考点突破专题五 平面向量和解斜三角形

考点突破专题五考点突破专题五 平面向量和解斜三角形 平面向量和解斜三角形 1 1 011011 平面向量的概念及基本运算 向量的加法与减法 实数与向量的积 平面向量的坐标表示 平面向量的概念及基本运算 向量的加法与减法 实数与向量的积 平面向量的坐标表示 自我提醒 1 向量运算的几何形式和坐标形式 请注意 向量运算中向量的起点 终点及其坐标的特征 你 通常是如何处理有关向量的模 长度 的问题 你知道解决向量问题有哪两种途径 向量平移具有 坐标不变性 可别忘了啊 我们学的向量全是自由向量 只取决于长度和方向 不管起点在那儿 2 和 0 是有区别的了 的模是 0 它不是没有方向 而是方向不确定 可以看成与任意向量0 0 0 平行 若 则 但是由 不能得到或 你知道理由吗 还有 0a 0a b A0a b A0a 0b 时 成立 但是由不能得到 即消去律不成立 ac a bc b AAa bc b AAac 3 向量中的重要结论记住了吗 1 2 CDCACB 1 OCtOAt OB ab ab a a 4 你会用基向量法解题吗 在用这个工具解题时 比如求距离 程序是什么 设三个基向量 i j k 把有关向量用 i j k 表示 再平方 再展开 5 记得三角形法则吗 平行四边形法则呢 a b 无定义 a b 对吗 No 自我测试 1 1 安徽卷理 安徽卷理 3 3 文文 2 2 在平行四边形 ABCD 中 AC 为一条对角线 若 则 2 4 AB 1 3 AC BD 2 2 辽宁卷理 辽宁卷理 5 5 已知O A B是平面上的三个点 直线AB上有一点C 满足 20ACCB 则 用 表示 OC OAOB 3 3 四川卷文 四川卷文 3 3 设平面向量 则 3 5 2 1ab 2ab 4 4 辽宁卷文 辽宁卷文 5 5 已知四边形的三个顶点 且 ABCD 0 2 A 12 B 31 C 2BCAD 则顶点的坐标为 D 5 已知 O A B是平面上的三个点 直线AB上有一点C 满足2ACCB 0 则OC 等于 6 设 i j 是 x 轴 y 轴正方向上单位向量 且 4i 2j 7i 4j 3i 6j 则四边形AB AC AD ABCD 面积是 7 已知向量 其中 均为非零向量 则的取值范围是 ab P ab a b P 8 2009 广东卷 理 一质点受到平面上的三个力 123 F F F 单位 牛顿 的作用而处于平衡状 态 已知 1 F 2 F成 0 60角 且 1 F 2 F的大小分别为 2 和 4 则 3 F的大小为 9 2009 上海普陀区 设设 1 e 2 e 是平面内一组基向量 且是平面内一组基向量 且 12 2aee 12 bee 则向量 则向量 12 ee 可以表示为另一组基向量可以表示为另一组基向量a b 的线性组合 即的线性组合 即 12 ee 10 2009 陕西卷文 在ABC 中 M 是 BC 的中点 AM 1 点 P 在 AM 上且满足学2PAPM 则科网 PAPBPC 等于 11 2009 广东卷 理 若平面向量a b满足1 ba ba 平行于x轴 1 2 b 则 a 12 已知为互相垂直的单位向量 且与的夹角为锐角 则实数的取值范 i j 2 aij bij a b 围是 13 如图 O 在 ABC 的内部 满足 则 ABC 的面积与 20OAOBOC AOC 的面积之比为 14 浙江卷理 浙江卷理 9 9 已知 b 是平面内两个互相垂直的单位向量 若向量满足ac 则的最大值0 cbcac O C B A 考点突破专题五考点突破专题五 平面向量和解三角形 平面向量和解三角形 2 2 012012 平面向量的数量积 数量积及其几何意义 向量 平行垂直的条件 平面向量的数量积 数量积及其几何意义 向量 平行垂直的条件 自我提醒 1 你会用向量法证明垂直 平行和共线吗 为何的充分不必要条件是存在实数 使得 ab 呢 为何向量的平行性没有传递性呢 ba 2 你知道 a a b a b cos 的几何意义吗 物理意义呢 3 按照某向量平移与平常的 左加右减 有什么不同 你真的过关了吗 4 向量运算的有关性质你记住了吗 数乘向量 向量的内积 向量的平行 向量的垂直 向量夹 角的求法 两向量的夹角为锐角等价于其数量积大于零吗 不等价 5 若向量 a x1 y1 0 b x2 y2 则 a b 与 a b 的充要条件分别是什么 自我测试 1 向量a 与b 的夹角为 150 且 2 2 3 2 abcabc 则为 2 如已知均为单位向量 它们的夹角为 那么 a b 60 3 ab 3 3 海南宁夏卷理 海南宁夏卷理 8 8 文文 9 9 平面向量 共线的充要条件是 a b 4 4 海南宁夏卷文 海南宁夏卷文 5 5 已知平面向量 1 3 4 2 与垂直 则是 a b ab a 5 5 上海春卷 上海春卷 1313 已知向量 若 则等于 2 3 3 ab ab 5 全国 全国 卷理卷理 13 文文 13 设向量 若向量与向量共线 12 2 3 ab ab 47 c 则 6 浙江卷理 浙江卷理 11 已知 0 若平面内三点 A 1 B 2 C 3 共线 则 aa 2 a 3 aa 7 已知线段AB为圆O的弦 且AB 2 则 AO AB 8 2009 浙江卷文 已知向量 1 2 a 2 3 b 若向量c满足 cab cab 则c 9 2009 全国卷 理 已知向量 2 1 10 5 2aa bab 则 b 10 2007 湖北 将 2cos 36 x y 的图象按向量 2 4 a平移 则平移后所得图象的解析式 为 11 已知如果与的夹角是钝角 则的取值范围是 2 3 2 axx bx a b x 12 已知向量 则向量的夹角范围是 2 0 2 2 2cos 2sin OBOCCAaa OA OB 13 天津卷理 天津卷理 14 14 如图 在平行四边形中 ABCD 1 2 3 2ACBD 则 AD AC 14 2009 浙江理 本题满分 14 分 在中 角所对的边分别为 且满足ABC A B C a b c I 求的面积 II 若 求的值 2 5 cos 25 A 3AB AC ABC 6bc a 头 头 头 头 DC BA 考点突破四考点突破四 平面向量和解斜三角形 平面向量和解斜三角形 3 3 013013 解斜三角形 正弦定理 余弦定理 斜三角形解法 解斜三角形 正弦定理 余弦定理 斜三角形解法 自我提醒 1 三角形的 五心 是什么 都有哪些性质 如何用判断三角形的形状 2 正余弦定理的基本形式 主要作用 3 面积公式 4 什么叫解三角形 怎么判断三角形的个数 自我测试 1 浙江卷文 浙江卷文 16 已知a 是平面内的单位向量 若向量b 满足 0b ab A 则 b 的取值范围是 2 安徽卷文 安徽卷文 5 5 在三角形中 则的大小为 ABC5 3 7ABACBC BAC 3 3 北京卷文 北京卷文 4 4 已知中 那么角等于 ABC 2a 3b 60B A 4 4 海南宁夏卷理 海南宁夏卷理 3 3 如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍 那么它的顶角的余弦值为 5 南汇区 2008 学年度第一学期期末理科第 5 题 在 ABC 中 C 90 则的值是 1 2 1 ABkAC k 6 在 ABC 中 A 120 b 1 面积为3 则 sinsinsin abc ABC 7 2009 宁夏海南卷理 已知 O N P 在ABC 所在平面内 且 0OAOBOC NANBNC 且PA PBPB PCPCPA 则点 O N P 依次是ABC 的 A 重心 外心 垂心 B 重心 外心 内心 C 外心 重心 垂心 D 外心 重心 内心 注 三角形的三条高线交于一点 此点为三角型的垂心 8 已知向量 对任意的实数t 恒有 则 1ae e ateae ae aae 正确的是 答案 eae aeae 9 2009 北京理 本小题共 13 分 在中 角的对边分别为 ABC A B C 3 a b c B 4 cos 3 5 Ab 求的值 sinC 求的面积 ABC 10 10 海南宁夏卷文 海南宁夏卷文 17 17 如图 ACD 是等边三角形 ABC 是等腰直角 三角形 ACB 90 BD 交 AC 于 E AB 2 1 求 cos CBE 的值 2 求 AE E D C BA 考点考点突破专题五专题五 平面向量和解斜三角形 平面向量和解斜三角形 1 1 自我测试 1 1 因为 5 3 1 1 ABADBDADABACBC 2 2 依题 答案 答案 A22 OCOBBCOBACOBOCOA 2 OCOAOB 3 3 3 5 2 1ab 23 522 134 527 3ab 故选 C 此题重点考察向量加减 数乘的坐标运算 4 4 本小题主要考查平面向量的基本知识 4 3 BC 2 ADx y 且 答案 答案 A2BCAD 2 24 7 243 2 x x yy 5 依题22 OCOBBCOBACOBOCOA 2 OCOAOB 答案答案 A 6 30 提醒 矩形 7 0 2 8 28 60180cos 2 00 21 2 2 2 1 2 3 FFFFF 所以72 3 F 选 D 9 21 33 10 答案 A 解析 由2APPM 知 p为ABC 的重心 根据向量的加法 2PBPCPM 则 APPBPC 2 14 2 2cos021 3 39 AP PMAP PM 故选 A 11 解析 0 1 ba或 0 1 则 1 1 1 2 0 1 a或 1 3 1 2 0 1 a 12 13 1 2 2 2 2 1 14 解析 本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题 1 0 aba b 展开 2 0 cos acbcccabcab 则的最大值是 cos2cos cab c 2 或者利用数形结合 对应的点 A B 在圆上 a b 22 1xy 对应的点 C 在圆上即可 c 22 2xy 考点考点突破专题五专题五 平面向量和解三角形 平面向量和解三角形 2 2 自我测试 1 答案 28 2 13 3 3 若均为零向量 则显然符合题意 且存在不全为零的实数使得 若 a b 12 12 0ab 则由两向量共线知 存在 使得 即 符合题意 故选 0a 0 ba 0ab 4 4 由于 4 32 1 3 abaaba 即 选 43320 101001 5 5 由题意得 2 3 3 0 所以 9 2 5 5 则向量与向量共线 ab 32 2 ab 47 c2 7 4 32 2 6 本小题主要考查三点共线问题 2 1 ABaa 32 1 BCaa 舍负 2322 210 aaaaaa 12a 7 8 解析 不妨设 Cm n 则 1 2 3 1 acmnab 对于 cab 3 4 则有3 1 2 2 mn 又 cab 则有30mn 则有 77 93 mn 9 2222 50 2 520 abaa bbb A 5b 故选故选 C 10 解解 由向量平移的定义 在平移前 后的图像上任意取一对对应点 Px y P x y 则 2 4 a P Pxx yy 2 4 xxyy 代入到已知解析式中可得选 11 答 或且 4 3 x 0 x 1 3 x 12 13 解析 令 则 12 5 12 ABa ADb 1 2 2 0 1 2 3 2 ab ab ab 所以 3AD ACbab 14 解析 I 因为 又由 2 5 cos 25 A 2 34 cos2cos1 sin 255 A AA 3AB AC 得 21 世纪教育网 cos3 bcA 5bc 1 sin2 2 ABC SbcA II 对于 又 或 由余弦定理得5bc 6bc 5 1bc 1 5bc 21 世纪教育网 222 2cos20abcbcA 2 5a 考点突破四考点突破四 平面向量和解斜三角形 平面向量和解斜三角形 3 3 1 1 解析 本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题 依题 0 1 即 且 又为单位向量 0b ab 2 0b ab 2 cos abb 0 2 a 1a cos 0 2 b 0 1 b 2 解 由余弦定理 222 5371 cos 2 5 32 BAC 2 3 BAC 3 3 解析 由正弦定理得 2322 sinsin sinsinsinsin23 ab AB ABAB 答案 C C45abABA 4 4 解 设顶角为 C 因为 由余弦定理5 2lcabc 222222 447 cos 22 228 abcccc C abcc 5 3 3 6 在 ABC 中 1 3sin120 2 c 4c 又 222 142 1 4cos12021a 21 2 7 sinsinsinsin120 abc ABC 答案 C 7 解析 0OAOBOCOABCNANBNCOABC 由知为的外心 由知 为的重心 00 PA PBPB PCPAPCPBCA PBCAPB APBCPC 同理 为ABC 的垂心 选 8 答案 提示 由得恒成立 所以ateae 222 2210ateaetta ea e 即 点评 本题可以运用数形结合 如图 恒有说明 2 210 1a ea ea e 即 ateae eae 9 A B C 为 ABC 的内角 且 4 cos 35 BA 23 sin 35 CAA 23134 3 sinsincossin 32210 CAAA 由 知 334 3 sin sin 510 AC 又 在 ABC 中 由正弦定理 得 3 3 Bb sin6 sin5 bA a B ABC 的面积 11634 3369 3 sin3 2251050 SabC 10 10 试题解析 1 因为 000 9060150 BCDCBACCD 所以 0 15CBE 00 62 coscos 4530 4 CBE 2 在中 故由正弦定理得ABE 2AB 故 0000 2 sin 4515sin 9015 AE 0 0 1 2 2sin30 2 62 cos1562 4 AE 小题训练小题训练 10 高考趋势高考趋势 三角恒等变换的主要内容有 利用三角公式进行是以等变形 如正切余切化弦等 利用和差关系对三角恒等变换的主要内容有 利用三角公式进行是以等变形 如正切余切化弦等 利用和差关系对 一些三角函数值进行处理 也包括对一些三角函数值进行处理 也包括对问题的处理 解三角形包括利用正弦定理 余问题的处理 解三角形包括利用正弦定理 余sincosaxbx 弦定理解斜三角形 包括直角三角形 弦定理解斜三角形 包括直角三角形 高考试题中 三角恒等变换的试题大多以填空题目的形式 高考试题中 三角恒等变换的试题大多以填空题目的形式 出现 预计今后江苏的高考试题中解答题的基本题会在解三角形中出现 因为这类问题应用性强 出现 预计今后江苏的高考试题中解答题的基本题会在解三角形中出现 因为这类问题应用性强 且给命题者思考的空间也很大 且给命题者思考的空间也很大 1 若 则 1 sin 63 2 cos 2 3 2 2008 湖北卷 在中 三个角的对边边长分别为 ABC A B C3 4 6abc 则的值为 coscoscosbcAcaBabC 3 2008 浙江卷 在中 角的对边分别为 若 ABC A B C a b c 3 coscosbcAaC E D C BA 则 cos A 4 2009 湖南卷 在锐角三角形中 则 的取值范ABC1BC 2BA cos AC A AC 围为 5 在中 则 ABC 4 cos 5 A 5 cos 13 B cosC 6 已知 求的值 0 2 15 tan 22 tan 2 sin 3 小题训练小题训练 11 填空题 本大题共10 小题 每小题5 分 共50 分 请将答案填写在 题后相应的位置上 1 求值 sin300 2 已知不等式230 x 的解集为A 不等式 2 20 xx 的解集为B 则AB 3 函数tan 2 3 yx 的周期为 4 已知 3 1 a 2 3 2 b 则a与b的夹角为 5 求值 sin21 cos81sin69 cos9 6