2012年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 不等式求最值

用心 爱心 专心 1 专题 不等式求最值专题 不等式求最值 一 内容归纳 知识精讲 一 最值的理论 若函数 xfy 对定义域 D 内的所以 x 的都有 Cxfy常数 或 Cxfy常数 恒成立 而且至少有一Dx 0 使得 Cxfy 0 则叫 Cy min 或Cy max 二 基本不等式求最值 1 基本不等式 若 0 0 ba则 ba ab baba 11 2 22 22 当且仅当 a b 时取等号 2 对于 Ryx 若和式pyx 为常数 4 2 p xy 即 x y 时 积式有最大值 4 2 max q xy 对于 Ryx 若积式qxy 为常数 qyx2 即 x y 时 和式有最小值 4 2 max p yx 2 重点 难点 用基本不等式求最值时 设法配凑和式或积式为常数 从而套用基本不等 式 3 思维方式 1 基本不等式法 2 函数单调性法 3 函数图像法 4 求导法 5 法 等 4 特别注意 用基本不等式法求最值时要特别注意一正 二定 三取到 二 问题讨论 例 1 1 求函数 f x x x 1 的值域 错解 因为 f x x x 1 2 所以 y 2 分析 这里 xR x0 所以 22 y 2 求函数 2 3 2 2 x x xf的最小值 用心 爱心 专心 2 错解 2 3 2 2 x x xf2 2 1 2 2 2 x x 2 min xf 分析 12 2 1 2 2 2 2 x x x 取不到 正确解 令 t ttftx 1 22 2 在1 t上是递增函数 2 1 22 min fxf 3 x 0 求函数 f x x x 8 2 的最小值 错解 因为 x 0 f x x x 8 2 x x x24 8 2 2 所以当 x x 8 2 即 x 2 时 minxf 4 4 8 分析 x24不是常数 正确解 因为 x 0 f x x2 33 26163 44 xx 当 x2 x 1 即 x 3 4时 minxf 3 26 思维点拨 用基本不等式求最值时一定要注意一正 二定 三取到 例 2 1 已知 4 5 x 函数 54 1 24 x xy的最大值为 2 已知 a b 为实常数 函数 22 bxaxy 的最小值为 3 x y R 且 xy x y 1 则 x y 122 B xy 122 C x y 2 122 D xy 122 4 设 a b c n N 且 11 ca n cbba 则 n 的最大值为 解 1 045 4 5 xx 1323 45 1 45 54 1 24 x x x xy 当且仅当 x x 45 1 45 即 x 1 时 成立 当 x 1 时1 max y 2 222 22 22baxbaxbxaxy 22 2 2 2 2 2 22 2 min ba ba ba ba ba y ba x 时 用心 爱心 专心 3 另解 22 2 2 2 2222 baxbax xbaxbxaxy 当且仅当 x a b x 即 2 ba x 时 2 2 min ba y 结论 满足一正 二定 三相等和定积最大 积定和最小 3 因为 x 0 y 0 所以 xy 2 2 yx 1 yx yx 4 2 即 044 2 yxyx得 x y222 或222 yx 不合 舍去 故选 A 4 因为 a b c 所以 cb cbba ba cbba cb ca ba ca n 42 cb ba ba cb 当且仅当 a b b c 即 b a c 时取等号 所以 cb ca ba ca min 因此 4 n 故选 思维点拨 要注意基本不等式的灵活应用 例 3 实数 x y 满足 y x yx 求x的取值范围 解 由条件可得 00 2 yxxyy 04 2 xx 4 0 orxx 而 y 0 时 x 0 x的取值范围是 04 求函数 axxxfy 1 2 其中 a 1 在区间 0 3 上的最值 分析 显然 xfy 在 0 3 为连续函数 所以必有最大值和最小值 但用基本不等式解 之有一定的困难 考虑若a 1 则 xx xxy 1 1 1 2 2 则此时 xf在 0上 为递减函数 但在1 a上用初等的方法来证明其单调性较难 因此考虑用导数的方法去解 决 解 0 1 2 xa x x y 1 0 1 2 x x 01 ya axxxfy 1 2 在 0 3 为递减函数 afy323 min 10 max fy 思维点拨 灵活地运用不同的方法去求值域与范围 用心 爱心 专心 4 例 4 求周长为12 的直角三角形面积的最大值 解 设两直角边长分别为 a b 斜边长为 c 则 22 bac 12 22 baba abab22 ab22 2 2 ab 4 1 2 1 abS 当 且仅当 a b 时取等号 所以 等腰直角三角形时直角三角形的面积最大 最大值为 4 1 已知 ABC 三内角 A B C 满足 CBA 222 sin5sinsin 求证 sinC 5 3 证明 CBA 222 sin5sinsin 222 5cba 0 5 41 4 2 4 2 cos 22 2 2222 ba c ab c ab cba C 当且仅当 a b 时取等号 为 锐角 sinC 5 3 cos2 C 思维点拨 首先确定要得到的是 还是 然后去配凑基本不等式 例 5 P225 考例 5 已知 A B 两地相距 200km 一只船从 A 地逆水到 B 地 水速为 8km h 船在静水中的速度为 v km h 80 则 2 1 kvy 当 v 12 时 y1 720 2 12720 k得 k 5 设全程燃料费为 y 依题意有 3200016 8 64 81000 8 64 81000 8 1000 8 200 2 1 v v v v v v v yy 当 8 64 8 v v 即 v 16 时取等号 8 v 0 v 所以当16 v时 v 16 时全程燃料费最 省 当16 v时 令 8 64 8 v vt 任取 021 8vvv 则80 880 21 vv 0 88 64 1 21 vv 0 88 64 1 21 2121 vv vvtt 用心 爱心 专心 5 即 8 64 8 v vt在 v 8上为减函数 当 v v0时 y 取最小值 8 1000 2 v v 综合得 当16 v时 v 16km h 全程燃料费最省 32000 为元 当16 v时 当 v v0时 全程燃料费最省 为 8 1000 2 v v 元 另解 当16 v时 令 8 64 8 v vt 2 8 64 1 v t 168 0 vv 6480 880 2 vv 0 8 64 1 2 v t 0 8 8 64 8v v vt在 上