初中数学_巧添辅助线__解证几何题

巧添辅助线巧添辅助线 解证几何题解证几何题 引出问题引出问题 在几何证明或计算问题中 经常需要添加必要的辅助线 它的目的可以归纳为以下三点 一是通过添加辅助线 使图形的性质由隐蔽得以显现 从而利用有关性质去解题 二是通过添加辅助线 使分散的条件得以集中 从而利用它们的相互关系解题 三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以 解决 值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关 下面我们分别举例加以说明 例题解析例题解析 一 倍角问题倍角问题 例 1 如图 1 在 ABC 中 AB AC BD AC 于 D 求证 DBC BAC 1 2 分析 DBC BAC 所在的两个三角形有公共角 C 可利用 三角形内角和来沟通 DBC BAC 和 C 的关系 证法一 在 ABC 中 AB AC ABC C 180 BAC 90 BAC 1 2 1 2 BD AC 于 D BDC 90 DBC 90 C 90 90 BAC BAC 1 2 1 2 即 DBC BAC 1 2 分析二 DBC BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中 由所证的结论 DBC BAC 中 含有角的倍 半关系 因此 可以做 A 的平分线 利用等腰三角形三线合一的性质 把 A 放在 直角三角形中求解 也可以把 DBC 沿 BD 翻折构造 2 DBC 求解 证法二 如图 2 作 AE BC 于 E 则 EAC C 90 AB AC EAG BAC 1 2 BD AC 于 D DBC C 90 EAC DBC 同角的余角相等 即 DBC BAC 1 2 证法三 如图 3 在 AD 上取一点 E 使 DE CD 连接 BE BD AC BD 是线段 CE 的垂直平分线 BC BE BEC C EBC 2 DBC 180 2 C AB AC ABC C BAC 180 2 C EBC BAC DBC BAC 1 2 说明 例 1 也可以取 BC 中点为 E 连接 DE 利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等 腰三角形的性质求解 同学们不妨试一试 C A B D E C A B D E C A B D 例 2 如图 4 在 ABC 中 A 2 B 求证 BC2 AC2 AC AB 分析 由 BC2 AC2 AC AB AC AC AB 启发我们构建两个相似 的三角形 且含有边 BC AC AC AB 又由已知 A 2 B 知 构建以 AB 为腰的等腰三角形 证明 延长 CA 到 D 使 AD AB 则 D DBA BAC 是 ABD 的一个外角 BAC DBA D 2 D BAC 2 ABC D ABC 又 C C ABC BDC ACBC BCCD BC2 AC CD AD AB BC2 AC AC AB AC2 AC AB 二 二 中点问题中点问题 例 3 已知 如图 ABC 中 AB AC 在 AB 上取一点 D 在 AC 的延长线上取一点 E 连接 DE 交 BC 于点 F 若 F 是 DE 的中 点 求证 BD CE 分析 由于 BD CE 的形成与 D E 两点有关 但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形 所以 关系不明显 由于条件 F 是 DE 的中点 如何利用这个 中点条件 把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键 由已知 AB AC 联系到当过 D 点或 E 点作平行线 就可以形成新 的图形关系 构成等腰三角形 也就是相当于先把 BD 或 CE 移动一下位置 从而使问题得解 证明 证法一 过点 D 作 DG AC 交 BC 于点 G 如上图 DGB ACB DGF FCE AB AC B ACB B DGB BD DG F 是 DE 的中点 DF EF 在 DFG 和 DEFC 中 DFG EFC DGF FCE DF EF DFG EFC DG CE BD CE A B A C B A E G D F C A B 证法二 如图 在 AC 上取一点 H 使 CH CE 连接 DH F 是 DE 的中点 CF 是 EDH 的中位线 DH BC ADH B AHD BCA AB AC B BCA ADH AHD AD AH AB AD AC AH BD HC BD CE 说明 本题信息特征是 线段中点 也可以过 E 作 EM BC 交 AB 延长线于点 G 仿照证法二求解 例 4 如图 已知 AB CD AE 平分 BAD 且 E 是 BC 的中点 求证 AD AB CD 证法一 延长 AE 交 DC 延长线于 F AB CD BAE F B ECF E 是 BC 的中点 BE CE 在 ABE 和 CEF 中 BAE F B ECF BE CE ABE CEF AB CF AE 平分 ABD BAE DAE DAE F AD DF DF DC CF CF AB AD AB DC 证法二 取 AD 中点 F 连接 EF AB CD E 是 BC 的中点 EF 是梯形 ABCD 的中位线 EF AB EF AB CD 1 2 BAE AEF AE 平分 BAD BAE FAE AEF FAE AF EF AF DF EF AF FD AD 1 2 AB CD AD 1 2 1 2 AD AB CD A BC D H E F AB C E F D AB C E F 三 角平分线问题三 角平分线问题 例 5 如图 1 OP 是 MON 的平分线 请你利用图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形 请你参考这个全等三角形的方法 解答下列问题 1 如图 2 在 ABC 中 ACB 是直角 B 60 AD CE 分别是 BAC BCA 的平分线 AD CE 相交于点 F 请你判断并写出 EF 与 FD 之间的数量关系 2 如图 3 在 ABC 中 如果 ACB 不是直角 而 1 中的其他条件不变 请问 你在 1 中所得的结论是否仍然成立 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 分析 本题属于学习性题型 这类题型的特点是描述一种方法 要求学生按照指定的方法解题 指 定方法是角平分问题的 翻折法 得全等形 解 1 EF FD 2 答 1 结论 EF FD 仍然成立 理由 如图 3 在 AC 上截取 AG AE 连接 FG 在 AEF 和 AGF 中 AE AG EAF FAG AF AF AEF AGF EF GF EFA GFA 由 B 60 AD CE 分别是 BAC BCA 的平分线 N O F O P O A O M O E O O 1 D C B A E B A F B A B A C B A A 2 F E D C B A E D C B A D C B A B A C B A A 3 可得 FAG FCA 60 EFA GFA DFC 60 GFC 60 在 CFG 和 CFD 中 GFC DFC CF CF DCE ACE CFG CFD FG FD 又因为 EF GF EF FD 说明 学习性问题是新课程下的新型题 意在考查学生现场学习能力和自学能力 抛开本题要求从角平分线的角度想 本题也可以利用角平分线的性质 角平分线上的点到角的两边 的距离相等 达到求解的目的 解法二 2 答 1 中的结论 EF FD 仍然成立 理由 作 FG AB 于 G FH AC 于 H FM BC 于 M EAD DAC FG FH ACE BCE FH FG B 60 DAC ACE 60 EFD AFC 180 60 120 在四边形 BEFD 中 BEF BDF 180 BDF FDC 180 FDC BEF 在 EFG 和 DFM 中 0 FDC BEF EGF DMF 90 FG FM EFG DFM EF DF 四 线段的和差问题 例 6 如图 在 ABC 中 AB AC 点 P 是边 BC 上一点 PD AB 于 D PE AC 于 E CM AB 于 M 试探究 线段 PD PE CM 的数量关系 并说明理由 分析 判断三条线断的关系 一般是指两较短线段的和与较长线段的大小关系 通过测量猜想 PD PE CM 分析 在 CM 上截取 MQ PD 得 PQMD 再证明 CQ PE 答 PD PE CM 证法一 在 CM 上截取 MQ PD 连接 PQ CM AB 于 M PD AB 于 D CMB PDB 90 CM DP 四边形 PQMD 为平行四边形 PQ AB H D C B A G D C B A M C B A F E D C B A E D C B A D C B A B A C B A A 3 Q A M A E A D A P A C A B A A CQP CMB 90 QPC B AB AC B ECP QPC ECP PE AC 于 E PEC 90 在 PQC 和 PEC 中 PQC PEC QPC ECP PC PC PQC PEC QC PE MQ PD MQ QC PD PE PD PE CM 分析 2 延长 DF 到 N 使 DN CM 连接 CN 得平行四边形 DNCM 再证明 PN PE 证法 2 延长 DF 到 N 使 DN CM 连接 CN 同证法一得平行四边形 DNCM 及 PNC PEC PN PE PD PE CM 分析 3 本题中含有 AB AC 及三条垂线段 PD DE CM 且 所以可以用面积法求解 PABPACABC SSS AAA 证法三 连接 AP PD AB 于 D PE AC 于 E CM AB 于 M PQC PEC QPC ECP PC PC 1 2 1 2 1 2 ABP ACP ABC SABPD SACPE SAB CM A A A AB AC 且 PABPACABC SSS AAA 111 222 0 ABPDABPEAB CM AB PDPECM 说明 当题目中含有两条以上垂线段时 可以考虑面积法求解 N Q A M A E A D A P A C A B A A M A E A D A P A C A B A A F E D C B A 五 垂线段问题 例 7 在平行四边形 ABCD 中 P 是对角线 BD 上一点 且垂足分别是 E F PEAB PFBC 求证 ABPF BCPE 分析 将比例式转化为等积式 联想到 ABPF BCPE ABPEBCPF ABPEBCPF 11 22 即 PAB 与 PBC 的面积相等 从而用面积法达到证明的目的 证明 连接 AC 与 BD 交于点 O 连接 PA PC 在平行四边形 ABCD 中 AO CO AOBBOC SS AA 同理 AOPCOP AOBAOPBOCCOP PABPBC SS SSSS SS AA AAAA AA PEAB PFBC 11 22 11 22 PABPBC SABPE SBCPF ABPEBCPF ABPEBCPF ABPF BCPE AA 例 8 求证 三角形三条边上的中线相交于一点 分析 这是一个文字叙述的命题 要证明文字命题 需要根 据题意画出图形 再根据题意 结合图形写出已知 求证 已知 ABC 中 AF BD CE 是其中线 求证 AF BD CG 相交于一点 分析 要证三线交于一点 只要证明第三条线经过另两条线 的交点即可 证明 设 BD CE 相交于点 G 连接 AG 并延长交 BC 于点 F F E C B A E C B A D C B A C B A B A A P E C B A ABDCBDAGDCGD AGBCGB CGBAGC AGBAGC ADDCSSSS SS SS SS AAAA AA AA AA 作 BM AF 于 M CN AF 于 N 则 11 22 11 22 AGBAGC SAGBM SAG CN AGBMAG CN BMCN AA 在 BMF 和 CNF 中 BF MCF N BMFCNF BMCN BMF CNF BFCF AF 是 BC 边上的中线 又 AF 时 BC 边上的中线 AF 与 AF 重合 即 AF 经过点 D AF BD CE 三线相交于点 G 因此三角形三边上的中线相交于一点 六 梯形问题 例 9 以线段 a 16 b 13 为梯形的两底 以 c 10 为一腰 则另一腰长 d 的取值范围是 分析 如图 梯形 ABCD 中 上底 b 13 下底 a 16 腰 AD c 10 过 B 作 BE AD 得到平行四边 形 ABED 从而得 AD BE 10 AB DE 13 所以 EC DC DE 16 13 3 所以另一腰 d 的取值范围是 10 3 d 10 3 答案 7 d 13 例 10 如图 已知梯形 ABCD 中 AB DC 高 AE 12 BD 15 AC 20 求梯形 ABCD 的面积 分析 已知条件中给出两条对角线的长 但对角线位置交错 条件一时用不上 另外 求梯形面 积只要求出上 下底的和即可 不一定求出上 下底的长 所以考虑平移腰 解 解法一 如图 过 A 作 AF BD 交 CD 延长线于 F D B A C B A E B A B A A ABFC FDAB AFBD FCABDC AEFCAEFAEC ABDF 15 90 在直角三角形 AEF 中 AE 12 AF 15 2222 15129EFAFAE 在直角三角形 AEC 中 AE 12 AF 15 2222 201216 91625 11 25 12150 22 ABCD ECACAE ABDCFCEFEC SABDCAE 解法二 如图 过 B 作 BF DC 于 F BFC 90 AE DC 于 E AEBF ABDC ABFE BFACABEF AED AEC 90 AEC BFC 90 12 在直角三角形 ABC 中 22 1220 16 AEAC ECACAE 在直角三角形 BDF 中 22 1215 9 91625 11 25 12150 22 ABCD BFBD DFBDBF ABDCDFCE SABDCAE F E B A D B A C B A E B A B A A F E B A D B A C B A E B A B A A 例 11 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC B C 90 M N 分别是 AD BC 的中点 试说明 1 2 MNBCAD 分析 1 B C 90 考虑延长两腰 使它们相交 于一点 构成直角三角形 解法 1 延长 BA CD 交于点 G 连接 GM GN 9090BCBGC AMMDGMAM GAMAGM BNCNGNBN BBGN ADBCGAMBAGMBGN A B A G 共线 G M N 共线 11 22 1 2 GMAD GNBC MNGNGMBCAD 分析 2 考虑 M N 分别为 AD BC 中点 可以过 M 分别作 AB DC 的平行线 梯形 ABCD 内部构成 直角三角形 把梯形转化为平行四边形和三角形 解法 2 作 ME AB 交 BC 于 E 作 MF DC 交 BC 于 F AD BC 四边形 ABEM DCFM 都是平行四边形 BE AM FC DM AMMDBEFC BNCNENFN AB MFDCMEFBMFEC BCMEFMFE ME 9090 AA EMF 90 又 EN FN 11 22 MNEFBC AD A B C D M N G A B C D M N E F 模式归纳模式归纳 通过上面各例的分析 解证 发现添加适当的辅助线能使解题思路畅通 解答过程简捷 但辅助 线的添加灵活多变 好像比较难以把握 其实添什么样的辅助线 怎么添辅助线 与已知条件的特征 和所求问题的形成关系密切 下面分类归纳几种常用的辅助线的添加方法 一 倍角问题 研究 2 或 问题通称为倍角问题 倍角问题分两种情形 1 2 1 与 在两个三角形中 常作 的平分线 得 1 然后证明 1 或把 1 2 翻折 得 2 2 然后证明 2 如图一 2 与 在同一个三角形中 这样的三角形常称为倍角三角形 倍角三角形问题常用构造等 腰三角形的方法添加辅助线 如图二 二 中点问题 已知条件中含有线段的中点信息称为中点问题 这类问题常用三种方法添加辅助线 1 延长中线至倍 或者倍长中线 如图一 若图形中没有明显的三角形的中线 也可以构 造中线后 再倍长中线 如图二 2 构造中位线 如图三 3 构造直角三角形斜边上的中线 如图四 图一 图二 图三 图四 2 1 图一 图二 三 角平分线问题 已知条件中含有角平分线信息称为角平分线问题 常用的辅助线有两种 1 以角平分线所在直线为对称轴 构造全等三角形 如图一 二所示 2 由角平分线上的点向角的两边做垂线 构造全等三角形 如图二所示 图一 图二 图三 四 线段的和差问题 已知条件或所求问题中含有 a b c 或 a c b 称为线段的和差问题 常用的辅助线有两种 1 短延长 若 AB a 则延长 AB 到 M 使 BM b 然后证明 AM c 2 长截短 若 AB c 则在线段 AB 上截取 AM a 然后证明 MB b 五 垂线段问题 已知条件或所求问题中含有两条或者两条以上的垂线段时 而所研究的问题关系又不明显时 可以借助于可求图形的面积转化 常用的面积关系有 1 同 等 底的两个三角形的面积与其高的关系 2 同 等 高的两个三角形的面积与其底的关系 六 梯形问题 梯形可以看作是一个组合图形 组成它的基本图形是三角形 平行四边形 矩形等 因此 可 以通过添加适当的辅助线 把梯形问题转化为三角形 平行四边形 矩形等问题求解 其基本思想 为 梯形问题 三角形或者平行四边形问题 在转化 分割 拼接时常用的辅助线 1 平移一腰 即从梯形一个顶点作另一个腰的平行线 把梯形分成一个平行四边形和一个 三角形 如图一 研究有关腰的问题时常用平移一腰 2 过顶点作高 即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线 把梯形转化成一个矩形和两 个直角三角形 如图二 研究有关底或高的问题时常过顶点作高 3 平移一条对角线 即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线 把梯形转化成平行四边 形和三角形 如图三 研究有关对角线问题时常用平移对角线 这种添加辅助线的方法 可以将梯形两条对角线及两底的和集中在一个三角形内 使梯形的问题转化为三角形的 问题 此三角形的面积等于梯形的面积 4 延长两腰交于一点 把梯形问题转化为两个相似的三角形问题 图四 5 过底的中点作两腰的平行线 当已知中有底的中点时 常过中点做两腰的平行线 把梯 形转化成两个平行四边形和一个三角形 图五 6 过一腰中点作直线与两底相交 当已知中有一腰的中点时 常连接梯形一顶点和此中点 转化 分割 拼接 并延长交另一底于一点 将梯形问题转化为一对全等三角形和一个含有梯形两底之和的 三角形 此三角形的面积等于梯形的面积 图六 7 作梯形中位线 当已知中有一腰的中点时 常取另一腰的中点 作梯形的中位线 图七 利用梯形中位线性质解题 图一 图二 图三 图四 图五 图六 图七 拓展延伸 1 已知 如图 ABC 中 D 是 BC 的中点 F 是 CA 延长线上一点 连接 FD 交 AB 于 E 若 AE AF 求证 BE CF 证法一 延长 ED 到 G 使 DG DE 连接 CG 在 BDE 和 CDG 中 BDCD BDECDG