2012年全国各地中考数学解析汇编 第二十八章　图形的相似与位似（按章节考点整理）

用心 爱心 专心1 最新最全 最新最全 20122012 年全国各地中考数学解析汇编 按章节考点整理 年全国各地中考数学解析汇编 按章节考点整理 第二十八章第二十八章 图形的相似与位似图形的相似与位似 28 1 图形的相似 15 2012 北京 15 5 已知 求代数式的值 0 23 ab 22 52 2 4 ab ab ab 解析 答案 设a 2k b 3k 原式 525210641 2 2 2 22682 ababkkk ab ab ababkkk A 点评 本题考查了见比设份的解题方法 以及分式中的因式分解 约分等 28 2 线段的比 黄金分割与比例的性质 2011 山东省潍坊市 题号 8 分值 3 8 已知矩形 ABCD 中 AB 1 在 BC 上取一点 E 沿 AE 将 ABE 向上折叠 使 B 点落在 AD 上的 F 点 若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似 则 AD A B C D 2 2 15 2 15 3 考点 多边形的相似 一元二次方程的解法 解答 根据已知得四边形 ABEF 为正方形 因为四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似 所以 DF EF AB BC 即 AD 1 1 1 AD 整理得 解得01 2 ADAD 2 51 AD 由于 AD 为正 得到 AD 本题正确答案是 B 2 15 点评 本题综合考察了一元二次方程和多边形的相似 综合性强 28 3 相似三角形的判定 2012 山东省聊城 11 3 分 如图 ABC 中 点 D E 分别是 AB AC 的中点 下列结 论不正确的是 用心 爱心 专心2 A BC 2DE B ADE ABC C D AC AB AE AD ADEABC SS 3 解析 根据三角形中位线定义与性质可知 BC 2DE 因 DE BC 所以 ADE ABC AD AB AE AC 即 AD AE AB AC 所以选项 D 错误 ADEABC SS 4 答案 D 点评 三角形的中位线平行且等于第三边的一半 有三角形中位线 可以得出线段倍分关系 比例关系 三角形相似 三角形面积之间关系等 2012 四川省资阳市 10 3 分 如图 在 ABC中 C 90 将 ABC沿直线MN翻折 后 顶点C恰好落在AB边上的点D处 已知MN AB MC 6 NC 2 3 则四边形MABN 的面积是 A 6 3B 12 3 C 18 3D 24 3 第 10 题图 NM DA C B 解析 由MC 6 NC 2 3 C 90 得 S CMN 再由翻折前后 CMN DMN得6 3 对应高相等 由MN AB得 CMN CAB且相似比为 1 2 故两者的面积比为 1 4 从而得 S CMN S四边形 MABN 1 3 故选 C 答案 C 点评 本题综合考查了直角三角形的面积算法 翻折的性质 由平行得相似的三角形相 似的判定方法 相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点 知识点丰富 考查了 学生综合运用知识来解决问题的能力 难度较大 2012 湖北随州 14 4 分 如图 点 D E 分别在 AB AC 上 且 ABC AED 若 DE 4 AE 5 BC 8 则 AB 的长为 10 用心 爱心 专心3 解析 ABC AED BAC EAD AED ABC DE 10 AEDE ABCB 答案 10 点评 本题主要考查了三角形相似的判定和性质 利用两三角形的相似比 通过已知边长 度求解某边长度 是常用的一种计算线段长度的方法 28 4 相似三角形的性质 2012 重庆 12 4 分 已知 ABC DEF ABC 的周长为 3 DEF 的周长为 1 则 ABC 与 DEF 的面积之比为 解析 相似三角形的周长比等于相似比 相似三角形的面积比等于相似比的平方 故可求 出答案 答案 9 1 点评 本题考查相似三角形的基本性质 2012 浙江省衢州 15 4 分 如图 ABCD中 E是CD的延长线上一点 BE与AD交于 点F CD 2DE 若 DEF的面积为a 则 ABCD中的面积为 用a的代数式表示 解析 根据四边形ABCD是平行四边形 利用已知得出 DEF CEB DEF ABF 进 而利用相似三角形的性质分别得出 CEB ABF的面积为 4a 9a 然后推出四边形BCDF 的面积为 8a即可 答案 12a 点评 此题主要考查相似三角形的判定 性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌 握 解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理 2012 山东省荷泽市 16 1 6 1 如图 DAB CAE 请你再补充一个条件 使得 ABC ADE 并说明理由 用心 爱心 专心4 解析 从已知条件中可得出一组角对应相等 要判定两个三角形相似 可以增加另外一 组对应相等或者是这两角的两边对应成比 答案 DBAEDC 或 2 分 理由 两角对应相等 两三角形相似 6 分 点评 判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用 在选择方法 一定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加 湖南株洲市 6 20 题 本题满分 6 分 如图 在矩形 ABCD 中 AB 6 BC 8 沿直线 MN 对折 使 A C 重合 直线 MN 交 AC 于 O 1 求证 COM CBA 2 求线段 OM 的长度 解析 要证明 COM CBA 就是要找出 COM B 即可 求线段的长就是利用第 1 问 中的相似建立比例式 构造出 OM 的方程求解 解 1 证明 A 与 C 关于直线 MN 对称 AC MN COM 90 在矩形 ABCD 中 B 90 COM B 1 分 又 ACB ACB 2 分 COM CBA 3 分 2 在 Rt CBA 中 AB 6 BC 8 AC 10 4 分 OC 5 COM CBA 5 分 OC OM BCAB OM 15 4 6 分 点评 求证两个三角形相似的方法主要是两角对应相等 两三角形相似 两边对应成比 例及夹角相等 两三角形相似及三边对应成比例 两三角形相似 求线段的长的方法 主 要是利用三角形相似及直角三角形的勾股定理 用心 爱心 专心5 2012 湖南娄底 25 10 分 如图 13 在 ABC中 AB AC B 30 BC 8 D在边BC 上 E在线段DC上 DE 4 DEF是等边三角形 边DF交边AB于点M 边EF交边AC于 点N 1 求证 BMD CNE 2 当BD为何值时 以M为圆心 以MF为半径的圆与BC相切 3 设BD x 五边形ANEDM的面积为y 求y与x 之间的函数解析式 要求写出自变 量x的取值范围 当x为何值时 y有最大值 并求y的最大值 BDE C N A F M 解析 1 由 AB AC B 30 根据等边对等角 可求得 C B 30 又由 DEF 是等边三角形 根据等边三角形的性质 易求得 MDB NEC 120 BMD B C CNE 30 即可判定 BMD CNE 2 首先过点 M 作 MH BC 设 BD x 由以 M 为圆心 以 MF 为半径的圆与 BC 相切 可得 MH MF 4 x 由 1 可得 MD BD 然后在 Rt DMH 中 利用正弦函数 即可求得答案 3 首先求得 ABC 的面积 继而求得 BDM 的面积 然后由相似三角形的性质 可求得 BCN 的面积 再利用二次函数的最值问题 即可求得答案 答案 1 证明 AB AC B C 30 DEF 是等边三角形 FDE FED 60 MDB NEC 120 BMD B C CNE 30 BMD CNE 2 过点 M 作 MH BC 以 M 为圆心 以 MF 为半径的圆与 BC 相切 MH MF 设 BD x DEF 是等边三角形 FDE 60 B 30 BMD FDE B 60 30 30 B DM BD x MH MF DF MD 4 x 在 Rt DMH 中 sin MDH sin60 解得 x 当 BD 时 以 M 为圆心 MH MD 4 x x 3 2 168 3 168 3 以 MF 为半径的圆与 BC 相切 3 过点 M 作 MH BC 于 H 过点 A 作 AK BC 于 K AB AC BK BC 8 4 B 30 AK BK tan B 4 S 1 2 1 2 3 3 4 3 3 ABC BC AK 8 由 2 得 MD BD x MH MD sin MDH 1 2 1 2 4 3 3 16 3 3 x S BDM x x DEF 是等边三角形且 DE 4 BC 8 EC BC BD 3 2 1 2 3 2 2 3 4 x DE 8 x 4 4 x BMD CNE S BDM S CEN S 2 BD CE 2 2 4 x x CEN y S ABC S CEN S BDM 2 3 4 4 x 2 16 33 34 x 2 3 4 4 x 用心 爱心 专心6 0 x 4 当 x 2 时 y 有最大值 最大值 2 32 3 2 3 23 xx 2 38 3 2 23 x 为 8 3 3 点评 此题考查了相似三角形的判定与性质 等腰三角形的性质 等边三角形的性质 二次函数的性质以及三角函数等知识 此题综合性较强 注意数形结合思想与方程思想的 应用 2012 重庆 12 4 分 已知 ABC DEF ABC 的周长为 3 DEF 的周长为 1 则 ABC 与 DEF 的面积之比为 解析 相似三角形的周长比等于相似比 相似三角形的面积比等于相似比的平方 故可求 出答案 答案 9 1 点评 本题考查相似三角形的基本性质 2012 浙江省衢州 15 4 分 如图 ABCD中 E是CD的延长线上一点 BE与AD交于 点F CD 2DE 若 DEF的面积为a 则 ABCD中的面积为 用a的代数式表示 解析 根据四边形ABCD是平行四边形 利用已知得出 DEF CEB DEF ABF 进 而利用相似三角形的性质分别得出 CEB ABF的面积为 4a 9a 然后推出四边形BCDF 的面积为 8a即可 答案 12a 点评 此题主要考查相似三角形的判定 性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌 握 解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理 2012 山东省荷泽市 16 1 6 1 如图 DAB CAE 请你再补充一个条件 使得 ABC ADE 并说明理由 解析 从已知条件中可得出一组角对应相等 要判定两个三角形相似 可以增加另外一 组对应相等或者是这两角的两边对应成比 答案 DBAEDC 或 2 分 理由 两角对应相等 两三角形相似 用心 爱心 专心7 6 分 点评 判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用 在选择方法 一定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加 2012 山东泰安 17 3 分 如图 将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠 使点 B 与 CD 的中点重合 若 AB 2 BC 3 则 FC与 DG 的面积之比为 B B A 9 4 B 3 2 C 4 3 D 16 9 解析 设 CF x 则 BF 3 x 由折叠得F BF 3 x 在 Rt FC中 由由勾股定理得 B B CF2 C 2 F2 x2 12 3 x 2 解得 x 由已知可证 Rt FC Rt DG AR 所以 S B B 4 3 B B FC 与 S DG的面积为 1 2 B B 4 3 16 9 答案 D 点评 本题综合考查了折叠的性质 勾股定理 相似三角形的性质 相似三角形的面积 比等于相似比的平方 2012 年四川省德阳市 第 11 题 3 分 如图 点 D 是 ABC 的边 AB 的延长线上一点 点 F 是边 BC 上的一个动点 不与点 B 重合 以 BD BF 为邻边作平行四边形 BDEF 又 AP BE 点 P E 在直线 AB 的同侧 如果 那么 PBC 的面积与 ABC 面积之 ABBD 4 1 比为 A B 4 1 5 3 C D 5 1 4 3 解析 连接 FP 延长 AP 交 BC 的延长线于 H 过点 A P 分别作 AMBC PNBC 垂足 M N 四边形 BDEF 是平行四边形 又APBE E F P 共线 即EFADA 四边形 APEB 是平行四边形 EP AB 又 PFABAABBD 4 1 EF DB AB PF PF AB ABH PFH 1 4 1 3 3 4 3 4 PNPF AMAB 3 4 PBC ABC SPN SAM P G F E D C B A 用心 爱心 专心8 答案 D 点评 此题应用了平行四边形 相似三角形和三角形面积的相关知识 能够合理作出辅 助线是解决本题的关键 2012 山东省荷泽市 18 10 如图 在边长为 1 的小正方形组成的网格中 ABC 和 DEF 的顶点都在格点上 P1 P2 P3 P4 P5是 DEF 边上的 5 个格点 请按要求完成下列 各题 1 试证明三角形 ABC 为直角三角形 2 判断 ABC 和 DEF 是否相似 并说明理由 3 画一个三角形 它的三个顶点为中的 3 个格点并且与 ABC 相似 要求 用尺规作 图 保留痕迹 不写作法与证明 解析 在网格中借助勾股定理求 ABC 三边的长 然后利用勾股定理的逆定理来判断 ABC 的形状 答案 解 1 根据勾股定理 得 BC 5 2 5AB 5AC 显然有 222 ABACBC 根据勾股定理的逆定理得 ABC 为直角三角形 1 ABC和 DEF相似 根据勾股定理 得 BC 52 5AB 5AC 4 2DE 2 2DF 2 10EF 5 2 2 ABACBC DEDFEF ABC DEF 3 如图 P2P4 P5 点评 在网格中计算线段的长 勾股定理是首先的计算方法 在网格中证明三角形相似 常用的方法是两边对应成比且夹角相等或者三边对应成比例 A C B F E D P1 P2 P3 P4 P5 用心 爱心 专心9 2012 安徽 22 12 分 如图 1 在 ABC 中 D E F 分别为三边的中点 G 点在边 AB 上 BDG 与四边形 ACDG 的周长相等 设 BC a AC b AB c 1 求线段 BG 的长 解 2 求证 DG 平分 EDF 证 3 连接 CG 如图 2 若 BDG 与 DFG 相似 求证 BG CG 证 解析 已知三角形三边中点连线 利用三角形中位线性质计算证明 1 已知 ABC 的边 长 由三角形中位线性质知 根据 BDG 与四边形 ACDG 周长相等 可cDEbDF 2 1 2 1 得 2 由 1 的结论 利用等腰三角形性质和平行线性质可证 3 利用 2 cb BG 两个三角形相似 对应角相等 从而等角对等边 BD DG CD 即可证明 解 1 D C F 分别是 ABC 三边中点 DE AB DF AC 2 1 2 1 又 BDG 与四边形 ACDG 周长相等 即 BD DG BG AC CD DG AG BG AC AG BG AB AG BG 2 ACAB 2 cb 2 证明 BG FG BG BF 2 cb 2 cb 22 bc FG DF FDG FGD 又 DE AB EDG FGD FDG EDG DG 平分 EDF 3 在 DFG 中 FDG FGD DFG 是等腰三角形 BDG 与 DFG 相似 BDG 是等腰三角形 B BGD BD DG 则 CD BD DG B CG 三点共圆 BGC 90 BG CG 点评 这是一道几何综合题 在计算证明时 根据题中已知条件 结合图形性质来完成 后 面的问题可以结合前面问题来做 用心 爱心 专心10 2012 山东泰安 28 10 分 如图 E 是矩形 ABCE 的边 BC 上一点 EF AE EF 分别交 AC CD 于点 M F BG AC 垂足为 G BG 交 AE 于点 H 1 求证 ABE ECF 2 找出与 ABH 相似的三角形 并证明 3 若 E 是 BC 中点 BC 2AB AB 2 求 EM 的长 解析 1 由四边形 ABCD 是矩形 可得 ABE ECF 90 又由 EF AE 利用同角的 余角相等 可得 BAE CEF 然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似 即可证得 ABE ECF 2 由 BG AC 易证得 ABH ECM 又由 1 中 BAH CEM 即可证 得 ABH ECM 3 首先作 MR BC 垂足为 R 由 AB BC MR RC 2 AEB 45 即 可求得 MR 的长 又由 EM 即可求得答案 sin45 MR 答案 1 证明 四边形 ABCD 是矩形 ABE ECF 90 AE EF AEB FEC 90 AEB BEA 90 BAE CEF ABE ECF 2 ABH ECM 证明 BG AC ABG BAG 90 ABH ECM 由 1 知 BAH CEM ABH ECM 3 解 作 MR BC 垂足为 R AB BE EC 2 AB BC MR RC 2 AEB 45 MER 45 CR 2MR MR ER RC EM sin45 MR 点评 考查了矩形的性质 直角三角形的性质 相似三角形的判定与性质以及三角函数 等知识 解题时注意数形结合思想的应用 注意掌握 有两组角对应相等的两个三角形相 似 定理的应用 2012 贵州铜仁 8 4 分如图 六边形 ABCDEF 六边形 GHIJKL 相似比为 2 1 则下列 结论正确的是 A E 2 K B BC 2HI 用心 爱心 专心11 C 六边形 ABCDEF 的周长 六边形 GHIJKL 的周长 D S 六边形 ABCDEF 2S 六边形 GHIJK 解析 A 六边形 ABCDEF 六边形 GHIJKL E K 故本选项错误 B 六边形 ABCDEF 六边形 GHIJKL 相似比为 2 1 BC 2HI 故本选项 正确 C 六边形 ABCDEF 六边形 GHIJKL 相似比为 2 1 六边形 ABCDEF 的周 长 六边形 GHIJKL 的周长 2 故本选项错误 D 六边形 ABCDEF 六边形 GHIJKL 相似比为 2 1 S六边形 ABCDEF 4S六边形 GHIJKL 故本 选项错误 解答 B 点评 本题考查相似图形的性质 两个图形相似 对应角相等 边长的比和周长的比都等 于相似比 面积比等于相似比的平方 解答此题应注意相似图形边长的比 周长的比 面积 比与相似比之间的关系 2012 陕西 5 3 分 如图 在是两条中线 则 BEADABC 中 ABCEDC SS A 1 2 B 2 3 C 1 3 D 1 4 解析 由题意可知 为的中位线 则 CED CABEDABC 故选 D ABCEDC SS 4 1 2 1 22 AB ED 答案 D 点评 本题主要考查了三角形的中线的定义 中位线的性质 相似三角形的性质等 难度 中等 2012 湖北咸宁 6 3 分 如图 正方形OABC与正方形ODEF是位似图形 O为位似中心 相似比为 1 点A的坐标为 1 0 则E点的坐标为 2 第 6 题 y xAO CB D E F A 0 B C D 2 2 2 2 3 2 3 22 解析 由已知得 E点的坐标就是点A坐标的倍 2 答案 C 点评 本题着重考查了位似图形的坐标特点 注意本题是同向位似 2012山东日照 8 3分 在菱形ABCD中 E是BC边上的点 连接AE交BD于点F 若EC 2BE 8 题图 用心 爱心 专心12 则的值是 FD BF A B C D F E A B C D 2 1 3 1 4 1 5 1 解析 如图 由菱形ABCD得 AD BE 所以 BEF ADF 又由EC 2BE 得 AD BC 3BE 故 FD BF AD BE 3 1 解答 选 B 点评 本题主要考查了棱形的性质 相似三角形的判定与性质 正确画出图形是解题 的关键 2012 湖南省张家界市 10 题 3 分 已知ABC 与DEF 相似且面积比为 4 25 则ABC 与DEF 的相似比为 分析 相似三角形相似比等于面积比的算术平方根 解答 ABC 与DEF 的相似比为 25 4 5 2 点评 相似三角形面积比等于相似比的平方 2012 山东省滨州 18 4 分 如图 锐角三角形 ABC 的边 AB AC 上的高线 CE 和 BF 相交 于点 D 请写出图中的两对相似三角形 用相似符号连接 解析 由于 BDE CDF BED CFD 90 可得 BDE CDF 由于 A A AFB AEC 90 可得 ABF ACE 解 1 在 BDE 和 CDF 中 BDE CDF BED CFD 90 BDE CDF 2 在 ABF 和 ACE 中 A A AFB AEC 90 ABF ACE 答案 BDE CDF ABF ACE 点评 本题考查相似三角形的判定方法 三角形相似的判定方法有 AA AAS ASA SAS 等 2012 贵州黔西南州 17 3 分 如图 5 在梯形 ABCD 中 AD BC 对角线 AC BD 相交于 点 O 若 AD 1 BC 3 AOD 的面积为 3 则 BOC 的面积为 用心 爱心 专心13 解析 由题意知 AD BC 所以 OAD OCB ODA OBC 所以 OAD OCB 又 AD 1 BC 3 所以 OAD 与 OCB 的相似比为 1 3 面积之比为 1 9 而 AOD 的面积为 3 所以 BOC 的面积为 27 答案 27 点评 理解相似三角形的相似比与周长比 面积比之间的关系 是解决本题的关键 2012 贵州遵义 7 3 分 如图 在 ABC 中 EF BC S四边形 BCFE 8 则 S ABC A 9 B 10C 12D 13 解析 求出的值 推出 AEF ABC 得出 把 S四边形 BCFE 8 代入求出即可 解 EF BC AEF ABC 9S AEF S ABC S四边形 BCFE 8 9 S ABC 8 S ABC 解得 S ABC 9 故选 A 答案 A 点评 本题考查了相似三角形的性质和判定的应用 注意 相似三角形的面积比等于相似比的 平方 题型较好 但是一道比较容易出错的题目 2012 湖北省恩施市 题号 20 分值 8 如图 8 用纸折出黄金分割点 裁一张正方形纸 片 ABCD 先折出 BC 的中点 E 再折出线段 AE 然后通过折叠使 EB 落在线段 EA 上 折出 点 B 的新位置 B1 因而 EB1 EB 类似的 在 AB 上折出点 B11使 AB11 AB1 这是 B11就是 AB 的黄金分割点 请你证明这个结论 用心 爱心 专心14 解析 设 BE 1 可知 BC AB 2 AE 由 EB1 EB 得 AB11 AB1 1 根据黄金分割意 55 义 AB11 AB 1 2 问题得证 5 答案 证明 设 BE 1 则 BC AB 2 AE EB1 EB AB11 AB1 22 BEAB 5 1 AB11 AB 1 2 B11是 AB 的黄金分割点 55 点评本题既考查学生阅读理解能力 又考查考查黄金分割点的意义 难度中等 数学新 课程标准非常重视培养学生的动手操作能力 提倡让学生在操作中感受和体验数学知识的 形成和发展 把握折叠过程中的等边是解答此类问题的关键 勾股定理是计算折叠问题中线段长度的 重要工具 2012 南京市 15 2 如图 在平行四边形 ABCD 中 AD 10 厘米 CD 6 厘米 E 为 AD 上 一点 且 BE BC CE CD 则 DE 厘米 D C B A E 解析 BCE 与 CDE 均为等腰三角形 且两个底角 DEC BCE BCE CDE CD BC DE CE DE 3 6 厘米 6 10 DE 6 答案 3 6 点评 在图形中 利用相似 得出比例式 可以求出线段的长 2012湖北黄冈 25 14 如图 已知抛物线的方程C1 y x 2 x m m 0 与x 轴相 1 m 交于点B C 与y轴相交于点E 且点B在点C的左侧 1 若抛物线C1过点M 2 2 求实数m的值 2 在 1 的条件下 求 BCE 的面积 3 在 1 的条件下 在抛物线的对称轴上找一点H 使BH EH 最小 并求出点H 的坐 用心 爱心 专心15 标 4 在第四象限内 抛物线C1上是否存在点F 使得以点B C F 为顶点的三角与 BCE相似 若存在 求m的值 若不存在 请说明理由 解析 1 把 M 2 2 代入 y x 2 x m 即可求出 m 2 求出 B C E 三点坐标 1 m 即可求出 S BCE 3 利用 两点之间 线段最短 和轴对称的性质可探索解题思路 4 分两种 情况来探讨解题过程 最后利用相似三角形的性质和方程思想来解决问题 答案 解 1 依题意把 M 2 2 代入 y x 2 x m 得 2 2 2 2 m 解得 1 m 1 m m 4 2 由 y 0 得 x 2 x 4 0 得 x1 2 x2 4 B 2 0 C 4 0 1 4 由 x 0 得 y 2 E 0 2 S BCE BCOE 6 2 6 1 2 1 2 3 当 m 4 时 C1的对称轴为 x 2 4 1 点 B C 关于直线 x 1 对称 1 2 连 EC 交对称轴于点 H 则 H 点使得 BH EH 最小 设直线 EC 的解析式为 y kx b 把 E 0 2 C 4 0 代入得 y x 2 把 x 1 代入得 H 1 1 2 3 2 4 分两种情况 当 BEC BCF 时 则 EBC CBF 45 BEBC BCBF 即 作 FT x 轴于点 T 可设 F x x 2 BCBE BF 2 x 0 则 x 2 x 2 x m x 2 0 x 2m F 2m 2m 1 m 2 BF BE BC m 2 22 22222 21mmm 2 2 解得 m 又 m 0 m 2 22 2 2 21mm 22 2 22 2 当 BEC FCB 时 则 EBC CFB BTF COE BCEC BFBC 2TFOE BTOCm 可设 F x x 2 x 0 x 2 x 2 x m 2 m 2 m 1 m 用心 爱心 专心16 x 2 0 x m 2 F m 2 EC BC m 2 BF 24m m 2 4m 2 2 2 44 22 m m m 整理得 0 16 显然不成立 2 22 2 2 44 2422 m mmm m 综上 在第四象限内 抛物线上存在点 F 使得以点 B C F 为顶点的三角与 BCE 相似 m 22 2 点评 本题综合考查了二次函数性质 轴对称性质 相似三角形性质等知识 但解题的 关键要充分运用方程思想和分类思想 同时解题过程中大量的数学计算和代数式 变形也是不小的考验 难度较大 2012 河南 22 10 分 类比 转化 从特殊到一般等思想方法 在数学学习和研究中经 常用到 如下是一个案例 请补充完整 原题 如图 1 在 ABCD 中 点 E 是 BC 边上的中点 点 F 是线段 AE 上一点 BF 的延 长线交射线 CD 于点 G 若 求 CD CG 的值 3 EF AF 1 尝试探究 在图 1 中 过点 E 作EHAB 交 BG 于点 H 则 AB 和 EH 的数量关系是 CG 和 EH 的数量关系是 CD CG 的值是 2 类比延伸 如图 2 在原题的条件下 若则 CD CG 的值是 用含m的代数 0 mm EF AF 式表示 试写出解答过程 3 拓展迁移 如图 3 梯形 ABCD 中 DC AB 点 E 是 BC 延长线上一点 AE 和 BD 相交于点 F 若 0 0 ABBC ab ab CDBE 则 AF EF 的值是 用含 a b的代数式表 示 用心 爱心 专心17 解析 1 如图 1 利用EHAB 得 EHF ABF 对应边成比例得 AB 3EH 然后利用 中位线定理得 CG 2EH 又 CD AB 得出 CD 与 CG 的关系 2 与 1 方法道理都相同 3 此问是 1 2 类比 拓展延伸 根据前面问题研究方法 要利用所给条件 0 0 ABBC ab ab CDBE 所以添加如图 3 过点 E 作 EH AB 交 BD 的延长线于点 H 则有 两式相比就可得出 EH CD BE BC EH AB EF AF ab EF AF 1 3 3 2 2 ABEH CGEH 2 2 m 作 EH AB 交 BG 于点 H 则 EHF ABF ABAF m ABmEH EHEF AB CD CDmEH EH AB CD BEH BCG 2 CGBC EHBE CG 2EH 22 CDmEHm CGEH 3 ab 点评 这是一道几何综合题 利用平行线截三角形相似 对应线段成比例 关键是研 究问题的方法 类比 转化 从特殊到一般等思想方的渗透 这类题的一层一层推进 但 方法总是类似的 原理是一样的 2012 湖北武汉 24 10 分 已知 ABC 中 AB 2 AC 4 BC 655 1 如图 1 点 M 为 AB 的中点 在线段 AC 上取点 N 使 AMN 与 ABC 相似 求线段 MN 的 长 2 如图 2 是由 100 个边长为 1 的小正方形组成的 10 10 正方形网格 设顶点在这些小 正方形顶点的三角形为格点三角形 请你在所给的网格中画出格点 A1B1C1 使得 A1B1C1与 ABC 全等 画出一个即可 不需证明 试直接写出在所给的网格中与 ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数 并画出其中 的一个 不需证明 用心 爱心 专心18 解析 1 当 AMN ABC 时 易证 MN 为中位线 MN 3 BC 2 1 当 AMN ACB 时 有 根据 AM AC BC 的值 可求出 MN BC MN AC AM 2 从整数边 BC 出发 选定 BC 然后分别过 B C 作边 2 4长即可 55 关键在于怎样在格点中找到面积最大的相似三角形 可考虑在格点中先画出最长的 三角形最长边 AC 的对应边 正方形对角线 从而找到最大三角形 解 1 如图 当 AMN ACB 时 有 BC MN AC AM M 为 AB 中点 AB 2 AM 55 BC 6 AC 4 MN 5 2 3 当 AMN ABC 时 有 ANM C BA MA BC NM 2 1 MN 3BC 2 1 MN 的长为或 3 2 3 2 1 如图 3 答案不唯一 用心 爱心 专心19 2 8 个 如图 4 答案不唯一 点评 本题既考察了相似三角形的性质 也考察了图形的变换作图 在于学生需分两种 情况讨论 学生容易忽略 2 问难度在于怎样找到相似三角形中面积最大的以及 找出所有这样的三角形的个数 解题时关键在于找到网格中的最长线段 让它与三角 形最长边对应 题目难度较大 2012 山东日照 21 9 分 如图 在正方形ABCD中 E是BC上的一点 连结AE 作 BF AE 垂足为H 交CD于F 作CG AE 交BF于G 1 求证CG BH 2 FC2 BF GF 3 2 2 AB FC GB GF B A C D H E F G 解析 1 可证 ABH BCG 2 证 CFG BFC可得 3 先证 BCG BFC得 BC2 BF BG 结合 AB BC可得 证明 1 BF AE CG AE CG BF CG BF 在正方形ABCD中 ABH CBG 90o CBG BCG 90o BAH ABH 90o BAH CBG ABH BCG AB BC ABH BCG 用心 爱心 专心20 CG BH 2 BFC CFG BCF CGF 90 o CFG BFC FC GF BF FC 即 FC2 BF GF 3 由 2 可知 BC2 BG BF AB BC AB2 BG BF 2 2 BC FC BFBG BFFG BG FG 即 2 2 AB FC GB GF 点评 本题考查了正方形的性质 全等三角形和相似三角形的判定与性质 解题的关 键是找到全等 或相似 三角形 并找到三角形全等 或相似 的条件 2012 黔东南州 21 如图 O 是 ABC 的外接圆 圆心 O 在 AB 上 过点 B 作 O 的 切线交 AC 的延长线于点 D 1 求证 ABC BDC 2 若 AC 8 BC 6 求 BDC 的面积 解析 第 1 小题要证三角形相似 由题意只需证两角 相等即可 第 2 小题要利用相似三角形的对应边成比例求出CD 的长 这样就可以求出 BDC 的面积 解 1 证明 的直径 是圆OAB 90 ACB 的切线是圆OBD 90 ABD 用心 爱心 专心21 9090 CBDABCABCA CBDA 又 90 DCBACB ABC BDC 2 ABC BDC CD BC BC AC 2 9 6 8 CDBCAC 2 27 2 9 6 2 1 2 1 CDBCS BDC 点评 本题以基本图形 三角形与圆相结合为背景 综合考察了相似三角形的判定与性质 勾股定理 直角三角形的面积计算等知识 是一道比较简单的题目 能让学生发挥 自己的思维水平 难度较小 2012 四川宜宾 24 12 分 如图 在 ABC 中 已知 AB AC 5 BC 6 且 ABC DEF 将 DEF 与 ABC 重合在一起 ABC 不动 DEF 运动 并满足 点 E 在边 BC 上沿 B 到 C 的方向运动 且 DE 始终经过点 A EF 与 AC 交于 M 点 1 求证 ABE ECM 2 探究 在 DEF 运动过程中 重叠部分能否构成等腰三角形 若能 求出 BE 的长 若不能 请说明理由 3 当线段 AM 最短时 求重叠部分的面积 解析 1 由 AB AC 根据等边对等角 可得 B C 又由 ABC DEF 与三角形外角 的性质 易证得 CEM BAE 则可证得 ABE ECM 2 首先由 AEF B C 且 AME C 可得 AE AM 然后分别从 AE EM 与 AM EM 去 分析 注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案 3 首先设 BE x 由 ABE ECM 根据相似三角形的对应边成比例 易得 CM x x 3 2 继而求得 AM 的值 利用二次函数的性质 即可求得线段 AM 的最小值 继而求得重叠部分的面积 答案 1 证明 AB AC B C 又 AEF CEM AEC B BAE 又 ABC DEF AEF B CEM BAE 用心 爱心 专心22 ABE ECM 2 解 AEF B C 且 AME C AME AEF AE AM 当 AE EM 时 则 ABE ECM CE AB 5 BE BC EC 1 当 AM EM 时 MAE MEA MAE BAE MEA CEM 即 CAB CAE 又 C C CAE CBA CB AC AC CE CE BE 6 6 25 2 CB AC 6 25 6 11 3 解 设 BE x 又 ABE ECM CM AB CE BE CM 5 6x x CM xx 5 6 5 1 2 2 3 5 1 x 5 9 AM 5 CM 5 当 x 3 时 AM 最短为 2 3 5 1 x 5 9 2 3 5 1 x 5 16 5 16 又当 BE x 3 点 C 为 BC 的中点 BC 2 1 AE BC AE 4 22 BEAB 此时 EF AC EM 5 12 22 CMCE S AEM 点评 此题考查了相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质以及二次函数的 最值问题 此题难度较大 注意数形结合思想 分类讨论思想与函数思想的应用是解此题 的关键 本小题也可以用几何法求解 2012 年广西玉林市 10 3 如图 正方形 ABCD 的两边 BC AB 分别在平面直角坐标系 内的 x 轴 y 轴的正半轴上 正方形 A B C D 与正方形 ABCD 是以 AC 的中点 O 为中 心的位似图形 已知 AC 若点 A 的坐标为 1 2 则正方形 A B C D 与正23 方形 ABCD 的相似比是 用心 爱心 专心23 分析 延长 A B 交 BC 于点 E 根据大正方形的对角线长求得其边长 然后求得小正方形 的边长后即可求两个正方形的相似比 解 在正方形 ABCD 中 AC BC AB 3 23 延长 A B 交 BC 于点 E 点 A 的坐标为 1 2 OE 1 EC A E 3 1 2 正方形 A B C D 的边长为 1 正方形 A B C D 与正方形 ABCD 的相似比是 故选 B 3 1 点评 本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识 解题的关键是根据已知条件求得 两个正方形的边长 2012 年吉林省 第 25 题 10 分 如图 在 ABC 中 A 90 AB 2cm AC 4cm 动 点 P 从点 A 出发 沿 AB 方向以 1cm s 的速度向点 B 运动 动点 Q 从点 B 同时出发 沿 BA 方向以 1cm s 的速度向点 A 运动 当点 P 到达点 B 时 P Q 两点同时停止运动 以 AP 为 一边向上作正方形 APDE 过点 Q 作 QF BC 交 AC 于点 F 设点 P 的运动时间为 t s 正方形 APDE 和梯形 BCFQ 重合部分的面积为 Scm 1 当 t s 时 点 P 与点 Q 重合 2 当 t s 时 点 D 在 QF 上 3 当点 P 在 Q B 两点之间 不包括Q B 两点 时 求 S 与 t 之间的函数关系式 解析 1 由于 P Q 的运动速度相同都是 1cm s 所以 P Q 重合的点是 AB 的中点 2 由 QF BC 可证 AQF ABC 得出比例式 问题得证 2 要分两种情况 当时 重合部分的图形是直角梯形 确定上下底和 4 1t 3 高 需证 FEG FAQ 和 AQF ABC 当时 重合部分的图形是六边形 它的面积 4 t2 3 AQFDHGAPDE SSSS 正方形 答案 1 P Q 的运动速度都是 1cm s 用心 爱心 专心24 P Q 在 AB 的中点重合 当 t 1s 时 P Q 重合 2 QF AC AFAQ ACAB 即 2 42 AFt AF 4 2t 又 DP AF DPPQ AFAQ 即 22 422 tt tt 4 5 t 3 当 1 t 时 如图 1 图 2 4 3 FQ BC AFAQ ACAB 即 AF 4 2t EF 4 3t 又 DE AB FEG FAQ 得 EGFE AQFA 43 2t2 2 EGt t EG 3 2 2 t GD t 3 2 2 t 5 2 2 t QP AP AQ t 2 t 2t 2 S 2 9 t2 4 t 用心 爱心 专心25 AB C D E F PQ 图1 G A C D E F BPQ 图 2 当时 由 AFQ ABC 得 AF 4 2x 4 t2 3 AFAQ ACAB 2 1 42 2 2 2 AQF Stt t 同理由 CEH CBA 可得 EH HD BPG BAC 得 PG 4 1 1t 2 3 2 2 t 2t DG t 4 2t 3t 4 S AQFDHGAPDE SSSS 正方形 22 113 2 34 2 222 tttt 2 9 t108 4 t AB C D E F PQ 图 3 H G 点评 此题主要考查了相似三角形的性质以及正方形的性质 利用分类讨论思想进行分 析即可得出答案是解题关键 用心 爱心 专心26 2012 陕西 18 6 分 如图 在中 的平分线分别与 交ABCDAABC BFACAD 于点 EF 1 求证 ABAF 2 当时 求的值 35ABBC AE AC 解析 1 由等角对等边来进行证明 2 由 先求出 再求AEFCEB AE EC AE AC 答案 解 1 如图 在中 ABCDA ADBC 23 是的平分线 BFABC 12 13 ABAF 2 23AEFCEB AEFCEB 3 5 AEAF ECBC 3 8 AE AC 点评 本题综合考查了平行四边形的性质 平行线的性质 等角对等边 相似三角形的 性质等 难度中等 2012 陕西 25 12 分 如图 正三角形的边长为 ABC3 3 1 如图 正方形的顶点在边上 顶点在边上 在正三角EFP