第三章不等式单元综合测试

第三章不等式单元综合测试第三章不等式单元综合测试 时间 时间 120 分钟分钟 分值 分值 150 分分 第 卷 选择题 共 60 分 题号123456789101112 答案 一 选择题 每小题 5 分 共 60 分 1 不等式 x2 2x 的解集是 A x x 2 B x x 2 C x 0 x 2 D x x 0 或 x 2 解析 原不等式化为 x2 2x 0 则 x 0 或 x 2 答案 D 2 若 a b c R a b 则下列不等式成立的是 A b2 1 a 1 b C D a c b c a c2 1 b c2 1 解析 根据不等式的性质 知 C 正确 若 a 0 b 则 A 不正确 若 1 a 1 b a 1 b 2 则 B 不正确 若 c 0 则 D 不正确 所以选 C 答案 C 3 若 a b c 是不全相等的正数 给出下列判断 a b 2 b c 2 c a 2 0 a b 与 b0 所以原点一侧的平面区域对应的不等式是 3x 2y 5 0 可以验证 仅有点 3 4 的坐标满足 3x 2y 5 0 答案 A 5 已知 m n R 且 m n 2 则 mn 有 A 最大值 1 B 最大值 2 C 最小值 1 D 最小值 2 解析 m n R mn 2 1 m n 2 答案 A 6 设 M 2a a 2 3 N a 1 a 3 a R 则有 A M N B M N C M N D M N 解析 M N 2a a 2 3 a 1 a 3 a2 0 所以 M N 答案 B 7 若 0 则下列不等式 1 a 1 b a b b a2 其中正确的不等式是 b a a b A B C D 解析 由于 0 则 b a 0 则 不正确 又 a b 00 所以 b2 a2 则 b a 所以 不正确 0 0 且 则 2 所以 b a a b b a a b b a a b 正确 答案 C 8 设 x y 0 且 x 2y 3 则 的最小值为 1 x 1 y A 2 B 3 2 C 1 D 3 2 2 2 32 解析 3 2 3 1 当且仅当 1 x 1 y 1 3 3 x 3 y 1 3 x 2y x x 2y y 1 3 2y x x y 1 32 2 3 2 即 x 3 3 y 3 时取等号 2y x x y2 3 2 2 答案 C 9 若实数 x y 满足Error Error 则 z 3x 2y 的最小值是 A 0 B 1 C D 9 3 解析 在坐标平面内画出已知不等式组表示的平面区域 此区域是以 O 0 0 A 0 1 B 为顶点的三角形内部 含边界 当 x y 0 时 x 2y 取最小值 0 所以 1 2 1 2 z 3x 2y 的最小值是 1 答案 B 10 不等式 ax2 bx 2 0 的解集是 则 a b 等于 1 2 1 3 A 10 B 14 C 4 D 10 解析 a 12 又 2 a 1 2 1 3 1 6 b 2 a b 10 b a 1 2 1 3 1 6 答案 D 11 某人要买房 调查数据显示 随着楼层的升高 上下楼耗费的体力增多 因此不 满意度升高 当住第 n 层楼时 上下楼造成的不满意度为 n 但高处空气清新 嘈杂音较 小 环境较为安静 因此随着楼层的升高 环境不满意度降低 当住第 n 层楼时 环境不 满意度为 则此人应选 8 n A 1 楼 B 2 楼 C 3 楼 D 4 楼 解析 只需求不满意度 n 的最小值 由均值不等式得 n 4 当且仅当 n 8 n 8 n2 8 n 即 n 2 3 时 n 取得最小值 2 8 n 答案 C 12 设函数 f x x3 x x R 若当 0 0 恒成立 则实数 2 m 的取值范围是 A 0 1 B 0 C D 1 1 2 解析 f x x3 x x R 是奇函数且是增函数 f msin f 1 m 0 恒成立 即 f msin f m 1 msin m 1 即 m 0 1 m0 的解集是 解析 原不等式等价于 x2 x 0 解得 0 x 1 答案 x 0 x0 试比较 a 与 的大小 1 a 解 a 1 a a2 1 a a 1 a 1 a 因为 a 0 所以当 a 1 时 0 有 a 当 a 1 时 0 有 a 1 a 1 a 1 a a 1 a 1 a a 当 0 a 1 时 0 有 a1 时 a 当 a 1 时 a 当 0 a 1 时 a 1 a 1 a 1 a 18 本小题 12 分 已知 a b c 为不等正数 且 abc 1 求证 abc 1 a 1 b 1 c 解 方法 1 a b c 为不等正数 且 abc 1 故原不等式成立 ca ab 2 ab bc 2abc2a2bcab2cabc 19 本小题 12 分 已知实数 x a1 a2 y 成等差数列 x b1 b2 y 成等比数列 求 的取值范围 a1 a2 2 b1b2 解 因为 x a1 a2 y 成等差数列 所以 x y a1 a2 因为 x b1 b2 y 成等比数列 所以 xy b1b2 且 xy 0 所以 2 a1 a2 2 b1b2 x y 2 xy x2 y2 2xy xy x2 y2 xy 当 x y 同号时 x2 y2 2xy 当且仅当 x y 时 等号成立 又 xy 0 所以上式 2 4 2xy xy 当 x y 异号时 x2 y2 2 xy 当且仅当 x y 时 等号成立 又 xy 0 所以上式 2 0 2 xy xy 故的取值范围为 0 4 a1 a2 2 b1b2 20 本小题 12 分 设集合 A B 分别是函数 y 与函数 y lg 6 x x2 的定 1 x2 2x 8 义域 C x x2 4ax 3a20 得 x2 所以 A x x2 由 6 x x2 0 即 x2 x 6 0 得 2 x 3 所以 B x 2 x 3 于是 A B x 2 x 3 由 x2 4ax 3a2 0 得 x a x 3a 0 时 C x a x 3a 由 A B C 得Error Error 所以 1 a 2 当 a 0 时 不等式 x2 4ax 3a2 0 即为 x2 0 解集为空集 此时不满足 A B C 当 a 0 时 C x 3a x2 由 得 AM DN AN DC AM 3x x 2 S矩形 AMPN AN AM 3x2 x 2 1 由 S矩形 AMPN 32 得 32 3x2 x 2 又 x 2 则 3x2 32x 64 0 解得 2 x8 8 3 即 AN 长的取值范围为 2 8 8