2012年高考数学解析分类汇编（7）---三角函数 理

用心 爱心 专心1 20122012 年高考真题理科数学解析汇编 三角函数年高考真题理科数学解析汇编 三角函数 一 选择题 1 2012 年高考 天津理 在ABC 中 内角A B C所对的边分别是 a b c 已知 8 5bc 2CB 则cosC A 7 25 B 7 25 C 7 25 D 24 25 2 2012 年高考 天津理 设R 则 0 是 cos f xx xR 为 偶函数 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 3 2012 年高考 新课标理 已知0 函数 sin 4 f xx 在 2 上单调 递减 则 的取值范围是 A 1 5 2 4 B 1 3 2 4 C 1 0 2 D 0 2 4 2012 年高考 浙江理 把函数y cos2x 1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来 的 2 倍 纵坐标不变 然后向左平移 1 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 得到的图 像是 5 2012 年高考 重庆理 设tan tan 是方程 2 320 xx 的两个根 则 tan 的值为 A 3 B 1 C 1D 3 6 2012 年高考 上海理 在ABC 中 若CBA 222 sinsinsin 则ABC 的形 状是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定 用心 爱心 专心2 7 2012 年高考 陕西理 在ABC 中 角 A B C所对边长分别为 a b c 若 222 2abc 则cosC的最小值为 A 3 2 B 2 2 C 1 2 D 1 2 8 2012 年高考 山东理 若 4 2 3 7 sin2 8 则sin A 3 5 B 4 5 C 7 4 D 3 4 9 2012 年高考 辽宁理 已知sincos2 0 则tan A 1B 2 2 C 2 2 D 1 10 2012 年高考 江西理 若 tan 1 tan 4 则 sin2 A 1 5 B 1 4 C 1 3 D 1 2 11 2012 年高考 湖南理 函数 f x sinx cos x 6 的值域为 A 2 2 B 3 3 C 1 1 D 3 2 3 2 12 2012 年高考 大纲理 已知 为第二象限角 3 sincos 3 则cos2 A 5 3 B 5 9 C 5 9 D 5 3 二 填空题 13 2012 年高考 重庆理 设ABC 的内角 A B C的对边分别为 a b c 且 35 cos cos 3 513 ABb 则c 14 2012 年高考 上海春 函数 sin 2 4 f xx 的最小正周期为 用心 爱心 专心3 15 2012 年高考 江苏 设 为锐角 若 4 cos 65 则 12 2sin a的值为 16 2012 年高考 湖南理 函数 f x sin x 的导函数 yfx 的部分图像如图 4 所示 其中 P 为图 像与 y 轴的交点 A C 为图像与 x 轴的两个交点 B 为图像 的最低点 1 若 6 点 P 的坐标为 0 3 3 2 则 2 若在曲线段AABC与 x 轴所围成的区域内随机取一点 则该点在 ABC 内的概率为 17 2012 年高考 湖北理 设 ABC的内角A B C所对的边分别为a b c 若 abc abcab 则角C 18 2012 年高考 福建理 已知ABC 得三边长成公比为2的等比数列 则其最大 角的余弦值为 19 2012 年高考 大纲理 当函数sin3cos 02 yxxx 取得最大值时 x 20 2012 年高考 北京理 在 ABC 中 若2a 7bc 1 cos 4 B 则 b 21 2012 年高考 安徽理 设ABC 的内角 A B C所对的边为 a b c 则下列命题 正确的是 若 2 abc 则 3 C 若2abc 则 3 C 若 333 abc 则 2 C 若 2ab cab 则 2 C 若 22222 2ab ca b 则 3 C 三 解答题 22 2012 年高考 天津理 已知函数 2 sin 2 sin 2 2cos1 33 f xxxx xR 求函数 f x的最小正周期 x y O A P C B 图图 4 用心 爱心 专心4 求函数 f x在区间 4 4 上的最大值和最小值 23 2012 年高考 浙江理 在 ABC中 内角A B C的对边分别为a b c 已知 cosA 2 3 sinB 5cosC 求 tanC的值 若a 2 求 ABC的面积 24 2012 年高考 重庆理 本小题满分 13 分 小问 8 分 小问 5 分 设 4cos sincos 2 6 f xxxx 其中 0 求函数 yf x 的值域 若 f x在区间 3 22 上为增函数 求 的最大值 25 2012 年高考 四川理 函数 2 6cos3cos3 0 2 x f xx 在一个周 期内的图象如图所示 A为图象的最高点 B C为图象与x轴的交点 且ABC 为正 三角形 求 的值及函数 f x的值域 若 0 8 3 5 f x 且 0 10 2 33 x 求 0 1 f x 的值 用心 爱心 专心5 26 2012 年高考 上海理 海事救援船对一艘失事船进行定位 以失事船的当前位置 为原点 以正北方向为y轴 正方向建立平面直角坐标系 以 1 海里为单位长度 则救援船恰在失事船的正南方向 12 海 里A处 如图 现假设 失事船的移动路径可视为抛物线 2 49 12 xy 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援 救 援船出发t小时后 失事船所在位置的横坐标为 t 7 1 当5 0 t时 写出失事船所在位置P的纵坐标 若此时 两船恰好会合 求救援船速度的大小和方向 2 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船 27 2012 年高考 陕西理 函数 sin 1 6 f xAx 0 0A 的最大值 为 3 其图像相邻两条对称轴之间的距离为 2 1 求函数 f x的解析式 2 设 0 2 则 2 2 f 求 的值 28 2012 年高考 山东理 已知向量 sin 1 3 cos cos2 0 3 A mxnAxx A 函数 f xm n 的最大值为 6 求A 将函数 yf x 的图象向左平移 12 个单位 再将所得图象上各点的横坐标缩短为 原来的 1 2 倍 纵坐标不变 得到函数 yg x 的图象 求 g x在 5 0 24 上的值域 29 2012 年高考 辽宁理 在ABC 中 角A B C的对边分别为a b c 角A B C 成等差数列 求cosB的值 边a b c成等比数列 求sinsinAC的值 xO y P A 用心 爱心 专心6 30 2012 年高考 江西理 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 sin sin 444 AbCcBa 1 求证 2 BC 2 若a 2 求 ABC 的面积 31 2012 年高考 江苏 在ABC 中 已知3ABACBA BC AA 1 求证 tan3tanBA 2 若 5 cos 5 C 求 A 的值 32 2012 年高考 湖北理 已知向量 cossin sin xxx a cossin 2 3cos xxx b 设函数 f x a b x R的图象关于直线 x 对称 其中 为常数 且 1 1 2 求函数 f x的最小正周期 若 yf x 的图象经过点 0 4 求函数 f x在区间 3 0 5 上的取值范围 33 2012 年高考 广东理 三角函数 已知函数 2cos 6 f xx 其中0 x R 的最小正周期为10 求 的值 设 0 2 56 5 35 f 516 5 617 f 求 cos 的值 用心 爱心 专心7 34 2012 年高考 福建理 某同学在一次研究性学习中发现 以下五个式子的值都等 于同一个常数 1 2 sin 13cos17sin13 cos17 2 2 sin 15cos15sin15 cos15 3 2 sin 18cos12sin18 cos12 4 2 sin 18 cos48sin 18 cos48 5 2 sin 25 cos55sin 25 cos55 试从上述五个式子中选择一个 求出这个常数 根据 的计算结果 将该同学的发现推广三角恒等式 并证明你的结论 35 2012 年高考 大纲理 注意 在试卷上作答无效 ABC 的内角A B C的对边分别为a b c 已知 cos cos1 2ACBac 求C 36 2012 年高考 北京理 已知函数 sincos sin2 sin xxx f x x 1 求 f x的定义域及最小正周期 2 求 f x的单调递增区间 37 2012 年高考 安徽理 设函数 2 2 cos 2 sin 24 f xxx I 求函数 f x的最小正周期 II 设函数 g x对任意xR 有 2 g xg x 且当 0 2 x 时 用心 爱心 专心8 1 2 g xf x 求函数 g x在 0 上的解析式 用心 爱心 专心9 2012 年高考真题理科数学解析汇编 三角函数参考答案 一 选择题 1 答案 A 命题意图 本试题主要考查了正弦定理 三角函数中的二倍角公式 考查学生分析 转化与计算等能力 解析 8 5bc 由正弦定理得8sin 5sinBC 又 2CB 8sin 5sin2BB 所以8sin 10sincosBBB 易知sin0B 4 cos 5 B 2 cos cos2 2cos1CBB 7 25 2 答案 A 命题意图 本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的 判定 解析 0 cos f xx xR 为偶函数 反之不成立 0 是 cos f xx xR 为偶函数 的充分而不必要条件 3 解析 选A 59 2 444 x 不合题意 排除 D 35 1 444 x 合题意 排除 B C 另 2 2 3 424422 x 得 315 2424224 4 答案 A 解析 把函数y cos2x 1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 得 y1 cosx 1 向左平移 1 个单位长度得 y2 cos x 1 1 再向下平移 1 个单位长度得 y3 cos x 1 令x 0 得 y3 0 x 1 2 得 y3 0 观察即得答案 5 答案 A 解析 tantan3 tantan3 tantan2tan 3 1tantan1 2 考点定位 此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值 6 解析 由条件结合正弦定理 得 222 cba 再由余弦定理 得0cos 2 222 ab cba C 所以C是钝角 选 C 7 解析 由余弦定理得 22222 1 cos 242 abcab C abab 当且仅当ab 时取 用心 爱心 专心10 2 选 C 8 解析 因为 2 4 所以 2 2 02cos 所以 8 1 2sin12cos 2 又 8 1 sin212cos 2 所以 16 9 sin 2 4 3 sin 选 D 9 答案 A 解析一 sincos2 2sin 2 sin 1 44 3 0 tan1 4 故选 A 解析二 2 sincos2 sincos 2 sin21 33 0 2 0 2 2 tan1 24 故选 A 点评 本题主要考查三角函数中的和差公式 倍角公式 三角函数的性质以及转化 思想和运算求解能力 难度适中 10 D 解析 本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想 因为 22 1sincossincos1 tan4 1 tancossinsincos sin2 2 所以 1 sin2 2 点评 本题需求解正弦值 显然必须切化弦 因此需利用公式 sin tan cos 转化 另 外 22 sincos 在转化过程中常与 1 互相代换 从而达到化简的目的 关于正弦 余弦的齐次分式 常将正弦 余弦转化为正切 即弦化切 达到求解正切值的目的 体现 考纲中要求理解三角函数的基本关系式 二倍角公式 来年需要注意二倍角公式的正用 逆用等 11 答案 B 解析 f x sinx cos x 6 31 sincossin3sin 226 xxxx sin 1 1 6 x f x 值域为 3 3 点评 利用三角恒等变换把 f x化成sin Ax 的形式 利用 sin 1 1x 求得 f x的值域 12 答案 A 用心 爱心 专心11 命题意图 本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用 首 先利用平方法得到二倍角的正弦值 然后然后利用二倍角的余弦公式 将所求的转化为 单角的正弦值和余弦值的问题 解析 3 sincos 3 两边平方可得 12 1 sin2sin2 33 是第二象限角 因此sin0 cos0 所以 2 215 cossin cossin 1 33 22 5 cos2cossin cossin cossin 3 法二 单位圆中函数 线 估算 因为 是第二象限的角 又 11 sincos 2 3 所以 正弦线 要比 余弦线 长一半多点 如图 故2cos 的 余弦线 应选A 二 填空题 13 答案 14 5 c 解析 由 35412 cos cossin sin 513513 ABAB 由正弦定理 sinsin ab AB 得 4 3 sin13 5 12 sin5 13 bA a B 由余弦定理 2222 14 2cos2590560 5 acbbcAccc 考点定位 利用同角三角函数间的基本关系求出sin B的值是本题的突破点 然后利 用正弦定理建立已知和未知之间的关系 同时要求学生牢记特殊角的三角函数值 14 15 答案 17 2 50 考点 同角三角函数 倍角三角函数 和角三角函数 解析 为锐角 即0 2 2 66263 0 sinA 2 5 1cos 3 A 又5cosC sinB sin A C sinAcosC sinCcosA 5 3 cosC 2 3 sinC 整理得 tanC 5 由图辅助三角形知 sinC 5 6 又由正弦定理知 sinsin ac AC 故3c 1 对角A运用余弦定理 cosA 222 2 23 bca bc 2 解 1 2 得 3b or b 3 3 舍去 ABC的面积为 S 5 2 答案 5 5 2 24 考点定位 本题以三角函数的化简求值为主线 三角函数的性质为考查目的的一道综 合题 考查学生分析问题解决问题的能力 由正弦函数的单调性结合条件可列 3 24 24 从而解得 的取值范围 即可得 的最在值 解 1 31 4cossinsincos2 22 f xxxxx 222 2 3sincos2sincossinxxxxx 3sin21x 因1sin21x 所以函数 yf x 的值域为13 13 2 因sinyx 在每个闭区间 2 2 22 kkkZ 上为增函数 故 3sin21f xx 0 在每个闭区间 44 kk kZ 上为增函 数 用心 爱心 专心15 依题意知 3 22 44 kk 对某个kZ 成立 此时必有0k 于 是 3 24 24 解得 1 6 故 的最大值为 1 6 25 解析 由已知可得 2 6cos3cos3 0 2 x f xx 3cos x 3 sin 32sin3 xx 又由于正三角形 ABC 的高为 23 则 BC 4 所以 函数 4 8 2 824 得 即的周期Txf 所以 函数 32 32 的值域为xf 因为 由 5 38 0 xf 有 5 38 34 sin32 0 0 x xf 5 4 34 sin 0 x 即 由 x0 2 2 34 x 3 2 3 10 0 得 所以 5 3 5 4 1 34 cos 20 x 即 故 1 0 xf 344 sin32 0 x 4 34 sin 32 0 x 2 2 5 3 2 2 5 4 32 4 sin 34 cos 4 cos 34 sin32 00 xx 5 67 点评 本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系 两角和的正 余 弦公 式 二倍角公式等基础知识 考查运算能力 考查树形结合 转化等数学思想 用心 爱心 专心16 26 解 1 5 0 t时 P的横坐标xP 2 7 7 t 代入抛物线方程 2 49 12 xy 中 得P的纵坐标yP 3 由 AP 2 949 得救援船速度的大小为949海里 时 由 tan OAP 30 7 123 2 7 得 OAP arctan 30 7 故救援船速度的方向 为北偏东 arctan 30 7 弧度 2 设救援船的时速为v海里 经过t小时追上失事船 此时位置为 12 7 2 tt 由 222 1212 7 ttvt 整理得337 144 2 1 22 t tv 因为2 2 1 2 t t 当且仅当t 1 时等号成立 所以 22 253372144 v 即25 v 因此 救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船 27 解析 1 函数 f x的最大值为 3 13 A 即2A 函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 2 最小正周期为T 2 故函数 f x的解析式为sin 2 1 6 yx 2 2sin 12 26 f 即 1 sin 62 0 2 663 66 故 3 28 解析 6 2sin2cos 2 2sin 2 3 2cos 2 sincos3 xAx A xAx A xxAnmxf 则6 A 函数 y f x 的图象像左平移 12 个单位得到函数 6 12 2sin 6 xy的图象 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 1 2 倍 纵坐标不变 得到函数 3 4sin 6 xxg 用心 爱心 专心17 当 24 5 0 x时 1 2 1 3 4sin 6 7 3 3 4 xx 6 3 xg 故函数 g x在 5 0 24 上的值域为 6 3 另解 由 3 4sin 6 xxg可得 3 4cos 24 xxg 令0 x g 则 23 4Zkkx 而 24 5 0 x 则 24 x 于是3 6 7 sin6 24 5 6 2 sin6 24 33 3 sin6 0 ggg 故6 3 xg 即函数 g x在 5 0 24 上的值域为 6 3 29 答案及解析 1 由已知 1 2 cos 32 B A C A B CBB 2 解法一 2 bac 由正弦定理得 2 3 sinsin sin 4 ACB 解法二 2 bac 22222 1 cos 222 ac bac ac B acac 由此得 22 ac ac ac得 a c 所以 3 A B C 3 sinsin 4 AC 点评 本题主要考查三角形的正弦定理 余弦定理 三角形内角和定理及等差 等 比数列的定义 考查转化思想和运算求解能力 属于容易题 第二小题既可以利用正弦定 理把边的关系转化为角的关系 也可以利用余弦定理得到边之间的关系 再来求最后的 结果 30 解析 解 1 证明 由 sin sin 44 bCcBa 及正弦定理得 sinsin sinsin sin 44 BCCBA 即 22222 sin sinsin sin sinsin 22222 BCCCBB 整理得 sincoscossin1BCBC 所以sin 1BC 又 3 0 4 B C 所以 2 BC 2 由 1 及 3 4 BC 可得 5 88 BC 又 2 4 Aa 所以 sin5sin 2sin 2sin sin8sin8 aBaC bc AA 所以三角形 ABC 的面积 用心 爱心 专心18 1521 sin2sinsin2sincossin 28888242 bcA 点评 本题考查解三角形 三角形的面积 三角恒等变换 三角和差公式以及正弦定 理的应用 高考中 三角解答题一般有两种题型 一 解三角形 主要是运用正余弦定理 来求解边长 角度 周长 面积等 二 三角函数的图像与性质 主要是运用和角公式 倍 角公式 辅助角公式进行三角恒等变换 求解三角函数的最小正周期 单调区间 最值 值 域 等 来年需要注意第二种题型的考查 31 答案 解 1 3ABACBA BC AA cos 3cosAB ACABA BCBAAAA 即 cos 3cosACABCBAA 由正弦定理 得 sinsin ACBC BA sincos 3sincosBAABAA 又 0 ABB sinsin 3 coscos BA BA A即tan3tanBA 2 5 cos0 5 C C tan 1A 4 A 考点 平面微量的数量积 三角函数的基本关系式 两角和的正切公式 解三角形 解析 1 先将3ABACBA BC AA表示成数量积 再根据正弦定理和同角三角函数 关系式证明 2 由 5 cos 5 C 可求tanC 由三角形三角关系 得到 tanAB 从而根据两 角和的正切公式和 1 的结论即可求得 A 的值 32 考点分析 本题考察三角恒等变化 三角函数的图像与性质 解析 因为 22 sincos2 3sincosf xxxxx cos23sin2xx 2sin 2 6 x 由直线 x 是 yf x 图象的一条对称轴 可得 sin 2 1 6 所以 2 62 kk Z 即 1 23 k k Z 又 1 1 2 k Z 所以1k 故 5 6 所以 f x的最小正周期是 6 5 用心 爱心 专心19 由 yf x 的图象过点 0 4 得 0 4 f 即 5 2sin 2sin2 6264 即2 故 5 2sin 2 36 f xx 由 3 0 5 x 有 5 5 6366 x 所以 15 sin 1 236 x 得 5 122sin 222 36 x 故函数 f x在 3 0 5 上的取值范围为 12 22 33 解析 2 10T 所以 1 5 5156 52cos52cos2sin 353625 f 所以 3 sin 5 51516 52cos52cos 656617 f 所以 8 cos 17 因 为 0 2 所以 2 4 cos1sin 5 2 15 sin1cos 17 所以 4831513 coscoscossinsin 51751785 34 考点定位 本题主要考查同角函数关系 两角和与差的三角函数公式 二倍角公式 考查运算能力 特殊与一般思想 化归与转化思想 解 1 选择 2 式计算如下 2 13 sin 15cos15sin15 cos151sin3