面内分别与交线 AM 垂直的两个向量的夹角即可 另外 利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等 这些方法也能奏效 总之在目前 立体几何中的两种主要的处理方法 传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江 山的状况 命题人在这里一定会照顾双方的利益 全国 2 理 18 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1 中 ABAC D E 分别为 AA1 BC1的中点DE 平面 1 BCC 1 证明 AB AC 2 设二面角 A BD C 为 600 求 1 BC与平面 BCD 所成角的大小 11 1 2 0 1 2 1 1BCFEFAFWEIADEF DEBCCAFBCCAFBCBF CFAB AC x 2 AC AB1AA2xAGBDG AG x1 AC CAABBCGCGBDCGA60tan AG 12 3 AA2A 2 CGA x x x 证明 取中点 连 依题意有矩形 因为面 所以面所以 又 所以 解 设 作于则 依题意有面 连 则 所以 由得 解得所以以为坐标原 1 1 AB AC AA 2 n BDxz02 BD 1 0BC 1 1 0nx y z 2 2 n BCxy0 n 1 1 2 CB1 12 点 分别为x y z轴正方向 建系 则 设 且 取又 0 11 0 1 1 cosn CBn CB60 2 B CBCD30 于是可得 所以其余角即为所求 所以与面所成的角的大小为 北京理 16 本小题共 14 分 如图 在三棱锥PABC 中 PA 底面 60 90ABC PAABABCBCA 点D E分别在棱 PB PC上 且 DEBC 求证 BC 平面PAC 当D为PB的中点时 求AD与平面PAC所成的角的大小 是否存在点E使得二面角ADEP 为直二面角 并说明理由 解法 1 本题主要考查直线和平面垂直 直线与平面所成的角 二面角等基础知识 考查 空间想象能力 运算能力和推理论证能力 PA 底面 ABC PA BC 又90BCA AC BC BC 平面 PAC D 为 PB 的中点 DE BC 1 2 DEBC 又由 知 BC 平面 PAC DE 平面 PAC 垂足为点 E DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角 PA 底面 ABC PA AB 又 PA AB ABP 为等腰直角三角形 1 2 ADAB 在 Rt ABC 中 60ABC 1 2 BCAB 在 Rt ADE 中 2 sin 24 DEBC DAE ADAD AD与平面PAC所成的角的大小 2 arcsin 4 AE BC 又由 知 BC 平面 PAC DE 平面 PAC 又 AE 平面 PAC PE 平面 PAC DE AE DE PE AEP 为二面角ADEP 的平 面角 PA 底面 ABC PA AC 90PAC 在棱 PC 上存在一点 E 使得 AE PC 这时 90AEP 故存在点 E 使得二面角ADEP 是直二面角 解法 2 如图 以 A 为原煤点建立空间直角坐标系Axyz 设PAa 由已知可得 133 0 0 0 0 0 0 0 0 222 ABaaCaPa 1 0 0 0 0 2 APaBCa 0BC AP BC AP 又 90BCA BC AC BC 平面 PAC D 为 PB 的中点 DE BC E 为 PC 的中点 13131 0 44242 DaaaEaa 又由 知 BC 平面 PAC DE 平面 PAC 垂足为点 E DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角 13131 0 44242 ADaaaAEaa 14 cos 4 AD AE DAE ADAE AD与平面PAC所成的角的大小 14 arccos 4 同解法 1 重庆理 19 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 如题 19 图 在四棱锥 S ABCD 中 AD BC 且 AD CD 平面 CSD 平面 ABCD CS DS CS 2AD 2 E 为 BS 的中点 CE 2 AS 3求 点 A 到平面 BCS 的距离 二面角 E CD A 的大小 解 因为 AD BC 且 BC 平面 BCS 所以 AD 平面 BCS 从而 A 点到平面 BCS 的距离 等于 D 点到平面 BCS 的距离 因为平面 CSD 平面 ABCD AD CD 故 AD 平面 CSD 从而 AD DS 由 AD BC 得 BC DS 又由 CS DS 又由 CS DS 知 DS 平面 BCS 从而 DS 为点 A 到平面 BCS 的距离 因此 在 Rt ADS 中 22 3 12DSASAD 如答 19 图 1 过 E 点作 EG CD 交 CD 于点 G 又过 G 点作 GH CD 交 AB 于 H 故 EGH 为二面角 E CD A 的平面角 记为 过 E 点作 EF BC 交 CS 于点 F 连结 GF 因平面 ABCD 平面 CSD GH CD 易知 GH GF 故 2 EGF 由于 E 为 BS 边中 点 故 CF 1 1 2 CSRt CFE 中 22 2 11EFCECF 因 EF 平面 CSD 又 EG CD 故由三垂线定理的逆定 理得 FG CD 从而又可得 CGF CSD 因此 GFGF DSCD 而在 CSD 中 CD 22 426CSSD 故 11 2 63 CF GFDS CD 在3 3 EF Rt EFGEGF FG 中 t anEG F 可得 故所求二面角的大小为 6 考点定位 本小题主要考查了直线与平面垂直判定与性质和二面角的求法 培养逻辑思 维能力和空间想象能力 由于高中数学教材有 A 种和 B 种两个版本 所以立体几何试题的命 制既要兼顾常规的方法 又要考虑空间向量的解答 于是 出现线与面垂直的模型是高考的 热点 安徽理 18 本小题满分 13 分 如图 四棱锥 F ABCD 的底面 ABCD 是菱形 其对角线 AC 2 BD 2 AE CF 都与平面 ABCD 垂直 AE 1 CF 2 I 求二面角 B AF D 的大小 II 求四棱锥 E ABCD 与四棱锥 F ABCD 公共部分的体积 本小题主要考查直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系 相交平面所成二面角以 及空间几何体的体积计算等知识 考查空间想象能力和推理论证能力 利用综合法或向量法 解决立体几何问题的能力 本小题满分 13 分 解 I 综合法 连接 AC BD 交于菱形的中心 O 过 O 作 OG AF G 为垂足 连接 BG DG 由 BD AC BD CF 得 BD 平面 ACF 故 BD AF 于是 AF 平面 BGD 所以 BG AF DG AF BGD 为二面角 B AF D 的平面角 由FCAC 2FCAC 得 4 FAC 2 2 OG 由 2 2 OBOG OBOD 得2 2 BGDBGO 向量法 以 A 为坐标原点 BD AC AE 方向分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向建立空 间直角坐标系 如图 设平面 ABF 的法向量 1 nx y z 则由 1 1 0 0 nAB nAF 得 2 0 2 220 xy yz 令1z 得 2 1 x y 1 2 1 1 n 同理 可求得平面 ADF 的法向量 2 2 1 1 n 由 12 0n n 知 平面 ABF 与平面 ADF 垂直 二面角 B AF D 的大小等于 2 II 连