2012高中数学 2.4等比数列学案 新人教A版必修5

用心 爱心 专心1 2 42 4 等比数列学案等比数列学案 一 学习目标 1 明确等比数列的定义 2 掌握等比数列的通项公式 会解决知道 n a 1 a q n 中的三个 求另一个的问题 教学重点 1 等比数列概念的理解与掌握 2 等比数列的通项公式的推导及应用 教学难点 等差数列 等比 的理解 把握和应用 二 学习过程 1 自主学习 合作探究 1 等差数列的证明 n n aAB 0B n n Sabq 0q 1q 0ab 证明 1n n a a 为常数 对于 0 n a 适用 证明 2 12nnn aaa 2 当引入公比q辅助解题或q作为参数时 注意考虑是否需要对 1q 和 1q 进行分类讨 论 3 证明数列是等比数列 不是等比数列 讨论数列是否等比数列 求解含参等比数列中的 参数这四类问题同源 4 注意巧用等比数列的主要性质 特别是 mnpq a aa a m npq 和 2 mnp a aa 2mnp 5 三数成等比数列 一般可设为 a q a aq 四数成等比数列 一般可设为 3 a q a q aq 3 aq 五数成等比数列 一般可设为 2 a q a q a aq 2 aq 2 精讲点拨 三 典型例题 例 1 数列 n a 为各项均为正数的等比数列 它的前n项和为 80 且前n项中数值最大的 项为 54 它的前2n项和为 6560 求首项 1 a 和公比q 解 若 1q 则应有 2 2 nn SS 与题意不符合 故 1q 依题意有 用心 爱心 专心2 1 2 1 1 80 1 1 1 6560 2 1 n n aq q aq q 2 1 得 2 1 82 1 n n q q 即 2 82810 nn qq 得 81 n q 或 1 n q 舍去 81 n q 由 81 n q 知 1q 数列 n a 的前n项中 n a 最大 得 54 n a 将 81 n q 代入 1 得 1 1aq 3 由 1 1 54 n n aa q 得 1 54 n a qq 即 1 8154aq 4 联立 3 4 解方程组得 1 2 3 a q 例 2 1 已知 n a 为等比数列 3 2a 24 20 3 aa 求 n a 的通项公式 2 记等比数列 n a 的前n项和为 n S 已知 1 66 n aa 43 128 n a a 126 n S 求n和公比q的值 解 1 设等比数列 n a 的公比为q 0q 24 20 3 aa 则 3 3 20 3 a a q q 即 220 2 3 q q 也即 110 3 q q 解此关于q的一元方程得 1 3 q 或 3q 3 3 n n aa q 3 3 1 22 3 3 n n n a 或 3 2 3n n a 2 在等比数列 n a 中 有 431 128 nn a aa a 又 1 66 n aa 联立解得 1 2 64 n a a 或 1 64 2 n a a 由此知 1q 而 1 126 1 n n aa q S q 从而解得 用心 爱心 专心3 2 6 q n 或 1 2 6 q n 例 3 已知数列 n a 其中 23 nn n a 且数列 1nn aa 为常数 为等比数列 求常数 解 1nn aa 为等比数列 那么 2 1211nnnnnn aaaaaa 将 23 nn n a 代入并整理得 1 2 3 230 6 nn 解之得 2 或 3 例 4 设 n a n b 是公比不相等的两个等比数列 nnn cab 证明数列 n c 不是等 比数列 解 设 n a n b 分别是公比为 p q pq 的两个等比数列 要证明 n c 不是等 比数列 我们只需证 2 21 3 cc c 即可 事实上 2 22222 21111 11 2ca pbqa pab pqb q 2222 1 311111 c caba pbqa p 2222 11 1 b qabpq pq 22 2pqpq 又 1 a 1 0b 2 21 3 cc c 数 列 n c 不是等比数列 3 反思总结 4 当堂检测 1 已知等比数列 n a 中 2 1a 则其前 3 项的和 3 S 的取值范围是 A 1 B 01 C 3 D 13 2 已知 n a 是等比数列 4 1 2 52 aa 则 12231nn a aa aa a A 16 1 4 n B 16 1 2 n C 32 1 4 3 n D 32 1 2 3 n 用心 爱心 专心4 3 若实数a b c成等比数列 则函数 2 yaxbxc 与x轴的交点的个数为 A0 B1 C2 D 无法确定 4 在数列 n a 中 0 n a 且 1nn a a 是公比为q 0q 的等比数列 该数列满足 11223nnnnnn a aaaaa nN 则公比q的取值范围是 A 12 0 2 q B 15 0 2 q C 12 0 2 q D 15 0 2 q 5 设数列 n x 满足 1 loglog1 anan xx 0a 1a nN 且 12100 100 xxx 则 101102200 xxx 6 设 n a 为公比 1q 的等比数列 若 2004 a 和 2005 a 是方程 2 4830 xx 的两根 则 20072006 aa 7 设 n a 是由正数组成的等比数列 公比 2q 且 30 12330 2a a aa 则 36930 a a aa 8 设两个方程 2 10 xax 2 10 xbx 的四个根组成以 2 为公比的等比数列 则 ab 9 设数列 n a 为等比数列 121 12 nnn Tnanaaa 已知 1 1T 2 4T 1 求等比数列 n a 的首项和公比 2 求数列 n T 的通项公式 10 设数列 n a 的前n项和为 n S 已知 21 n nn babS 1 证明 当 2b 时 1 2n n an 是等比数列 2 求 n a 的通项公式 11 已知数列 n a 和 n b 满足 1 a 1 2 4 1 321 3 n nnnn aanban 其 用心 爱心 专心5 中 为实数 n为正整数 1 对任意实数 证明数列 n a 不是等比数列 2 试判断数列 n b 是否为等比数列 并证明你的结论 3 设0 ab n S 为数列 n b 的前n项和 是否存在实数 使得对任意正整数n 都有 n aSb 若存在 求 的取值范围 若不存在 说明理由 当堂检测 1 D 解析 设数列的公比为q 那么 2 312322 1 1 a Saaaaa qq qq 函 数 1 1f qq q 0q 的值域为 13 从而求得 3 S 的取值范围 2 C 解析 等比数列 n a 的公比 5 3 3 2 11 82 a q a 显然数列 1nn a a 也是等比数 列 其首项为 22 2 12 2 8 1 2 a a a q 公比 2 2 11 11 11 24 nnn nnn a aa qq aaa 12231 1 8 1 4 32 1 4 1 3 1 4 n n nn a aa aa a 3 A 解析 a b c成等比数列 2 bac 二次函数 2 yaxbxc 的判别式 22 430bacb 从而函数与x轴无交点 4 11223nnnnnn a aaaaa 2 111nnnnnn a aa aqa aq 而 0 n a 1 0 nn a a 2 1qq 即 2 10qq 解得 1515 22 q 而 0q 故公 比q的取值范围为 15 0 2 q 5 100 100a 解析 1 loglog1 anan xx 即 1 log1 n a n x x 也即 1n n x a x 从而数列 n x 是公比为 用心 爱心 专心6 a的等比数列 100100 10110220012100 100 xxxxxxaa 6 18 解析 2 4830 xx 的两根分别为 1 2和 3 2 1q 从而 2004 1 2 a 2005 3 2 a 2005 2004 3 a q a 22 2006200720042005 2 318aaaaq 7 20 2 解析 15 30 12330130 2a a aaa a 2 130 24a a 5 555 21051020 36930330132130130 422a a aaa aa aa aqa aq 8 27 4 解析 设该等比数列为 1 x 2 x 3 x 4 x 1423 x xx x 232 11 81x qx 1 11 82 2 x 从而 2 1 2 x 3 2x 4 2 2x 1127 2 22 42 22 ab 9 解 1 对于等式 121 12 nnn Tnanaaa 令 1n 得 11 1Ta 令 2n 得 2122 224Taaa 2 2a 2 1 2 a q a 2 1 2n n a 则 221 2 1 2 2 2 22 nn n Tnnn 2 得 231 222 1 2 2 2 22 nn n Tnnn 得 2311 1 2 1 2 22222 2 22 1 2 n n nnnn n i Tnnnn 10 解 1 证明 由题意知 1 2a 且 21 n nn babS 1 11 21 n nn babS 两式相减得 11 21 n nnn b aaba 即 1 2n nn aba 用心 爱心 专心7 当 2b 时 由 知 1 22n nn aa 于是 1 1 2221 2 nnn nn anan 1 22n n an 又 1 1 1 210 n a 所以 1 2n n an 是首项为 1 公比为 2 的等比数列 2 当 2b 时 由 1 知 11 22 nn n an 即 1 1 2n n an 当 2b 时 由 得 11 1 11 222 22 nnn nn aba bb 2 2 n n b ba b 1 2 2 n n b a b 1 1 11 22 22 nn nn ab a bb 2 1 2 n b b b 1 21 1 2222 2 n nn n a b bn b 11 解 1 证明 假设存在一个实数 使 n a 是等比数列 则有 2 213 aa a 即 222 2444 3 4 49490 3999 矛盾 所以 n a 不是等比数列 2 解 11 11 2 131211214 3 nn nnn banan 22 1321 33 n nn anb 又 1 18 b 所以 当 18 时 0 n bnN 这时 n b 不是等比数列 当 18 时 1 18 0b 由上可知 0 n b 1 2 3 n n b nN b 故当 18 时 数列 n b 是以 18 为首项 2 3 为公比的等比数列 3 由 2 知 当 18 时 0 n b 0 n S 不满足题目要求 用心 爱心 专心8 18 故知 1 2 18 3 n n b 可得 32 181 53 n n S 要使 n aSb 对任意正整数n成立 即 32