11-12学年高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差同步练习 新人教A版选修2-3

1 选修选修 2 32 3 2 3 22 3 2 离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 一 选择题 1 下面说法中正确的是 A 离散型随机变量 的均值E 反映了 取值的概率的平均值 B 离散型随机变量 的方差D 反映了 取值的平均水平 C 离散型随机变量 的均值E 反映了 取值的平均水平 D 离散型随机变量 的方差D 反映了 取值的概率的平均值 答案 C 解析 离散型随机变量 的均值E 反映 取值的平均水平 它的方差反映 的 取值的离散程度 故答案选 C 2 已知随机变量X的分布列为 P X k k 1 2 3 则D 3X 5 1 3 A 6 B 9 C 3 D 4 答案 A 解析 E X 1 2 3 2 1 3 D X 1 2 2 2 2 2 3 2 2 1 3 2 3 D 3X 5 9D X 6 3 设X B n p 且E X 12 D X 4 则n与p的值分别为 A 18 B 12 1 3 2 3 C 18 D 12 2 3 1 3 答案 C 解析 由Error 得Error 则p n 18 2 3 4 2010 山东理 6 样本中共有五个个体 其值分别为a 0 1 2 3 若该样本的平均值 为 1 则样本方差为 A B 6 5 6 5 C D 2 2 答案 D 2 解析 1 a 1 a 0 1 2 3 5 故s2 1 1 2 0 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 2 1 5 5 已知随机变量 的数学均值为E 方差为D 随机变量 则 E D D 的值为 A 0 B 1 C 1 D D 答案 C 解析 E 与D 均为常数 不妨设E a b D 则 E D 1 b a b D D D 1 1 b a b 1 b2 6 随机变量X B 100 0 2 那么D 4X 3 的值为 A 64 B 256 C 259 D 320 答案 B 解析 由X B 100 0 2 知随机变量X服从二项分布 且n 100 p 0 2 由公式得 D X np 1 p 100 0 2 0 8 16 因此D 4X 3 42D X 16 16 256 故选 B 7 已知X的分布列如下表 则在下列式子中 E X D X P X 0 1 3 23 27 正确的有 1 3 X 1 01 P 1 2 1 3 1 6 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 答案 C 解析 易求得D X 2 2 2 故只有 正确 故 1 1 3 1 2 0 1 3 1 3 1 1 3 1 6 5 9 选 C 8 甲 乙两台自动机床各生产同种标准产品 1000 件 表示甲车床生产 1000 件产品 中的次品数 表示乙车床生产 1000 件产品中的次品数 经过一段时间的考察 的分 布列分别如表一 表二所示 据此判定 3 表一 0123 P0 700 20 1 表二 0123 P0 60 20 10 1 A 甲比乙质量好 B 乙比甲质量好 C 甲与乙质量相同 D 无法判定 答案 B 解析 由分布列可求甲的次品数期望为E 0 7 乙的次品数期望为E 0 7 进而得D 0 0 7 2 0 7 1 0 7 2 0 2 0 7 2 0 2 3 0 7 2 0 1 1 21 D 0 0 7 2 0 6 1 0 7 2 0 2 2 0 7 2 0 1 3 0 7 2 0 1 1 01 故乙的质量要比甲好 二 填空题 9 某射手击中目标的概率为p 则他射击n次 击中目标次数X的方差为 答案 np 1 p 解析 X B n p D X np 1 p 10 已知总体的各个体的值由小到大依次为 2 3 3 7 a b 12 13 7 18 3 20 且总体 的中位数为 10 5 若要使该总体的方差最小 则a b的取值分别是 答案 10 5 10 5 解析 由题意得 10 5 a b 21 a b 2 10 x 2 3 3 7 21 13 7 18 3 20 12 10 s2 10 2 2 10 3 2 10 3 2 10 7 2 10 a 2 10 b 2 10 12 1 10 2 10 13 7 2 10 18 3 2 10 20 2 82 72 72 32 10 a 2 10 b 2 4 3 72 8 32 102 1 10 10 a 2 10 21 a 2 1 10 2 a 10 5 2 1 10 4 当a 10 5 时 方差s最小 b 10 5 11 随机变量X的分布列如下表 X 1 01 Pabc 其中a b c成等差数列 若E X 则D X 的值是 1 3 答案 5 9 解析 a b c 1 2b a c b a c 1 3 2 3 又 E X a c 1 3 1 3 故a c 1 6 1 2 D X 1 2 0 2 1 2 1 3 1 6 1 3 1 3 1 3 1 2 5 9 12 2009 广东 理 12 已知离散型随机变量X的分布列如下表 若E X 0 D X 1 则a b X 1 012 Pabc 1 12 答案 5 12 1 4 解析 考查离散型随机变量的分布列 期望和方差的计算 由条件及E X x1p1 x2p2 xnpn D X x1 E X 2p1 x2 E X 2p2 xn E X 2pn得 Error Error 三 解答题 13 有三张形状 大小 质地完全一致的卡片 在每张卡片上写上 0 1 2 现从中任 意抽取一张 将其上数字记作x 然后放回 再抽取一张 其上数字记作y 令X x y 求 1 X的概率分布 2 随机变量X的均值与方差 解析 1 P X 0 5 3 3 5 9 P X 1 1 3 3 1 9 5 P X 2 2 3 3 2 9 P X 4 1 3 3 1 9 X的分布列如下表 X0124 P 5 9 1 9 2 9 1 9 2 E X 1 D X 16 9 14 甲 乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量 与 且 的分布列为 123 Pa0 10 6 123 P0 3b0 3 求 1 a b的值 2 计算 的均值与方差 并以此分析甲 乙的技术状况 解析 1 由离散型随机变量的分布列的性质可知a 0 1 0 6 1 a 0 3 同理 0 3 b 0 3 1 b 0 4 2 E 1 0 3 2 0 1 3 0 6 2 3 E 1 0 3 2 0 4 3 0 3 2 D 1 2 3 2 0 3 2 2 3 2 0 1 3 2 3 2 0 6 0 81 D 1 2 2 0 3 2 2 2 0 4 3 2 2 0 3 0 6 由于E E 说明在一次射击中 甲的平均得分比乙高 但D D 说明 甲得分的稳定性不如乙 因此甲 乙两人技术水平都不够全面 各有优势与劣势 点评 比较技术水平 机器性能 产品质量 通常要同时考虑期望与方差这两个特征 数 15 甲 乙两个野生动物保护区有相同的自然环境 且野生动物的种类和数量也大致相 同 而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为 甲保护区 X0123 P0 30 30 20 2 6 乙保护区 X012 P0 10 50 4 试评定这两个保护区的管理水平 解析 甲保护区的违规次数X的均值和方差为E 0 0 3 1 0 3 2 0 2 3 0 2 1 3 D 0 1 3 2 0 3 1 1 3 2 0 3 2 1 3 2 0 2 3 1 3 2 0 2 1 21 乙保护区的违规次数 的均值和方差为 E 0 0 1 1 0 5 2 0 4 1 3 D 0 1 3 2 0 1 1 1 3 2 0 5 2 1 3 2 0 4 0 41 因为E E D D 所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相 同的 但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定 而甲保护区的违规事件次数相对分散和 波动 16 有一批零件共 10 个合格品 2 个不合格品 安装机器时从这批零件中任选 1 个 取 到合格品才能安装 若取出的是不合格品 则不再放回 1 求最多取 2 次零件就能安装的概率 2 求在取得合格品前已经取出的次品数X的分布列 并求出X的均值E X 和方差D X 方差计算结果保留两个有效数字 分析 注意取到不合格品时不再放回 故可考虑用等可能性事件的概率公式求概率 值 解析 1 设安装时所取零件的次数是 则P 1 这是取 1 次零件就 10 12 5 6 取到了合格品 可以安装 P 2 这是第 1 次取到不合格品 第 2 次取到了合格品 2 12 10 11 5 33 最多取 2 次零件就能安装的概率为 5 6 5 33 65 66 2 依题意X的所有可能取值为 0