2012年高考数学备考之百所名校组合卷系列 专题03 数列

1 20122012 年高考数学备考之百所名校组合卷系列年高考数学备考之百所名校组合卷系列 一 选择题 一 选择题 1 广东省汕头市广东省汕头市 20122012 届高三教学质量测评文届高三教学质量测评文 6 6 已知正项组成的等差数列的前 n a 项的和为 那么的最大值为 615 a aA A B C D 不存在 答案 A 解析 故 120 20120 20 10100 2 aa Saa 120 10aa 615120 a aa a AA 2 120 25 2 aa 2 湖北省荆门 天门等八市湖北省荆门 天门等八市 20122012 年年 3 3 月高三联考理科月高三联考理科 3 3 如果数列 1 a 2 1 a a 3 2 a a 是首项为 公比为的等比数列 则等于 1 n n a a 12 5 a A B C D 326432 64 答案 A 解析 10 51 2 3 435 24 511 1234 232 aaaa aaa q aaaa 3 山山东东实实验验中中学学2 20 01 12 2 届届高高三三第第一一次次诊诊断断性性考考试试理理 4 4 已知 an 为等差数列 其 公差为 2 且 a7是 a3与 a9的等比中项 Sn为 an 的前 n 项和 n N 则 S10的值为 A 110 B 90 C 90 D 110 答案 D 解析 解 a7是 a3与 a9的等比中项 公差为 2 所以 a72 a3 a9 所以 a72 a7 8 a7 4 所以 a7 8 所以 a1 20 所以 S10 10 20 10 9 2 2 110 故选 D 4 湖南省衡阳八中湖南省衡阳八中 20122012 届高三第三次月考理科届高三第三次月考理科 3 3 公差不为零的等差数列第 2 3 6 项 构成等比数列 则 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 C 2 解析 设公差为 由题意知 即 解得d 2 326 aa a 2 111 2 5 adad ad 所以公比为3 选 C 1 2da 3 2 a a 1 1 2ad ad 5 湖南省衡阳八中湖南省衡阳八中 20122012 届高三第三次月考理科届高三第三次月考理科 6 6 已知各项均为正数的等比数列 n a 则 123 5a a a 456 5 2a a a 789 a a a A B C 8 D 102 22 答案 A 解析 因为成等比数列 公比为 所以10 选 A 123 a a a 456 a a a 789 a a a2 789 a a a 6 山东省青岛市山东省青岛市 20122012 届高三上学期期末检测理科届高三上学期期末检测理科 7 7 等差数列中 已知 n a 1 6a 公差 则的最大值为0 n a d N n 3n A 7 B 6 C 5 D 8 答案 A A 解析 又 的最大值为 7 1 1 0 n aand 6 1 d n d N n 3n 二 填空题 二 填空题 7 北京市东城区北京市东城区 20122012 届高三上学期期末考试文届高三上学期期末考试文 12 12 在等差数列中 若 n a 则数列的公差等于 其前项和的最大值为 5768 4 2aaaa n an n S 答案 57 解析 所以 前 6 项的 5768671 4 2 2 1 3 17aaaaaada 和最大 16 6 6 57 2 aa S 8 福建省泉州市福建省泉州市 20122012 年年 3 3 月普通高中毕业班质量检查理科月普通高中毕业班质量检查理科 11 11 已知等差数列中 n a 则 5 1a 32 2aa 11 S 解析 6 2 3 da 111 116 11 1133 2 aa Sa 9 湖南省衡阳八中湖南省衡阳八中 20201212 届高三第三次月考理科届高三第三次月考理科 11 11 正项数列满足 n a 1 2a 则的通项公式为 2 1 2 8 2 nn aSn n a n a 3 答案 42n 解析 因为 所以 两式相减得 2 1 2 8 2 nn aSn 2 1 2 8 nn aS 整理得 22 11 844 nnnnn aaaaa 111 4 nnnnnn aaaaaa 因为是正项数列 所以 所以是以 4 为公差 2 为首项的等差数列 n a 1 4 nn aa n a 所以 24 1 n an 42n 10 湖南省衡阳八中湖南省衡阳八中 20122012 届高三第三次月考理科届高三第三次月考理科 15 15 当为正整数时 定义函数n 表示的最大奇因数 如 记 N nn 3 3 10 5NN 1 2 3 2 n S nNNNN 则 1 2 4 S S n 答案 86 42 3 n 解析 由题设知 2 21 21NnN n Nnn 1 4 1 3 5 15 2 4 6 16 SNNNNNNNN 1 3515 2 4 6 16 NNNN 332321 4 3 44 2 444 1 SSS 86 2 1 35 21 2 4 6 2 nn S nNNNN 1 1 4 1 1 1 1 n S nS nnSN 又 1210 42 44441 3 n nn S n 11 浙江省宁波市鄞州区浙江省宁波市鄞州区 20122012 年年 3 3 月高考适应性考试文科月高考适应性考试文科 16 16 对于正项数列 定义 n a 若则数列的通项公式为 n n naaaa n H 321 32 2 2 n Hn n a 答案答案 n n 2 12 解析解析 本题主要考查数列通项公式的求法的问题 由则 123 2 23 2 n n aaanan 123 2 23 2 n n n aaana 4 1231 11 23 1 2 n nn aaana 由得 所以 21 2 n n na n a n n 2 12 三 解答题三 解答题 12 广东省汕头市广东省汕头市 20122012 届高三教学质量测评文届高三教学质量测评文 21 21 本小题满分 14 分 已知一非零向量列满足 n a 1 1 1a 1111 1 2 nnnnnnn axyxyxy 2n 1 证明 是等比数列 n a 2 设是的夹角 求 n 1 nn aa 2n n b21 n n 12nn Sbbb n S 3 设 问数列中是否存在最小项 若存在 求出最小值 若 n c 2 log nn aa n c 不存在 请说明理由 解析 解 1 3 22 22 1111111 122 222 nnnnnnnn axyxyxya 2n 分 数列是以公比为 首项为的等比数列 4 分 n a 2 2 1 2a 2 1nn aa A 11 nn xy 2 22 1111111 111 222 nnnnnnn xyxyxya A 6 分 n 4 7 分 n b211 42 n n 9 分 2 2 111 2224 n n Snnn 3 假设存在最小项 设为 n c 10 1 2 2 2 22 2 n n n a 分 5 11 2 2 2 2 2 n n n c 分 由得当时 1nn cc 5n 567 ccc 由得当时 13 分 1nn cc 5n 541 ccc 故存在最小项为 14 分 3 2 5 3 2 2 c 1313 浙江省部分重点中学浙江省部分重点中学 20122012 年年 3 3 月高三第二学期联考理科月高三第二学期联考理科 19 19 本小题满分 14 分 已知各项均为正数的数列 an 前n项和为Sn p 1 Sn p2 an n N p 0 且p 1 数列 bn 满足bn 2logpan 若p 设数列的前n项和为Tn 求证 0 M时 an 1 恒成立 若存在 求出相应的M 若不存在 请说明理由 解析 解 由 p 1 Sn p2 an n N 由 p 1 Sn 1 p2 an 1 得 n 2 pa a n n 1 1 an 0 n N 又 p 1 S1 p2 a1 a1 p an 是以p为首项 为公比的等比数列 p 1 an p n n p p 2 1 1 bn 2logpan 2logpp2 n bn 4 2n 4 分 证明 由条件p 得an 2n 2 2 1 Tn 23201 2 24 2 6 2 4 2 2 2 0 2 2 n n 14320 2 24 2 6 2 4 2 2 2 0 2 2 2 1 n n n T 得 123210 2 24 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1 nn n n T 4 2 122 2 24 2 1 2 1 2 1 1 nn n 6 4 2 1 1 2 24 2 1 1 2 1 1 n n n 14 湖北省黄冈中学湖北省黄冈中学 20122012 年年 2 2 月高三调研理科月高三调研理科 18 18 本小题满分 12 分 已知数列 na 的 前 n 项和 n S满足 11 n n aa Sa a 0 且1a 数列 nb 满足lg nnn baa 1 求数列 na 的通项 2 若对一切nN 都有 1nn bb 求 a 的取值范围 1 8 解 1 由题意可知当1 n时 aa 1 当2 n时 1 1 nn a a a S 1 1 1 11 nn a a a S 2 用 1 式减去 2 式得 a a a n n 1 所以数列 na 是等比数列 所以 Nnaa n n 2 因为lg nnn baa 所以aanb n n lg 当对一切nN 都有 1nn bb 即有aanaan nn lg 1 lg 1 1 当时即有10lg aa有 1 n n a当对一切nN 都成立所以1 a 2 当 时即有100lg aa有 1 n n a当对一切nN 都成立所以有 7 2 1 0 a 综合以上可知1 a或 2 1 0 a 15 山山东东实实验验中中学学2 20 01 12 2 届届高高三三第第一一次次诊诊断断性性考考试试理理 2 20 0 本小题满分 12 分 设数列 an 的前 N 项和为 为等比数列 且 1 求数列和的通项公式 2 设 求数列的前 n 项和 解题说明 本试题主要考查数列的前n 项和与通项公式之间的关系的运用 以及等比数列的通项公式 和数列的错位相减法求和的综合运用试题 关键是要把 数列 n a 的通项公式的求解 注意对n 1 和 2n 分类讨论 答案 1 2 1 42 4 1 2 65 45 9 nn n n n anb Tn 解析 解 1 当 n 1 时 11 2aS 22 1 1 11 11 1 1 1 1 12 222 1 42 42 2 1 4 4 12 2 6 44 42 21 4 2 4 nnn nnn n nn nnn n n n n n n nn naSSnnn aanaa bbqdb dq bbqbb an cn b Tccc 当时 故的通项公式为即是 公差d 4的等差数列 设的公比为q 故即数列的通项公式为分 2 121 23 23 1 1 3 45 4 21 4 4 1 43 45 4 21 4 31 2 444 23 4 21 4 1 6 5 45 3 1 65 45 12 9 n n n nn n n n n n Tn Tnn n Tn 两式相减得 分 16 吉林省长春市吉林省长春市 20122012 年年 3 3 月高中毕业班第二次调研测试理科月高中毕业班第二次调研测试理科 1717 本小题满分 12 分 8 等差数列中 其前项和为 n a 12 2311aa 326 24aaa n n S 求数列的通项公式 n a 设数列满足 其前n项和为 求证 n b 1 1 1 n n b S n T 3 4 n Tn N 解析 12111 2323 5311aaaadad 即 得 326 24aaa 111 2 2 54adadad 2d 1 1a 1 1 1 1 221 n aandnn 2 1 11 1 1 1 2 22 n Snan ndnn nn 22 1 11111 11 1 1 12 2 22 n n b Snnnn nnn 1 1111111111 2 132435112 n T nnnn 1 11113 2 12124nn nN 17 江苏省淮阴中学 海门中学 天一中学江苏省淮阴中学 海门中学 天一中学 20122012 届高三联考届高三联考 19 19 本小题满分 本小题满分分 分 16 已知数列是各项均不为的等差数列 公差为 为其前项和 且满足 n a0d n Sn 数列满足 为数列的前n项和 2 21nn aS n N n b 1 1 n nn b aa n T n b 1 求数列的通项公式和数列的前n项和 n a n a n b n T 2 若对任意的 不等式恒成立 求实数的取值范围 n N 8 1 n n Tn 3 是否存在正整数 使得成等比数列 若存在 求出所有 m n 1 mn 1 mn T TT 的值 若不存在 请说明理由 m n 解析 1 法一 在中 令 2 21nn aS 1 n2 n 得 即 2 分 3 2 2 1 2 1 Sa Sa 33 1 2 1 1 2 1 dada aa 解得 1 1 a2 d21 n an 又时 满足 3 分21 n an 2 n Sn 2 21nn aS 21 n an 1 11111 21 21 2 2121 n nn b a annnn 5 分 111111 1 2335212121 n n T nnn 法二 是等差数列 n a n n a aa 2 121 2 分 12 2 121 12 n aa S n nn an 12 由 得 2 21nn aS nn ana 12 2 又 则 3 分0 n a 21 n an 1 1 2ad 求法同法一 n T 2 当为偶数时 要使不等式恒成立 即需不等式n8 1 n n Tn 9 恒成立 6 分 8 21 8 217 nn n nn 等号在时取得 8 28n n 2n 此时 需满足 7 分 25 当为奇数时 要使不等式恒成立 即需不等式n8 1 n n Tn 恒成立 8 分 8 21 8 215 nn n nn 是随的增大而增大 时取得最小值 8 2n n n1n 8 2n n 6 此时 需满足 9 分 21 综合 可得的取值范围是 10 分 21 3 1 1 32121 mn mn TTT mn 若成等比数列 则 1 mn T TT 2 1 213 21 mn mn 即 12 分 2 2 44163 mn mmn 由 可得 即 2 2 44163 mn mmn 2 2 3241 0 mm nm 2 2410mm 14 分 66 11 22 m 又 且 所以 此时 m N1m 2m 12n 因此 当且仅当 时 数列错误 不能通过编辑域代码创建对象 错误 不能通过编辑域代码创建对象 中2m 12n 的成等比数列 16 分 1 mn T TT 另解另解 因为 故 即 11 3 636 6 n n n 2 2 1 4416 m mm 2 2410mm 以下同上 14 分 66 11 22 m 18 江苏省淮阴中学 海门中学 天一中学江苏省淮阴中学 海门中学 天一中学 20122012 届高三联考届高三联考 23 23 本小题满分 本小题满分 1010 分 分 把所有正整数按上小下大 左小右大的原则排成如图所示的数表 其中第 行共有i 个正整数 设表示位于这个数表中从上往下数第 行 从左往右第 1 2i ij ai jN i 个数 j 1 求的值 69 a 2 用表示 i j ij a 3 记 求证 当时 112233 nnn AaaaanN 4n 3 nn AnC 解析 1 2 分 5 69 2 91 40a 2 因为数表中前行共有个数 则第 行的第一1i 221 122221 ii i 个数是 所以 5 1 2i 1 21 i ij aj 分 3 因为 则 6 分 1 21 i ij aj 1 21 n nn annN 10 所以 8 分 21 12220121 n n An 1 21 2 n n n 当时 4n 1 1 11 2 n n n n A 0123 1 1 2 nnnn n n CCCC 23 n nC 10 分 19 北京市东城区北京市东城区 20122012 届高三上学期期末考试文届高三上学期期末考试文 16 16 本小题共 13 分 在等差数列中 其前项和为 等比数列的各项均为正数 n a3 1 an n S n b 公比为 且 1 1 bq12 22 Sb 2 2 b S q 求与 n a n b 数列满足 求的前项和 n c n n S c 1 n cn n T 11 因为所以 12 2 2 22 b S q Sb q d q dq 6 126 解得 或 舍 3 q4 q3 d 故 6 分33 1 3 n ann 1 3 n n b 因为 2 33 nn Sn 所以 11 n c 1 11 3 2 33 21 nnnnSn 分 故 n T 211111212 1 1 32231313 1 n nnnn 13 分 20 江西省南昌二中江西省南昌二中 20122012 届高届高三第三次月考理科三第三次月考理科 20 20 已知数列 满足 n a 1 1 2 a 11 21 nnn aa a 求 234 a a a 猜想数列 的通项公式 并证明你的结论 n a 已知数列 满足 S 为数列 的前 n 项和 证明 n b1 nnn a ba nn b 12 SS 1 1 nn Sn S 解析 12 21 江西省南昌二中江西省南昌二中 20122012 届高三第三次月考理科届高三第三次月考理科 18 18 已知数列 满足 n a n b 1 1 4 a 1 nn ab 1 2 1 n n n b b a 求数列的通项公式 n b 若 求数列 的前 n 项和 2 2 1 2 1 3 nn n n nn aa c aa n c n S 解析 1 3 4 b 1 2 1 n n n b b a 1 nn ab 1 2 1 n n n b b a 11 12 nn ab 1 11 11 22 n n nn b b bb 1 211 1 111 n nnn b bbb 1 11 1 11 nn bb 1 11 1 1 413 11 n nnn bb 12 1 33 nn n bb nn 13 1 1 3 nn ab n 2 2 1 2 1 3 nn n n nn aa c aa 1 1 11 2 2 3 n n nn a aa 2 1 2n n n n 1 11 2 1 2 nn nn 12 11223 11111 1 2 22 23 23 24 2 nn Sccc 1 11 2 1 2 nn nn 1 1 1 2nn 22 湖南省衡阳八中湖南省衡阳八中 20122012 届高三第三次月考理科届高三第三次月考理科 21 21 本小题满分 13 分 已知曲线 从上的点作轴的垂线 4 4 xx n n C yCynN C nnn Q xyx 交于点 再从点作轴的垂线 交于点 设 n C n P n PyC 111 nnn Qxy 11 1 nnn xaxx 1n n n y b y 1 求数列的通项公式 n x 2 记 数列的前项和为 求证 2 3 5 2 1 n n n n c b n cn n T 21 21 55 1 38 n n T 3 若已知 记数列的前项和为 数 312 23 21 2222 n n dddd nnN n an n A 列的前项和为 试比较与的大小 n dn n B n A 2 4 n B 解析解析 1 依题意点的坐标为 n P 1 nn xy 1 1 44 nn xnx n y 1nn xxn 121 1 2 1 12 1 1 1 3 2 nnn xxnxnnxn n n 分 2 所以 5 分 2 3 5 2 41 n n nn c 1 5 455 455 8 428 488 nn n nn n c c 14 当时 2n 21 121 5555 8888 nn nnn cccc 221 211221 555 888 n nn Tccc 21 55 1 38 n 当时取 8 分 1n 3 1nnn axxn 1 2 n n n A 由知 312 23 21 2222 n n dddd n 3112 231 2 1 1 2 2222 n n dddd nn 而 所以可得 2 2 2 n n d n 1 2d 1 2 1 2 2 n n n d n 于是 3412341 123 2222222224 nn nn Bdddd 10 分 1 2 2 21 426 2 1 n n 2 22 4 n n B 当时 1 2n 2 1 22 24 n n n Bn n A 当时 3n 2 1 22 24 n n n Bn n A 当时 4n 2 1 22 24 n n n Bn n A 下面证明 当时 4n 2 1 22 24 n n n Bn n A 证法一 利用组合恒等式放缩 当时 4n 0121 222 nnn nnnnn CCCCC 121n nnn CCC 当时 13 分 2 1 3 1 222 n nnnn n nn 4n 2 4 n n B A 证法二 数学归纳法 证明略 证法三 函数法 时 4n 1 2 n n 22 n 1 220 2 n n n 构造函数 1 22 4 2 x x x h xx 1 2 ln2 2 x h xx 当时 2 12 ln 2 x h xh x 4 x 2 12 ln 20 x h x 在区间是减函数 2 ln2 x h xx 4 当时 4 x 19917 2 ln2 4 16ln2160 22222 x h xxh 15 在区间是减函数 1 22 2 x x x h x 4 当时 4 x 1 22 2 x x x h x 4 4 5 4 2240 2 h 从而时 即 当时 4n 1 220 2 n n n 1 2 n n 22 n 4n 2 4 n n B A 23 湖南省衡阳八中湖南省衡阳八中 20122012 届高三第三次月考理科届高三第三次月考理科 18 18 本小题满分 12 分 已知数列是首项为且公比不等于 的等比数列 是其前项的和 n aaq1 n Sn 成等差数列 174 2 3aaa 1 证明 成等比数列 36126 12 SSSS 2 求和 14732 23 nn Taaana 解析 1 证明 由成等差数列 得 471 3 2 aaa 417 34aaa 即 所以 舍去 3 分 34 36 aqaaq 1 4 1 33 qq或 由 16 1 12 1 1 1 12 1 1 12 3 3 1 6 1 3 6 q q qa q qa S S 12 1 6 12612 6 166 1 11 11 1 16 1 aq SSSq q aqSS q 得 所以成等比数列 6 分 12 6 612 3 6 S SS S S 36126 12 SSSS 2 解 3232 1 363 23741 n nn naqaqaqanaaaaT 即 8 分 4 1 4 1 3 4 1 2 12 anaaaT n n 231 111111 2 3 1 444444 nn n Taaanana 相减得 231 511111 444444 nn n Taaaaana 4 1 5 4 5 4 4 1 4 1 1 4 1 1 anaan a nn n 所以 12 分 161641 252554 n n Tana 24 山东省临沂市山东省临沂市 20122012 年年 3 3 月高三一模文科月高三一模文科 19 19 本小题满分 12 分 在数 和之间插入个实数 使得这个数构成递增的等比数列 将这个数14n 2 n 2 n 的乘积记作 NnTn 16 I 求数列的通项公式 n T II 求数列的前项和 n nTn n S 解 I 设 公比为 则4 1 21 n aaq 4 1 n q 又 12 2321 1 n nrn qqqaaaaT 2 2 1 1 21 nn n qq 2 2 2 2 1 4 nn n q 2 2 n 数列的通项公式为 n T 2 2 n n T II 由 I 知 2 2 n n nnT 1 2543 2232221 n n nS 2 3254 22 1 22212 nn n nnS 得 32543 22222 nn n nS 3 2 21 21 8 n n 3 2 21 8 nn n 3 2 21 8 nn n nS 3 2 1 8 n n 25 江苏省南京市 盐城市江苏省南京市 盐城市 20122012 届高三第一次模拟届高三第一次模拟 20 20 本小题满分 16 分 已知数列 n a满足 1 0 aa aaN 121 0 nn aaapa 0 1 ppnN 1 求数列 n a的通项公式 n a 2 若对每一个正整数k 若将 123 kkk aaa 按从小到大的顺序排列后 此三项均能构成 等差数列 且公差为 k d 求p的值及对应的数列 k d 记 k S为数列 k d的前k项和 问是否存在a 使得30 k S 对任意正整数k恒成 立 若存在 求出a的最大值 若不存在 请说明理由 17 2 若 2k a 为等差中项 则 213 2 kkk aaa 即 1 1 p p 此时无解 9 分 3 若 3k a 为等差中项 则 312 2 kkk aaa 即 1 1 p p 或 11 2 p p 解得 2 3 p 此时