2012年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷）解析版（1）

用心 爱心 专心1 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 数学 文科 数学 文科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 5050 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 设 为虚数单位 则复数i 34i i A B C D 43i 43i 43i 43i 1 D 34 34 43 iii i iii 2 设集合 则 1 2 3 4 5 6 U 1 3 5 M UM A B C D 2 4 6 1 3 5 1 2 4 U 2 A UM 2 4 6 3 若向量 则 1 2 AB 3 4 BC AC A B C D 4 6 4 6 2 2 2 2 3 A 4 6 ACABBC 4 下列函数为偶函数的是 A B C D sinyx 3 yx x ye 2 ln1yx 4 D 选项 A B 为奇函数 选项 C 为非奇非偶函数 5 已知变量 满足约束条件 则的最小值为xy 1 1 10 xy xy x 2zxy A B C D 315 6 5 C 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分 2zxy 可化为直线 则当该直线过点时 11 22 yxz 1 2 A 取得最小值 z min 12 2 5z 6 在 中 若 则ABC60A 45B 3 2BC AC A B C D 4 32 33 3 2 1xy 1xy 10 x x y O A 用心 爱心 专心2 6 B 根据正弦定理 则 sinsin BCAC AB 2 3 2 sin 2 2 3 sin3 2 BCB AC A 7 某几何体的三视图如图 1 所示 它的体积为 A B 72 48 C D 30 24 7 C 该几何体是圆锥和半球体的组合体 则它的体积 23 11 4 34330 32 3 VVV 圆锥半球体 8 在平面直角坐标系中 直线与圆xOy3450 xy 22 4xy 相交于 两点 则弦的长等于ABAB A B C D 3 32 331 8 B 圆心到直线的距离 则 即 0 0 3450 xy 22 005 1 34 d 222 3 2 AB rd 2 3AB 9 执行如图 2 所示的程序框图 若输入的值为 6 则输出的值为ns A 105 B 16 C 15 D 1 9 C 1 3 515s 10 对任意两个非零的平面向量和 定义 若两个非零的平面向量 满足与的夹角 abab 4 2 且和都在集合中 则 a b b a 2 n n Z a b A B C 1 D 5 2 3 2 1 2 10 D 同理有 a b a b b b 2 coscos aba b b cos b b a a 和都在集合中 即和是整数 a b b a 2 n n Z 2cos a b 2cos b a 输入n 开始 输出s 1 1is in ss i 2ii 结束 是 否 图 2 图 1 正视图 俯视图 侧视图 55 6 3 55 6 3 用心 爱心 专心3 取 则和是整数 则 则 3 a b b a 1 ab ba a b 1 2 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 考生作答小题 考生作答 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 2020 分分 一 必做题 一 必做题 1111 1313 题 题 11 函数的定义域为 1x y x 11 即函数的定义域为 1 00 10 10 0 x xx x 且 1x y x 1 00 12 若等比数列满足 则 n a 24 1 2 a a 2 135 a a a 12 则 1 4 2 243 1 2 a aa 24 1353 1 4 a a aa 13 由正整数组成的一组数据 其平均数和中位数都是 且标准差等于 则这组数据为 1234 x x x x21 从小到大排列 13 不妨设 依题意得 1 1 3 3 1234 xxxx 1234 x x x x N 1234 8xxxx 2222 1234 1 2 2 2 2 1 4 sxxxx 即 所以 2222 1234 2 2 2 2 4xxxx 4 3x 则只能 则这组数据为 12 1xx 34 3xx 1 1 3 3 二 选做题 二 选做题 1414 1515 题 考生只能从中选做一题 题 考生只能从中选做一题 14 坐标系与参数方程选做题 在平面直角坐标系中 曲线和的参数方程分别为xOy 1 C 2 C 为参数 和 为参数 则曲线和的交点坐标为 5cos 5sin x y 0 2 2 1 2 2 2 xt yt t 1 C 2 C 14 曲线的方程为 曲线的方程为 2 1 1 C 22 5xy 05x 2 C1yx 或 舍去 则曲线和的交点坐标为 22 5 1 xy yx 2x 1x 1 C 2 C 2 1 15 几何证明选讲选做题 如图 3 所示 直线与圆相切于点 PBOB 是弦上的点 若 则DACPBADBA ADm ACn AB 图 3 A P A B C D O 用心 爱心 专心4 15 由弦切角定理得 则 mnPBACDBA ABDACB 则 即 ABAD ACAB 2 ABAC ADmn ABmn 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 8080 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知函数 且 cos 46 x f xA x R2 3 f 1 求的值 A 2 设 求的值 0 2 430 4 317 f 28 4 35 f cos 16 解 1 解得 2 coscos2 312642 fAAA 2A 2 即 430 42cos2cos2sin 336217 f 15 sin 17 即 28 42cos2cos 3665 f 4 cos 5 因为 所以 0 2 2 8 cos1 sin 17 2 3 sin1 cos 5 所以 8415313 cos coscossinsin 17517585 17 本小题满分 13 分 某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图 如图 4 所示 其中成绩分组区间是 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 1 求图中的值 a 2 根据频率分布直方图 估计这 100 名学生语文成 绩的平均分 3 若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数 x 与数学成绩相应分数段的人数 之比如下表所示 求y 数学成绩在之外的人数 50 90 图 4 频率 组距 0 04 0 03 0 02 a 0 50 60 70 80 90 100 成绩 用心 爱心 专心5 P AB C H F E D 图 5 17 解 1 依题意得 解得10 20 020 030 04 1a 0 005a 2 这 100 名学生语文成绩的平均分为 分 55 0 0565 0 475 0 385 0 295 0 0573 3 数学成绩在的人数为 50 60 100 0 055 数学成绩在的人数为 60 70 1 100 0 420 2 数学成绩在的人数为 70 80 4 100 0 340 3 数学成绩在的人数为 80 90 5 100 0 225 4 所以数学成绩在之外的人数为 50 90 100520402510 18 本小题满分 13 分 如图 5 所示 在四棱锥中 平面 是的中PABCD AB PAD ABCDPDAD EPB 点 是上的点且 为 中边上的高 FCD 1 2 DFAB PHPADAD 1 证明 平面 PH ABCD 2 若 求三棱1PH 2AD 1FC 锥的体积 EBCF 3 证明 平面 EF PAB 18 解 1 证明 因为平面 AB PAD 所以PHAB 因为为 中边上的高PHPADAD 所以PHAD 因为ABADA 所以平面PH ABCD 2 连结 取中点 连结BHBHGEG 因为是的中点 EPB 所以 EGPH 因为平面PH ABCD 所以平面EG ABCD 则 11 22 EGPH 分数段 50 60 60 70 70 80 80 90 x y 1 1 2 1 3 4 4 5 P AB C H F E D G M 用心 爱心 专心6 11 1 33 2 E BCFBCF VSEGFC AD EG 2 12 3 证明 取中点 连结 PAMMDME 因为是的中点EPB 所以 1 2 MEAB 因为 1 2 DFAB 所以 MEDF 所以四边形是平行四边形MEDF 所以 EFMD 因为PDAD 所以MDPA 因为平面 AB PAD 所以MDAB 因为PAABA 所以平面MD PAB 所以平面EF PAB 19 本小题满分 14 分 设数列前项和为 数列的前项和为 满足 n an n S n Sn n T 2 2 nn TSn n N 1 求的值 1 a 2 求数列的通项公式 n a 19 解 1 当时 1n 11 21TS 因为 所以 求得 111 TSa 11 21aa 1 1a 2 当时 2n 22 111 2 2 1 2221 nnnnnnn STTSnSnSSn 所以 1 221 nn SSn 所以 1 221 nn SSn 得 1 22 nn aa 所以 即 1 22 2 nn aa 1 2 2 2 n n a a 2 n 用心 爱心 专心7 求得 则 1 23a 2 26a 2 1 2 2 2 a a 所以是以 3 为首项 2 为公比的等比数列 2 n a 所以 1 23 2n n a 所以 1 3 22 n n a n N 20 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系中 已知椭圆 的左焦点为 且点xOy 1 C 22 22 1 xy ab 0ab 1 1 0 F 在上 0 1 P 1 C 1 求椭圆的方程 1 C 2 设直线 同时与椭圆和抛物线 相切 求直线 的方程 l 1 C 2 C 2 4yx l 20 解 1 因为椭圆的左焦点为 所以 1 C 1 1 0 F 1c 点代入椭圆 得 即 0 1 P 22 22 1 xy ab 2 1 1 b 1b 所以 222 2abc 所以椭圆的方程为 1 C 2 2 1 2 x y 2 直线 的斜率显然存在 设直线 的方程为 llykxm 消去并整理得 2 2 1 2 x y ykxm y 222 12 4220kxkmxm 因为直线 与椭圆相切 所以l 1 C 2222 164 12 22 0k mkm 整理得 22 210km 消去并整理得 2 4yx ykxm y 222 24 0k xkmxm 因为直线 与抛物线相切 所以l 2 C 222 24 40kmk m 用心 爱心 专心8 整理得 1km 综合 解得或 2 2 2 k m 2 2 2 k m 所以直线 的方程为或l 2 2 2 yx 2 2 2 yx 21 本小题满分 14 分 设 集合 01a 0 Axx R 2 23 1 60 Bxxa xa RDAB 1 求集合 用区间表示 D 2 求函数在内的极值点 32 23 1 6f xxa xax D 21 解 1 令 2 23 1 6g xxa xa 22 9 1 4893093 31 3 aaaaaa 当时 1 0 3 a 0 方程的两个根分别为 0g x 2 1 339309 4 aaa x 2 2 339309 4 aaa x 所以的解集为 0g x 22 339309339309 44 aaaaaa 因为 所以 12 0 x x DAB 22 339309339309 0 44 aaaaaa 当时 则恒成立 所以 1 1 3 a 0 0g x DAB 0 综上所述 当时 1 0 3 a D 22 339309339309 0 44 aaaaaa 当时 1 1 3 a D 0 2 2 66 1 66 1 fxxa xaxa x 令 得或 0fx xa 1x 当时 由 1 知 1 0 3 a D 12 0 xx 用心 爱心 专心9 因为 2 23 1 6 3 0g aaa aaaa 1