2012版高考数学 3-2-1精品系列专题11 概率与统计 理 （学生版）

用心 爱心 专心 20122012 版高考数学版高考数学 3 2 13 2 1 精品系列专题精品系列专题 1111 概率与统计概率与统计 理理 学生版 学生版 考点定位考点定位 2012 2012 考纲解读和近几年考点分布考纲解读和近几年考点分布 20122012 考纲解读考纲解读 考纲原文 统计 1 随机抽样 理解随机抽样的必要性和重要性 会用简单随机抽样 方法从总体中抽取样本 了解分层抽样和系统抽样方法 1 事件与概率 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性 了解概率的意义 了 解频率与概率的区别 了解两个互斥事件的概率加法公式 2 古典概型 理解古典概型及其概率计算公式 会计算一些随机事件所含的 基本事件数及事件发生的概率 3 随机数与几何概型 了解随机数的意义 能运用模拟方法估计概率 了 解几何概型的意义 概率与统计 1 概率 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念 了解分布列对于刻 画随机现象的重要性 理解超几何分布及其导出过程 并能进行简单的应用 了解条件概率和两个事件相互独立的概念 理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布 并 能解决一些简单的实际问题 理解取有限个值的离散型随机变量均值 方差的概念 能计算简单离散型随机变量的均值 方差 并能解决一些实际问题 利用实际问题的直 方图 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 2 统计案例 了解下列一些常见的统计方法 并能应用这些方法解决一些实际问 用心 爱心 专心 题 1 独立性检验 了解独立性检验 只要求 2 2 列联表 的基本思想 方法及其简 单应用 2 回归分析 了解回归的基本思想 方法及其简单应用 近几年考点分布近几年考点分布概率与统计问题是每年高考必考内容 理科考查等可能事件的概率 计算公式 互斥事件的概率加法公式 对立事件的概率减法公式 相互独立事件的概率乘法 公式 事件在 n 次独立重复试验种恰好发生 k 次的概率计算公式 离散型随机变量分布列和 数学期望 方差等基本公式的应用 试题多为课本例题 习题拓展加工的基础题或中档题 只要我们理解和掌握五个概率公式及其应用 夯实基础 借助排列组合知识和化归转化思想 方法 就能顺利解答高考概率与统计试题 最多的概率与统计问题的分值占整个卷面分值的 12 且本部分题多为中低档题 从而可以看出近几年高考中概率与统计所占地位的重要 性 考点考点 pk pk 名师考点透析名师考点透析 考点一 考点一 随机事件的概率随机事件的概率 例 1 某条公共汽车线路沿线共有 11 个车站 包括起点站和终点站 在起点站开出的一 辆公共汽车上有 6 位乘客 假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的 求 I 这 6 位乘客在其不相同的车站下车的概率 II 这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下 车的概率 名师点睛名师点睛 等可能性事件的概率 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基 本事件 通常此试验中的某一事件 A 由几个基本事件组成 如果一次试验中可能出现的结果 有 n 个 即此试验由 n 个基本事件组成 而且所有结果出现的可能性都相等 那么每一基本事 件的概率都是 n 1 如果某个事件 A 包含的结果有 m 个 那么事件 A 的概率 P A n m 使用公 式 P A n m 计算时 确定 m n 的数值是关键所在 其计算方法灵活多变 没有固定的模式 可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理 必须做到不重复不遗漏 求解等 可能性事件 A 的概率一般遵循如下步骤 1 先确定一次试验是什么 此时一次试验的可 能性结果有多少 即求出 A 2 再确定所研究的事件 A 是什么 事件 A 包括结果有多少 即 求出 m 3 应用等可能性事件概率公式 P n m 计算 例 2 设有关于 x 的一元二次方程 x2 2ax b2 0 若 a 是从区间 0 3 任取的一个数 b 是从 区间 0 2 任取的一个数 求上述方程有实根的概率 名师点睛名师点睛 判断是否是几何概型 关键要判断试验的结果是不是无限个 每个试验的结判断是否是几何概型 关键要判断试验的结果是不是无限个 每个试验的结 果是不是等可能的 果是不是等可能的 考点二考点二互斥事件有一个发生的概率互斥事件有一个发生的概率 用心 爱心 专心 例 3 例 3 某市有 A B 两所示范高中响应政府号召 对该市甲 乙两个教育落后地区开 展支教活动 经上级研究决定 向甲地派出 3 名 A 校教师和 2 名 B 校教师 向乙地派出 3 名 A 校教师和 3 名 B 校教师 由于客观原因 需从拟派往甲 乙两地的教师中各自任选一 名互换支教地区 求互换后两校派往两地区教师人数不变的概率 求互换后 A 校教师派往甲地区人数不少于 3 名的概率 此有 P A 1 P A 对于 n 个互斥事件 A1 A2 An 其加法公式为 P A1 A2 An P A1 P A2 P An 概率加法公式仅适用于互斥事件 即当 A B 互斥时 P A B P A P B 否则公式不能使用 如果某事件 A 发生包含的情况 较多 而它的对立事件 即 A 不发生 所包含的情形较少 利用公式 P A 1 P A 计算 A 的概率则比较方便 这不仅体现逆向思维 同时对培养思维的灵活性是非常有益的 求某些稍复杂的事件的概率时 通常有两种方法 一是将所求事件的概率化成一些彼此互 斥的事件的概率的和 二是先去求此事件的对立事件的概率 考点三 考点三 相互独立事件同时发生的概率相互独立事件同时发生的概率 例 4 例 4 一射击测试每人射击三次 每击中目标一次记 10 分 没有击中记分 0 分 每 次击中目标的概率 2 3 乙每击中目标一次记 20 分 没有击中记 0 分 每次击中目标的概率 为 1 3 I 求此人得 20 分的概率 II 求甲乙两人得分相同的概率 名师点睛名师点睛 事件 A 与 B 的积记作 A B A B 表示这样一个事件 即 A 与 B 同时发生 当 A 和 B 是相互独立事件时 事件 A B 满足乘法公式 P A B P A P B 还要弄清 A B BA 的区别 A B表示事件A与B同时发生 因此它们的对立事件 A 与 B 同时 不发生 也等价于 A 与 B 至少有一个发生的对立事件即BA 因此有A B BA 但 A B BA 应用公式时 要注意前提条件 只有对于相互独立事件 A 与 B 来说 才能 运用公式 P A B P A P B 在学习过程中 要善于将较复杂的事件分解为互斥 事件的和及独立事件的积 或其对立事件 首先要搞清事件间的关系 是否彼此互斥 是否 互相独立 是否对立 当且仅当事件 A 和事件 B 互相独立时 才有 P A B P A P B A B 中至少有一个发生 A B 1 若 A B 互斥 P A B P A P B 否则不成立 2 若 A B 相互独立 不互斥 法一 P A B P A B P A B P A B 法二 P A B 1 P A B 法三 P A B P A P B P AB 某些事件若含有较多的互斥事件 可考虑其对立事件的概率 这样可减 用心 爱心 专心 少运算量 提高正确率 要注意 至多 至少 等题型的转化 n 次独立重复试验中某事件 发生 k 次的概率 Pn k C k npk 1 p n k正好是二项式 1 p p n的展开式的第 k 1 项 名师点睛名师点睛 1 随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量表示 那么这样的变 量叫做随机变量 它常用希腊字母 等表示 1 离散型随机变量 如果对于随机变量 可能取的值 可以按一定次序一一列出 那么这样的随机变量叫做离散型随机变量 2 若 是随机变量 a b 其中 a b 是常数 则 也是随机变量 2 离散型随机变量的分布列 1 概率分布 分布列 设离散型随机变量 可能取的值为 x1 x2 xi 取每一个值 xi i 1 2 的概率 P xi pi 则称表 x1x2 xi Pp1p2 pi 为随机变量 的概率分布 简称 的分布列 2 二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p 那么在 n 次独立重复试验中 这个事件恰好发生 k 次的概率是 P k C k npkqn k 其中 k 0 1 n q 1 p 于是得到随机变量 的概率分布如下 01 k n P C 0 np0qn C1 np1qn 1 C k npkqn k C n npnq0 我们称这样的随机变量 服从二项分布 记作 B n p 其中 n p 为参数 并 记 C k npkqn k b k n p 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内 各个值的概率和 求离散型随机变量的分布列必须解决好两个问题 一是求出 的所有取 值 二是求出 取每一个值时的概率 求一些离散型随机变量的分布列 在某种程度上就 是正确地求出相应的事件个数 即相应的排列组合数 所以学好排列组合是学好分布列的 基础与前提 考点五 考点五 离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望与方差 例 6 2011 年 3 月 11 日日本发生 9 0 级地震后 某国派遣了由 9 名医护人员和 27 名搜救 人员组成的救援队到日本救援 谁知日本福岛核电站连续爆炸 使该救援队 2 3 的医护人员 和 1 3 的搜救人员遭轻微核辐射 在该救援队中随机抽查 3 名救援队员 求恰有 1 名遭 轻微核辐射的医护人员且至多 1 名遭轻微核辐射的搜救人员的概率 在该救援队中 用心 爱心 专心 24131452 185 190 180 185 175 180 170 175 165 170 160 165 分分 分分 分cm分 分分 分cm分 分分 150 155 165 170 170 175 175 180 155 160 160 165 1712631 分 分 分 分 分 分 分 分 分 分 分 0185180175170165160190 0 03 0 02 0 01 分分 分分 分分 cm 0 06 0 07 0 05 0 04 随机抽查 3 名医护人员 设其中遭轻微核辐射的人数为随机变量 求 的分布列及数学 期望E 是一些熟知的类型时 应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件 并准确判断各事件 的 相互关系 从而求出各随机变量相应的概率 考点六 考点六 抽样方法 总体分布的估计抽样方法 总体分布的估计 例 7 为了解高中一年级学生身高情况 某校按 10 的比例对全校 700 名高中一年级学生 按性别进行抽样检查 测得身高频数分布表如下表 1 表 2 表 1 男生身高频数分布表 表 2 女生身高频数分布表 1 求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图 2 估计该校学生身高在165180cm 的概率 3 从样本中身高在 180 190cm 之间的男生中 任选 2 人 求至少有 1 人身高在 185 190cm 之间 的概率 名师点睛名师点睛 1 简单随机抽样 一般地 设一个总体的个体数为 N 如果通过逐个抽 取的方法从中抽取一个样本 且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等 就称这样的抽样 为简单随机抽样 2 分层抽样 当已知总体由差异明显的几部分组成时 为了使样本更充分地反映总体 的情况 常将总体分成几部分 然后按照各部分所占的比进行抽样 这种抽样叫做分层抽 样 分层抽样的步骤 1 分层 2 按比例确定每层抽取个体的个数 3 各层抽样 方法可以不同 4 汇合成样本 3 总体 在数理统计中 通常把被研究的对象的全体叫做总体 4 频率分布 用样本估计总体 是研究统计问题的基本思想方法 样本中所有数据 或数据组 的频数和样本容量的比 就是该数据的频率 所有数据 或数据组 的频率的 分布变化规律叫做样本的频率分布 可以用样本频率表 样本频率分布条形图或频率分布直 方图来表示 解决总体分布估计问题的一般程序如下 1 先确定分组的组数 最大数据 与最小数据之差除以组距得组数 2 分别计算各组的频数及频率 频率 总数 频数 3 画出频率分布直方图 并作出相应的估计 用心 爱心 专心 三年高考三年高考 10 10 1111 1212 高考试题及其解析高考试题及其解析 1212 高考试题及其解析高考试题及其解析 一 选择题 1 2012 年高考 广东理 概率 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个 其个位数为 0 的概率是 A 4 9 B 1 3 C 2 9 D 1 9 2 2012 年高考 北京理 设不等式组 02 02 x y 表示的平面区域为D 在区 域 D 内随机取一个点 则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 A 4 B 2 2 C 6 D 4 4 3 2012 年高考 上海理 设 4 4321 1010 xxxx 5 5 10 x 随机变量 1 取值 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x的概率均为 0 2 随机变量 2 取值 2 21 xx 2 32 xx 2 43 xx 2 54 xx 2 15 xx 的概率也为 0 2 若记 1 D 2 D分别为 1 2 的方差 则 A 1 D 2 D B 1 D 2 D C 1 D2 0 023 则 P 2 Z 2 A 0 477 B 0 625 C 0 954 D 0 9 77 6 20102010 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 6 6 样本中共有五个个体 其值分别为 a 0 1 2 3 若该样本 的平均值为 1 则样本方差为 A 6 5 B 6 5 C 2 D 2 7 20102010 年高考数学湖北卷理科年高考数学湖北卷理科 6 6 将参加夏令营的 600 名学生编号为 001 002 600 采用系统抽样疗法抽取一个 容量为 50 的样本 且随机抽得的号码为 003 这 600 名学生分住在三个营区 从 001 到 300 在第 1 营区 从 301 到 495 在第 营区 从 496 到 600 在第 营区 三个营区被 抽中的人数依次为 A 26 16 8 B 25 17 8 C 25 16 9 D 24 17 9 8 20102010 年广东理年广东理 7 7 已知随机变量 X 服从正态分布 N 3 1 且 24 PX 0 6826 则 p X 4 A 0 1588 B 0 1587 C 0 1586 D0 1585 二 填空题 二 填空题 1 20102010 年福建理年福建理 1313 某次知识竞赛规则如下 在主办方预设的 5 个问题中 选手若能连 续正确回答出两个问题 即停止答题 晋级下一轮 假设某选手正确回答每个问题的概率 都是0 8 且每个问题的回答结果相互独立 则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮 的概率等于 2 20102010 年安徽理年安徽理 1515 甲罐中有 5 个红球 2 个白球和 3 个黑球 乙罐中有 4 个红球 3 用心 爱心 专心 个白球和 3 个黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐 分别以 12 A A和 3 A表示由甲罐取 出的球是红球 白球和黑球的事件 再从乙罐中随机取出一球 以B表示由乙罐取出的球 是红球的事件 则下列结论中正确的是 写出所有正确结论的编号 2 5 P B 1 5 11 P B A 事件B与事件 1 A相互独立 123 A A A是两 两互斥的事件 P B的值不能确定 因为它与 123 A A A中哪一个发生有关 3 20102010 年湖北理年湖北理 1414 某射手射击所得环数 的分布列如下 已知 的期望8 9E 则 y 的值为 4 2010 2010 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 11 11 在区间 1 2 上随机取一个数 x 则 x 1 的概率为 5 2010 2010 年安徽理年安徽理 15 15 甲罐中有 5 个红球 2 个白球和 3 个黑球 乙罐中有 4 个红球 3 个 白球和 3 个黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐 分别以 12 A A和 3 A表示由甲罐取出 的球是红球 白球和黑球的事件 再从乙罐中随机取出一球 以B表示由乙罐取出的球是 红球的事件 则下列结论中正确的是 写出所有正确结论的编号 2 5 P B 1 5 11 P B A 事件B与事件 1 A相互独立 123 A A A是两两互斥的事件 P B的值不能确定 因为它与 123 A A A中哪一个 发生有关 6 20102010 年江苏年江苏 3 3 盒子中有大小相同的 3 只白球 1 只黑球 若从中随机地摸出两只球 两只球颜色不同的概率是 7 2010 2010 年全国高考宁夏卷年全国高考宁夏卷 1313 设 yf x 为区间 0 1 上的连续函数 且恒有 0 1f x 可以用随机模拟方法近似计算积分 1 0 f x dx 先产生两组 每组 N 个 区 间 0 1 上的均匀随机数 12 N x xx 和 12 N y yy 由此得到 N 个点 用心 爱心 专心 11 1 2 x yiN 再数出其中满足 11 1 2 yf xiN 的点数 1 N 那么由随 机模拟方案可得积分 1 0 f x dx 的近似值为 8 20102010 年陕西理年陕西理 1313 从如图所示的长方形区域内任取一个点 yxM 则点M取自阴 影部分的概率为 9 20102010 年高考上海市理科年高考上海市理科 6 6 随机变量 的概率分布率由下图给出 则随机变量 的均值是 10 20102010 年上海理年上海理 9 9 从一副混合后的扑克牌 52 张 中随机抽取 1 张 事件 A 为 抽 得红桃 K 事件 B 为 抽得为黑桃 则概率 P A B 结果用最简分数 表示 11 2010 2010 年重庆理年重庆理 13 13 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同 且在两次罚球中至 少命中一次的概率为 16 25 则该队员每次罚球的命中率为 12 20102010 年上海春年上海春 9 9 连续掷两次骰子 出现点数之和等于 4 的概率为 结 果用数值表示 13 2010 2010 年天津理年天津理 11 11 甲 乙两人在 10 天中每天加工零件 的个数用茎叶图表示下图 中间一列的数字表示零件个数 两边的数字表示零件个数的位数 则这 10 天甲 乙两人日 加工零件的平均数分别为 和 14 2010 2010 年湖南理年湖南理 9 9 已知一种材料的最佳加入量在 110g 到 210 g 之间 若用 0 618 法安排试验 则第一次试点的加 入量可以是 g 15 20102010 年高考江苏卷试题年高考江苏卷试题 4 4 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量 从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度 棉花纤维的长度是棉花质 量的重要指标 所得数据都在区间 5 40 中 其频率分布直方图如图 所示 则其抽样的 100 根中 有 根在棉花纤维的长度小于 20mm 16 20102010 年北京理年北京理 1111 从某小学随机抽取 100 名同学 将他们的身高 单位 厘米 数 据绘制成频率分布直方图 如图 由图中数据可知 a 若要从身高在 120 130 130 140 140 150 三 组内的学生中 用分 层抽样的方法选取 18 人参加一项活动 则从身高在 140 用心 爱心 专心 150 内的学生中选取的人数应为 17 20102010 年上海春高考年上海春高考 6 6 某社区对居民进行上海世博会知晓情况的分层抽样调查 已知 该社区的青年人 中年人和老年人分别有 800 人 1600 人 1400 人 若在老年人中的抽 样人数是 70 则在中年人中的抽样人数应该是 三 解答题 三 解答题 1 20102010 年山东理年山东理 2020 本小题满分 12 分 某学校举行知识竞赛 第一轮选拔共设有 A B C D四个问题 规则如下 每位参加者计分器的初始分均为 10 分 答对问题 A B C D分别加 1 分 2 分 3 分 6 分 答错任一题减 2 分 每回答一题 计分器显示 累计分数 当累计分数小于 8 分时 答题结束 淘汰出局 当累计分数大于或等于 14 分时 答题结束 进入下一轮 当答完四题 累计分数仍不足 14 分时 答题结束 淘汰出局 当 累计分数大于或等于 14 分时 答题结束 进入下一轮 当答完四题 累计分数仍不足 14 分时 答题结束 淘汰出局 每位参加者按问题 A B C D顺序作答 直至答题结束 假设 甲同学对问题 A B C D回答正确的概率依次为 3 1 1 1 4 2 3 4 且各题回答正确与否相互之 间没有影响 求甲同学能进入下一轮的概率 用 表示甲同学本轮答题结束时答 题的个数 求 的分布列和数学的E 2 20102010 年福建理年福建理 1616 本小题满分 13 分 设S是不等式 2 60 xx 的解集 整数 m nS 1 记使得 0mn 成立的有序数组 m n 为事件 A 试列举 A 包含的基本事件 2 设 2 m 求 的分布列及其数学期望E 3 2010 2010 年天津理年天津理 18 18 本小题满分本小题满分 1212 分分 某射手每次射击击中目标的概率是 2 3 且各次射 击的结果互不影响 假设这名射手射击 5 次 求恰有 2 次击中目标的概率 假设 这名射手射击 5 次 求有 3 次连续击中目标 另外 2 次未击中目标的概率 假设这名 射手射击 3 次 每次射击 击中目标得 1 分 未击中目标得 0 分 在 3 次射击中 若有 2 次连续击中 而另外 1 次未击中 则额外加 1 分 若 3 次全击中 则额外加 3 分 记 为 射手射击 3 次后的总得分数 求 的分布列 4 20102010 年安徽理年安徽理 2121 本小题满分 13 分 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试 一种 通常采用的测试方法如下 拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝 要求其按品质优 劣为它们排序 经过一段时间 等其记忆淡忘之后 再让其品尝这n瓶酒 并重新按品质 优劣为它们排序 这称为一轮测试 根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评 为 现设4n 分别以 1234 a a a a表示第一次排序时被排为 1 2 3 4 的四种酒在第二次 用心 爱心 专心 排序时的序号 并令 1234 1234Xaaaa 则X是对两次排序的偏离程度的一种描述 写出X的可能值集合 假设 1234 a a a a等可能地为 1 2 3 4 的各种排列 求X的分布列 某品酒师在相继进行的 三轮测试中 都有2X i 试按 中的结果 计算出现这种现象的概率 假定各轮测试 相互独立 ii 你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何 说明理由 5 20102010 年广东理年广东理 1717 本小题满分 12 分 某食品厂为了检查一 条自动包装流水线的生产情况 随即抽取该流水线上 40 件产品 作为样本算出他们的重量 单位 克 重量的分组区间为 490 495 495 500 510 515 由此得到样本的频率分布直 方图 如图 4 所示 1 根据频率分布直方图 求重量超过 505 克的产品数量 2 在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件 设 Y 为重量超过 505 克的产品数量 求 Y 的分 布列 3 从流水线上任取 5 件产品 求恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率 6 20102010 年高考全国卷年高考全国卷 I I 理科理科 1818 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 投到某杂志的稿件 先由两位初审专家进行评审 若能通过两位初审专家的评审 则予以录用 若两位初审专家都未予通过 则不予录用 若恰能通过一位初审专家的 评审 则再由第三位专家进行复审 若能通过复审专家的评审 则予以录用 否则不 予录用 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0 5 复审的稿件能通过评审的概 率为 0 3 各专家独立评审 I 求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率 II 记 X表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数 求X的分布列及期望 7 20102010 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 1717 本小题满分 12 分 某种有奖销售的饮料 瓶盖内印有 奖励一瓶 或 谢谢购买 字样 购买一瓶若其瓶盖内印有 奖励一瓶 字样即为中奖 中奖概率为 1 6 甲 乙 丙三位同学每人购买了一瓶该饮料 求甲中奖且乙 丙都没 有中奖的概率 求中奖人数 的分布列及数学期望E 8 20102010 年高考江苏卷试题年高考江苏卷试题 2222 本小题满分 10 分 某工厂生产甲 乙两种产品 甲产品 的一等品率为 80 二等品率为 20 乙产品的一等品率为 90 二等品率为 10 生产 1 件甲产品 若是一等品则获得利润 4 万元 若是二等品则亏损 1 万元 生产 1 件乙产品 若是一等品则获得利润 6 万元 若是二等品则亏损 2 万元 设生产各种产品相互独立 记 X 单位 万元 为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润 求 X 的分布列 求生产 用心 爱心 专心 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率 9 20102010 年陕西理年陕西理 1919 本小题满分 12 分 为了解学生身高情况 某校以 10 的比例对全 校 700 名学生按性别进行出样检查 测得身高情况的统计图如下 估计该小男生的人数 估计该校学生身高在 170 185cm 之间的概率 从 样本中身高在 165 180cm 之间的女生中任选 2 人 求至少有 1 人身高在 170 180cm 之间的 概率 10 2010 2010 年北京理年北京理 17 17 本小题共 13 分 www ks 某同学参加 3 门课程的考试 假设该同学第一 门课程取得优秀成绩的概率为 4 5 第二 第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p q p q 且不同课程是否取得优秀成绩相互独立 记 为该生取得优秀成绩的课程数 其分布列为 求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率 求p q的值 求数学期望 E 11 20102010 年江西理年江西理 1818 本小题满分 12 分 某迷宫有三个通道 进入迷宫的每个人都要 经过一个智能门 首次到达此门 系统会随机 即等可能 为你打开一个通道 若是 1 号通 道 则需要 1 小时走出迷宫 若是 2 号 3 号通道 则分别需要 2 小时 3 小时返回智能 门 再次到达智能门时 系统会随机打开一个你未到过的通道 直至走出迷宫为止 令 表示走出迷宫所需的时间 1 求 的分布列 2 求 的数学期望 1212 20102010 年辽宁理年辽宁理 1818 本小题满分 12 分 为了比较注射 A B 两种药物后产生的皮肤 疱疹的面积 选 200 只家兔做试验 将这 200 只家兔随机地分成两组 每组 100 只 其中 一组注射药物 A 另一组注射药物 B 甲 乙是 200 只家兔中的 2 只 求甲 乙分 在不同组的概率 下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和 B 后的试验结果 疱疹面积单 位 mm2 表 1 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表 用心 爱心 专心 完成下面频率分布直方图 并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小 完成下面 2 2 列联表 并回答能否有 99 9 的把握认为 注射药物 A 后的疱疹面 积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异 表 3 13 20102010 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 1919 本题满分 14 分 如图 一个小球从 M 处投入 通过管道 自上而下落到 A 或 B 或 C 已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的 某 商家按上述投球方式进行促销活动 若投入的小球落到 A B C 则分别设为 1 2 3 等 奖 已知获得 1 2 3 等奖的折扣率分别为 50 70 90 记随机变量 为获得 k k 1 2 3 等奖的折扣率 求随机变量 的分布列及期望 E 若有 3 人次 投入 1 球为 1 人次 参加促销活动 记随机变量 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次 求 P 2 14 2010 年全国年全国 2 理理 20 本小题满分 12 分 如图 由 M 到 N 的电路中有 4 个元件 分 别标为 T1 T2 T3 T4 电流能通过 T1 T2 T3的概率都是 p 电流能通过 T4的概率是 0 9 电流能否通过各元件相互独立 已知 T1 T2 T3中至少有一个能通过电流的概率为 0 999 求 p 求电流能在 M 与 N 之间通过的概率 表示 T1 T2 T3 T4中能通过电流的元件个数 求 的期 望 15 2010 2010 年重庆理年重庆理 17 17 本小题满分 13 分 小问 5 分 小问 8 分 在甲 乙等 6 个单位参加的一次 唱读传讲 赛出活动中 每个单位的节目集中安排在一起 若采用 抽签的方式随机确定各单位的演出顺序 序号为 1 2 6 求 甲 乙两单位 的演出序号至少有一个为奇数的概率 甲 乙两单位之间的演出单位个数 的分布 用心 爱心 专心 列与期望 命题意图命题意图 本小题主要考查等可能事件 随机变量的分布列 数学期望等概念及相关计本小题主要考查等可能事件 随机变量的分布列 数学期望等概念及相关计 算 考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力算 考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力 其中其中第 第 2 2 问是课本上常见的类型题 问是课本上常见的类型题 16 2010 2010 年宁夏年宁夏 1919 本小题 12 分 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助 用简 单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人 结果如下 是否需要志愿 性别男女 需要4030 不需要160270 1 估计该地区老年人中 需要志愿者提供帮助的老年人的比例 2 能否有 99 的把 握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关 3 根据 2 的结论 能 否提供更好的调查方法来估计该地区老年人 需要志愿帮助的老年人的比例 说明理由 附 两年模两年模拟拟 20122012 名名校模拟题及其校模拟题及其 答案答案 浙江省宁波四中 2012 届高三上学期第三次月考理 某校有师生 2000 名 从中随机抽取 200 名调查他们的居住地与学校的距离 其中不超过 1000 米的共有 10 人 不超过 2000 米 共有 30 人 由此估计该校所有师生中 居住地到学校的距离在 2000 1000 米的有 人 浙江省宁波四中 2012 届高三上学期第三次月考理 随机变量 的概率分布规律为 4 3 2 1 1 n nn a nP 其中a是常数 则 2 5 2 1 P 四川省宜宾市高中 2011 届高三调研理 设某气象站天气预报准确率为9 0 则在 4 次 预报中恰有 3 次预报准确的概率是 A 0 2876 B 0 0729 C 0 3124 D 0 2916 四川省绵阳南山中学 2012 届高三九月诊断理 在含有 30 个个体的总体中 抽取一个容 量为 5 的样本 则个体a被抽到的概率为 A 30 1 B 6 1 C 5 1 D 6 5 江西省赣州市江西省赣州市 20122012 届上学期高三期末届上学期高三期末 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为a 得 2 分的概率为b 不得分的概率为c a b 0 1 c 已知他投篮一次得分的数学期 望为 2 不计其它得分情况 则ab的最大值为 A 1 48 B 1 24 C 1 12 D 1 6 用心 爱心 专心 江西省赣州市江西省赣州市 20122012 届上学期高三期末届上学期高三期末 一个盒子内部有如图所示的六个小格子 现有桔 子 苹果和香蕉各两个 将这六个水果随机放入这六个格子里 每个格子放一个 放好之 后每行 每列的水果种类各不相同的概率是 A 2 15 B 2 9 C 1 5 D 1 3 河南省郑州市河南省郑州市 20122012 届高三第一次质量预测届高三第一次质量预测 如图所示 在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内 曲线 2 xy 和曲线xy 围成一个叶形图 阴影部分 向正方形 AOBC 内随机投一 点 该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的 则所投的点落在叶形图内部的概率是 A 2 1 B 6 1 C 4 1 D 3 1 安师大附中安师大附中 20122012 届高三第五次模拟届高三第五次模拟 设随机变量 2 1 5XN 且 02P XP Xa 则实数a的值为 A 4 B 6 C 8 D 10 广东省江门市 2012 年普通高中高三调研测试 将一颗质地均匀的骰子 它是一种各面上 分别标有点数 1 2 3 4 5 6 的正方体玩具 先后抛掷 2 次 记第一次出现的点数为 m 记第二次出现的点数为n 向量 2 2 nma 1 1 b 则 a和 b共线的 概率为 A 18 1 B 12 1 C 9 1 D 12 5 湖北省武昌区湖北省武昌区 2012 届高三年级元月调研届高三年级元月调研 在区间 1 1 上随机取一个数 k 使直线 y k x 2 与圆 22 1xy 相交的概率为 A 1 2 B 1 3 C 3 3 D 3 2 四川省成都市双流中学 2012 届高三 9 月月考理 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在 第 6 7 8 层停靠 若该电梯在底层有 5 个乘客 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概 率为 1 3 用 表示 5 位乘客在第 8 层下电梯的人数 则随机变量 的期望E 四川省德阳市 2012 届高三第一次诊断理 设函数 1 1 x f xaxx x 若 a 是从 用心 爱心 专心 1 0 1 2 三数中任取一个 b 是从 1 2 3 4 五数中任取一个 那么 f xb 恒 成立的概率为 A 1 2 B 7 20 C 2 5 D 9 20 答案 D 四川省德阳市 2012 届高三第一次诊断理 已知随机变量 2 2 XN 若 0 26P Xa 那么 4 P aXa 陕西省长安一中 2012 届高三开学第一次考试理 如图 EFGH是以O为圆心 半径 为 1 的圆的内接正方形 将一颗豆子随机地扔到该圆内 用 A 表示事件 豆子落在正方形 EFGH内 B 表示事件 豆子落在扇形OHE 阴影部分 内 则 1 P A 2 PA B 安徽省皖南八校 2012 届高三第二次联考理 据报道 德国 伦琴 ROSAT 卫星将在 2011 年 10 月 23 日某时落在地球的某个地方 砸中地球人的概率约为 1 3200 为了研究中 学生对这件事情的看法 某中学对此事进行了问卷调查 共收到 2000 份有效问卷 得到如 下结果 对卫星撞地球的态度关注但不担 心 关注有点担心关注且非常关 心 不关注 人数 人 1000500 x300 则从收到的 2000 份有效问卷中 采用分层抽样的方法抽取 20 份 抽到的关注且非常担心 的问卷份数为 A 2 B 3 C 5 D 10 浙江省塘栖 瓶窑 余杭中学 2012 届高三上学期联考理 设随机变量 X 的分布列如下 若数学期望 E X 10 则方差 D X 湖北省武昌区湖北省武昌区 2012 届高三年级元月调研届高三年级元月调研 在区间 1 1 上随机取一个数 k 使直线 y k x 2 与圆 22 1xy 相交的概率为 A 1 2 B 1 3 C 3 3 D 3 2 用心 爱心 专心 西安市第一中学西安市第一中学 2012 学年度第一学期期中学年度第一学期期中 如图 用 K A1 A2三类不同的元件连成一 个系统 当 K 正常工作且 A1 A2至少有一个正常工作时 系统正常工作 已知 K A1 A2正常 工作的概率依次为 0 9 0 8 0 8 则系统正常工作的概率为 浙江省名校新高考研究联盟浙江省名校新高考研究联盟 20122012 届第一次联考届第一次联考 甲 乙两人独立地从六门选修课程中任 选三门进行学习 记两人所选课程相同的门数为 则 E为 A 1 B 5 1 C 2 D 5 2 浙江省塘栖 瓶窑 余杭中学 2012 届高三上学期联考理 根据 中华人民共和国道路交 通安全法 规定 车辆驾驶员血液酒精浓度在 20 80 mg 100ml 不含 80 之间 属于酒后 驾车 血液酒精浓度在 80mg 100ml 含 80 以上时 属醉酒驾车 据 法制晚报 报道 2011 年 3 月 15 日至 3 月 28 日 全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800 人 如图是对这 28800 人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图 则属于醉酒驾车 的人数约为 酒精含 量 频 率 组 距 0 02 0 01 5 0 01 0 00 5 0 20 30 40 50 60 70 80 90 10 0 mg 100 ml 图 1 2012 湖北省武汉市部分学校学年高三新起点调研测试 右边茎叶图表示的是甲 乙两人 在 5 次综合测评中的成绩 其中一个数字被污损 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩 的概率为 A 2 5 B 7 10 C 4 5 D 9 10 湖北省部分重点中学 2012 届高三起点考试 在区间 2 2 上随机抽取一个数 x 用心 爱心 专心 cosx的值介于 0 和 1 2 之间的概率为 A 1 2 B 2 3 C 1 3 D 6 江苏省南通市 2012 届高三第一次调研测试 在闭区间 1 1 上任取两个实数 则它 们的和不大于 1 的概率是 南通 2012 届高三调研测试 若 12320082009 x xxxx 的方差为 3 则 1220082009 3 2 3 2 3 2 3 2 xxxx 的方差为 上海市南汇中学 2012 届高三第一次考试 月考 一个不透明的袋中装有 5 个白球 4 个 红球 9 个球除颜色外其余完全相同 经充分混合后 从袋中随机摸出 3 球 则摸出的 3 球中至少有一个是白球的概率为 解答题解答题 1 甲 乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛 甲每次投中的概率为 3 1 乙每次投中的概 率为 2 1 每人分别进行三次投篮 记甲投中的次数为 求 的分布列及数学期望 E 求乙至多投中 2 次的概率 求乙恰好比甲多投进 2 次的概率 试题出处 2012 年北京市石景山区高三一模理科数学 2 乒乓球单打比赛在甲 乙两名运动员间进行 比赛采用7局4胜制 即先胜4局者获 胜 比赛结束 假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同 求甲以4比1获胜的 概率 求乙获胜且比赛局数多于5局的概率 求比赛局数的分布列 试题出处 北京市西城区 2012 年高三一模试卷数学 理科 3 某城市最近出台一项机动车驾照考试的规定 每位考试者一年之内最多有 4 次参加考试 的机会 一旦某次考试通过 便可领取驾照 不再参加以后的考试 否则就一直考到第 4 次为止 李明决定参加驾照考试 设他每次参加考试通过的概率依次为 0 6 0 7 0 8 0 9 求在一年内李明参加驾照考试次数 X 的分布列和 X 的数学期望 求李明在一年内领到驾照的概率 试题出处 北京市东城区普通校 2012 届高三 3 月联考试题数学 理 4 甲 乙两同学进行投篮比赛 每一局每人各投两次球 规定进球数多者该局获胜 进 球数相同则为平局 已知甲每次投进的概率为 2 3 乙每次投进的概率为 1 2 甲 乙之间的投篮 相互独立 1 求甲 乙两同学进行一局比赛的结果不是平局的概率 2 设3局比赛中 甲每局进两球获胜的局数为 求 的分布列及数学期望 试题出处 四川省达县中学高 2012 级 3 月月考试题数学 理科 5 一次考试共有 12 道选择题 每道选择题都有 4 个选项 其中有且只有一个是正确的 评分标准规定 每题只选一个选项 答对得 5 分 不答或答错得零分 某考生已确定有 8 道题的答案是正确的 其余题中 有两道题都可判断两个选项是错误的 有一道题可以 用心 爱心 专心 判断一个选项是错误的 还有一道题因不理解题意只好乱猜 请求出该考生 1 得 60 分的概率 2 所得分数 的分布列和数学期望 试题出处 山东省济南市 2012 届高三 3 月 二模 月考数学 理 试题 6 今年雷锋日 某中学从高中三个年级选派 4 名教师和 20 名学生去当雷锋志愿者 学生 的名额分配如下 I 若从 20 名学生中选出 3 人参加文明交通宣传 求他们中恰好有 1 人是高一年级学生 的概率 II 若将 4 名教师安排到三个年级 假设每名教师加入各年级是等可能的 且 各位教师的选择是相互独立的 记安排到高一年级的教师人数为X 求随机变量X的分 布列和数学期望 试题出处 北京市房山区 2012 年高三第一次模拟试题数学 理科 7 某工厂生产甲 乙两种产品 甲产品的一等品率为80 二等品率为20 乙产品的 一等品率为90 二等品率为10 生产1件甲产品 若是一等品 则获利4万元 若是 二等品 则亏损1万元 生产1件乙产品 若是一等品 则获利6万元 若是二等品 则亏 损2万元 两种产品生产的质量相互独立 设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总 利润为X 单位 万元 求X的分布列 求生产4件甲产品所获得的利润不少于 10万元的概率 试题出处 2012 年北京市东城区高三一模理科数学 8 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间 单位 分钟 并将所得数据绘制成频 率分布直方图 如图 其中 上学所需时间的范围是 0 100 样本数据分组为 0 20 20 40 40 60 60 80 80 100 求直方图中x的值 如果上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请 在学校住宿 请估计学校 600 名新生中有多少名学生 可以申请住宿 从学校的新生中任选 4 名学生 这 4 名学生中 上学所需时间少于 20 分钟的人数记为X 求X的分 布列和数学期望 以直方图中新生上学所需时间少于 20 分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于 20 分钟的概率 试题出处 2012 年北京市海淀区高三一模数 学 理科 时 时 时 时 时 时 x 0 003 0 0065 0 025 10080604020 O 用心 爱心 专心 10 已知一口袋中共有 4 只白球和 2 只红球 1 从口袋中一次任取 4 只球 取到一只白 球得 1 分 取到一只红球得 2 分 设得分为随机变量 X 求 X 的分布列与数学期望 2 从口袋中每次取一球 取后放回 直到连续出现两次白球就停止取球 求 6 次取球 后恰好被停止的概率 试题出处 江苏省南通市 2012 届高三数学模拟试题 11 某学校为了准备参加市运动会 对本校甲 乙两个田径队中 30 名跳高运动员进行了测 试 并用茎叶图表示出本次测试 30 人的跳高成绩 单位 cm 跳高成绩在 175cm 以上 包括 175cm 定义为 合格 成绩在 175cm 以下 不包括 175cm 定义为 不合格 鉴于乙队组队晚 跳高成绩相对较弱 为激励乙队队员 学校决定只有乙队中 合格 者 才能参加市运动会开幕式旗林队 1 求甲队队员跳高成绩的中位数 2 如果用分层抽样的方法从甲 乙两队所有的运 动员共抽取 5 人 则 5 人中 合格 与 不合格 的人数各为多少 3 若从所有 合格 运动员中选取 2 名 用 X 表示所选运动员中 能参加市运动会开幕式旗林队的人数 试写出 X 的分布列 并求 X 的数学期望 试题出处 河北省 2012 年普通高考模拟考试数学试题 理 12 某批发市场对某种商品的日销售量 单位 吨 进行统计 最近 50 天的统计结果如 下 1 填充上表 2 若以上表频率作为概率 且每天的销售量相互独立 5 天中该种