【教学设计】《3

3 1 3 1 基本不等式基本不等式 本节主要目标是使学生了解基本不等式的代数 几何背景 本节一开始 首先从代数 角度导出基本不等式 然后利用几何背景素材加以阐释 给出了基本不等式的几何解释 并进一步探究交流了基本不等式的其他解释 整小节的中心在于学生的探究 淡化不等式 的证明 加强基本不等式与几何 日常生活的联系 特别是注重了基本不等式的几何背景 由于前面已经学习了不等式的概念 性质 不等式的解法 根据学生的认知规律及特点 大部分学生都积累了一定的成功经验 积累了一定的学习兴趣及信心 因此教学时教师可 放手大胆地让学生进行合作探究 知识与能力目标 通过本节探究 使学生学会推导并掌握基本不等式 理解这个基本不等式的几何意义 掌握定理中的不等号 取等号的条件是 当且仅当这两个数相等 过程与方法目标 通过对基本不等式的不同解释 渗透 转化 的数学思想 提高学生换个角度看问题 的思维意识 引发学生学习和使用数学知识的兴趣 发展创新精神 培养实事求是 理论 教材分析教材分析 教学目标教学目标 与实际相结合的科学态度和科学道德 情感态度价值观目标 通过本节学习 使学生体会数学来源于生活 帮助学生养成良好的学习习惯 形成积 极探索的态度 逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯 教学重点 用数形结合的思想理解基本不等式 并从不同角度探索不等式的多种解释 ab ba 2 教学难点 发现并对基本不等式给出几何解释 电子课件调整 相应的教具带好 熟悉学生名单 电子白板要调试好 一 导入部分一 导入部分 1 勾股定理的背景及推导 赵爽弦图 引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理 了解勾股定理的背景 2 1 问题探究 探究赵爽弦图中的不等关系 如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标 比较 4 个直角三角形的面积和与大正 方形的面积 你会得到怎样的不等式 引导学生从面积关系得到不等式 当直角三角形变为等腰直角三角形 22 2abab 教学重难点教学重难点 课前准备课前准备 教学过程教学过程 即正方形 EFGH 缩为一个点时 有 22 2 abab 2 总结结论 一般的 如 22 2 a bRababab 那么当且仅当时 成立 3 推理证明 作差法 二 研探新知 建构概念二 研探新知 建构概念 重要不等式 如果a b R 那么 当且仅当a b时取 号 22 2abab 1 思考 如果用去替换中的a b能得到什么结论 a b要满足什 ab 22 2abab 么条件 结论 0 0 ba 当且仅当时取等号 ab ba 2 ab 2 推理证明 作差法 说明 1 我们称为a b的算术平均数 称为a b的几何平均数 因而 此定 2 ab ab 理又可叙述为 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 2 a 2 b 2 2ab和成立的条件是不同的 前者只要求a b都是实数 而后ab ba 2 者要求a b都是正数 3 当且仅当 的含义 当时 等号成立 其含义是 如果那么ba ba 仅当时 等号成立 其含义是 如果那么ab ba 2 ba ab ba 2 ba 综合起来 其含义是 等价于ba ab ba 2 4 数列意义 两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项 3 1 探究 课本 P88 如图所示 AB 是圆的直径 点 C 是 AB 上一点 AC a BC b 过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE 连接 AD BD 引导学生发现 表示圆的半经 表示半弦长 CD 得到不等 2 ab ab 关系 0 0 2 ab ab ab 几何意义 半弦长不大于半径长 几何意义 半弦长不大于半径长 我们称为正数 a b 的几何平均数 称为正数 a b 的算术平均数 ab 2 ab 代数意义 两个正数的几何平均数小于等于算术平均数代数意义 两个正数的几何平均数小于等于算术平均数 三 质疑答辩 发展思维三 质疑答辩 发展思维 例 1 设为正数 证明不等式 ba ba ab 11 2 证法 1 由知 故 0 0 baab ab ab ba ab ba 2 22 11 2 ba ab 11 2 证法 2 由知0 0 ba ba ab ab ba ba ba 11 21 2 11 11 2 11 证法 3 几何解析 数形结合 是圆的直径 过作ABObCBaAC C 交圆上半圆于点 过点作ABCD ODC 交于点ODCE ODE 在中 由射影定理知OCDRt ODDEDC 2 即 ba ba ab OD DC DE 11 2 2 2 由于得 当且仅当时 等号成立DEDC ba ab 11 2 ba 结论 1 22 11 2 22 baba ab ba 2 2 2 ab ab 22 3 2 ab ab 例 2 已知x y都是正数 求证 1 2 2 yx xy 223333 8xy xyxyx y 活动活动 教师点拨学生注意 在运用定理时 条件a b均为正数 ab ba 2 证明 证明 1 x y都是正数 即0 0 xy yx 22 yxy x xyx y 2 yx xy 2 x y都是正数 O E D c B A 2233 0000 xyxy 223333 202020 xyxyxyxyxyx y 由不等式的性质 得 22333333 2228xyxyxyxyxyx yx y 即 223333 8xy xyxyx y 点评 点评 不等式成立的条件 往往是学生容易忽视的 变式训练变式训练 1 已知都是正实数 求证 abc 8ab bc caab 证明 证明 000abc 2ab 0ab 20bcbc 20caca 222abbccaabbccaabc 8 即 8ab bc caabc 四 课堂小结 四 课堂小结