新湘教版数学教案___九年级下第2章_圆

第第 2 章章 圆圆 2 1 圆的对称性圆的对称性 知识与技能 1 通过观察实验操作 使学生理解圆的定义 2 结合图形理解弧 等弧 弦 等圆 半圆 直径等有关概念 3 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 4 点与圆的位置关系 过程与方法 通过举出生活中常见圆的例子 经历观察画图的过程多角度体会和认识圆 情感态度 结合本课教学特点 向学生进行爱国主义教育和美育渗透 激发学生观察 探 究 发现数学问题的兴趣和欲望 教学重点 圆 等圆 弧 等弧 弦 半圆 直径等有关概念的理解 教学难点 圆 等圆 弧 等弧 弦 半圆 直径等有关概念的区别与联系 一 情境导入 初步认识圆是生活中常见的图形 许多物体都给我们以圆的 形象 1 观察以上图形 体验圆的和谐与美丽 请大家说说生活中还有哪些圆形 2 请同学们在草稿纸上用圆规画圆 体验画圆的过程 想想圆是怎样形成的 教学说明 学生很容易找出生活中关于圆的例子 通过画圆 有利于学生从 直观形象认识上升到抽象理性认识 二 思考探究 获取新知 1 圆的定义 问题如教材 P43图所示 通过用绳子和圆规画圆的过程 你发现了什么 由此你能得到什么结论 教学说明 由于学生通过操作已经得出圆的定义 教师加以规范 有利 于加深印象 如右图 在一个平面内 线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周 另 一个端点 A 所形成的圆形叫做圆 固定的端点 O 叫做圆心 线段 OA 叫做 半径 以点 O 为圆心的圆 记作 O 读作 圆 O 注意 圆指的是圆周 不是圆面 教学说明 使学生能准确地理解并掌握圆的定义 2 点与圆的位置关系 一般地 设 O 的半径为 r 点 P 到圆心 O 的距离为 d 则有 1 点 P 在 O 内 d r 2 点 P 在 O 上 d r 3 点 P 在 O 外 d r 3 与圆有关的概念 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 如 线段 AB AC 直径 经过圆心的弦 如 AB 叫做直径 注 直径是特殊的弦 但弦不一定是直径 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 如图 以 A B 为端点的弧记作 读作 弧 AB A AB 注 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧 每一条弧都 叫做半圆 大于半圆的弧 用三个点表示 如图中的 叫做优弧 A ABC 小于半圆的弧 用两个点表示 如图中的 叫做劣弧 A AC 等圆 能够重合的两个圆叫做等圆 注 半径相等的两个圆是等圆 反过来 同圆或等圆的半径相等 等弧 在等圆或同圆中 能够互相重合的弧叫等弧 注 等弧是全等的 不仅是弧的长度相等 等弧只存在于同圆或等圆中 教学说明 结合图形 使学生准确地掌握与圆有关的概念 为后面的学习打 下基础 4 圆的对称性 1 圆是中心对称图形 圆心是它的对称中心 2 圆是轴对称图形 任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 教学说明 上述两个结论是通过教材 P44探究 1 2 而得出来的 教师应 引导学生仔细体会 必要时可通过画图或折叠圆心纸片演示 思考车轮为什么做成圆形的 如果车轮不是圆的 如椭圆或正方形等 坐 车人会是什么感觉 分析 把车轮做成圆形 车轮上各点到车轮中心 圆心 的距离都等于车轮 的半径 当车轮在平面滚动时 车轮中心与平面的距离保持不变 因此 车辆在平路 上行驶时 坐车的人会感到非常平稳 如果车轮不是圆的 车辆在行驶时 坐车人会感觉到上下颠簸 不舒服 三 运用新知 深化理解 1 在 Rt ABC 中 C 90 AB 3cm BC 2cm 以点 A 为圆心 2cm 长为 半径作圆 则点 C A 在 A 内 B 在 A 上 C 在 A 外 D 可能在 A 上也可能在 A 外 2 1 以点 A 为圆心 可以画 个圆 2 以已知线段 AB 的长为半径 可以画 个圆 3 以 A 为圆心 AB 长为半径 可以画 个圆 3 如图 半圆的直径 AB 第 3 题图第 4 题图 4 如图 图中共有 条弦 教学说明 学生自主完成 加深对新学知识的理解和检测对圆的有关概念 的掌握情况 对学生的疑惑教师及时指导 并进行强化 答案 1 C2 1 无数 2 无数 3 13 4 22 2 四 师生互动 课堂小结 1 师生共同回顾圆的两种定义 弦 直径 弧 半圆 优弧 劣弧 等 弧 等圆等知识点 2 通过这节课的学习 你掌握了哪些新知识 还有哪些疑问 请与同伴交流 教学说明 教师引导学生回顾知识点 让学生大胆发言 进行知识提炼和知 识归纳 对于某些概念性的知识 要结合图形加以区别和理解 1 布置作业 从教材 习题 2 1 中选取 2 完成同步练习册中本课时的练习 本节课是从学生感受生活中圆的应用开始 到通过学生动手画圆 培养学生动 手 动脑习惯 在操作过程中观察圆的特点 加深对所学知识的认识 并运用所学 知识解决实际问题 体验应用知识的成就感 激发他们学习的兴趣 2 2 圆心角 圆周角圆心角 圆周角 2 2 1 圆心角圆心角 知识与技能 1 理解并掌握圆心角的概念 2 掌握圆心角与弧及弦的关系定理 过程与方法 通过对圆心角的概念及定理的探究 从而认识到几何中不同量之间的对等关 系 情感态度 在探究过程中体验获取新知的喜悦 提高探究能力和归纳能力 教学重点 弧 弦 圆心角之间关系的定理及推论和它们的应用 教学难点 探索定理和推论及其应用 一 情境导入 初步认识 探究 1 如图中 时钟的时针与分钟所成的角与时钟的外围所成的圆 有哪些位置关系 教学说明 这里让学生关键指出两点 一是角的顶点在圆心 二是两边与圆 相交 二 思考探究 获取新知 1 圆心角概念 顶点在圆心 角的两边与圆相交的角叫圆心角 如图 AOB 叫做 所对的圆心角 叫做圆心角 AOB 所对的弧 A AB A AB 教学说明 圆心角的定义实际可以简化为 顶点在圆心的角叫圆心角 2 圆心角与弧 弦关系定理 探究 1 请同学们按下列要求作图并回答下列问题 如图所示的 O 中 分别作相等的圆心角 AOB 和 A OB 将圆心角 AOB 绕圆心 O 旋转到 A OB 位置 你能发现哪些等量关系 为什么 学生回答 教学说明 AB A B A AB A A B 理由 半径 OA 与 OA 重合 且 AOB A OB 半径 OB 与 OB 重合 点 A 与点 A 重合 点 B 与点 B 重合 与重合 弦 AB 与弦 A B 重合 A AB A A B AB A B A AB A A B 探究 2 同学们思考一下 在等圆中 这些结论是否成立 学生回答 教学说明 可以在等圆 O 和 O 中分别作 AOB A O B 然 后滚动一个圆 使圆心 O 与 O 重合 固定圆心 将其中的一个圆旋转一个角度 使 得 OA 与 O A 重合 AOB 与 A O B 重合 则有上面相同结论 AB A B A AB A A B 用文字叙述这个命题 则有弧 弦 圆心角之间关系的定理 在同一个圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 同样还可以得到两个推论 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧和两条弦中有一组量相等 那么它 们所对应的其余各组量都分别相等 注意 圆心角 弦 弦关系定理的前提条件是在同圆或等圆中 没有这一条 定理不成立 三 典例精析 掌握新知 例 1教材 P48例 1 分析 在同圆中 由弦相等可以得到圆心角相等 从而使问题解决 学生 自主完成 例 2如图 在 ABC 中 ACB 90 B 25 以 C 点为圆心 CA 的长为半径的圆交 AB 于点 D 求的度数 A AD 分析 要求的度数 根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数 故只需 A AD 求出 DCA 的度数 解 连接 CD 如图 ACB 90 B 25 A 65 CD CA CDA 65 DCA 180 65 2 50 的度数为 50 A AD 教学说明 在圆中求角的度数时 把角放在直角三角形和等腰三角形中 去解决是一种常用的方法 四 运用新知 深化理解 1 浙江湖州中考 如图是七年级 1 班参加课外兴趣小组人数的 扇形统计图 则表示唱歌兴趣小组人数的扇形的圆心角的度数是 A 36 B 72 C 108 D 180 2 在 O 中 所对的圆心角有 个 弦 AB 所对的弧有 条 若 A AB OAB 50 则所对的圆心角为 度 A AB 3 如图所示 O1和 O2为两个等圆 O1A O2D O1O2与 AD 相交于点 E AD 与 O1和 O2分别交于点 B C 求证 AB CD 教学说明 学生自主完成加深对新学知识的理解和检测对 圆心角及相关定理的掌握情况 答案 1 B2 1 2 80 3 证明 O1A O2D A D AO1B DO2C 又 O1和 O2为两个等圆 AB CD 五 师生互动 课堂小结 1 学生总结本堂课的收获与困惑 2 教师强调 圆心角定理是圆中证弧等 弦等 弦心距等 圆心角等的常用 方法 1 教材 P56第 1 2 题 2 完成同步练习册中本课时的练习 本节课从时钟引入圆心角的概念 进一步探究圆心角的相关定理 加深学生对 圆心角及相关定理的认识 并运用所学知识解决实际问题 以此来激发他们的学习 兴趣 2 2 2 圆周角圆周角 第第 1 课时课时 圆周角圆周角 1 知识与技能 1 理解圆周角的定义 会区分圆周角和圆心角 2 能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理 过程与方法 经历探索圆周角与圆心角的关系的过程 加深对分类讨论和由特殊到一般的 转化等数学思想方法的理解 情感态度 1 在探究过程中体验数学的思想方法 进一步提高探究能力和动手能力 2 通过分组讨论 培养合作交流意识和探索精神 教学重点 理解并掌握圆周角的概念及圆周角与圆心角之间的关系 能进行有关圆周角 问题的简单推理和计算 教学难点 分类讨论及由特殊到一般的转化思想的应用 一 情境导入 初步认识阅读教材 P49 50 回答下列问题 1 如图所示的角中 哪些是圆周角 2 顶点在 上 并且两边都与圆 的角叫做圆周角 3 在同圆或等圆中 或 所对的圆周角相等 都等于这条弧所对的 的一半 4 在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也 教学说明 圆周角必须符合两个条件 顶点在圆上 两边与圆相交 二 思考探究 获取新知 探究圆周角定理 1 同学们作出所对的圆周角 和圆心角 学生分组讨论 并回答下列 A AB 问题 问题 1所对的圆周角有几个 A AB 问题 2 度量下这些圆周角的关系 问题 3 这些圆周角与圆心角 AOB 的关系 学生解答 教学说明 所对的圆周角的个数有无数个 A AB 通过度量 这些圆周角相等 通过度量 同弧对的圆周角是它所对圆心角的一半 2 同学们思考如何推导上面的问题 3 的结论 教师引导 学生讨论 当点 O 在 BAC 边 AB 上 当点 O 在 BAC 的内部 当点 O 在 BAC 外部 由同学们分组讨论 自己完成 由同学们讨论 代表回答 教学说明 作直径 AE 由 BAC OAC OAB 由 OAC EOC OAB BOE 得 BAC EOC BOE 1 2 1 2 1 2 1 2 EOC BOE BOC 从 得出圆周角定理 1 2 1 2 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于这条弧所 对的圆心角的一半 还可以得出下面推论 同圆或等圆中 如果两个圆周角相等 那么它们所对的弧一定相等 3 讲例题 如图 1 已知 求证 AB CD AA ADBC 2 如果 AD BC 求证 AA DCAB 证明 1 AA ADBC AAAA ADACBCAC AB CD AA DCAB 2 AD BC AA ADBC 即 AAAA ADACBCAC AA DCAB 教学说明 在今后证明线段相等的题目中又加了一种有弧相等也可以得 到线段相等的方法了 三 运用新知 深化理解 1 如图 在 O 中 AD DC 则图中相等的圆周角的对数是 A 5 对B 6 对C 7 对D 8 对 2 如图所示 点 A B C D 在圆周上 A 65 求 D 的度数 第 2 题图第 3 题图 3 如图所示 已知圆心角 BOC 100 点 A 为优弧上一点 求圆周角 A BC BAC 的度数 4 如图所示 在 O 中 AOB 100 C 为优弧 AB 的中点 求 CAB 的度数 教学说明 在圆中利用同弧所对的圆周角相等推得角相等是灵活 对角进行等量转换的关键 要特别注意等弧所对的圆心角也相等 答案 1 D2 65 3 50 4 65 四 师生互动 课堂小结 1 这节课你学到了什么 还有哪些疑惑 2 在学生回答基础上 教学说明 圆周角的定义是基础 圆周角的定理是重点 圆周角定理的推导是难点 圆周角定理的应用才是重中之重 1 教材 P56第 3 5 题 2 完成同步练习册中本课时的练习 本节课主要学习圆周角的概念及圆周角定理 运用分类讨论的思想对圆周角 定理进行推导 学习新思路 新途径 进一步强调分类讨论的思想在数学中的运用 加深学生的印象 激发他们的学习兴趣 数学是千变万化的 又是有规律可循的 第第 2 课时课时 圆周角圆周角 2 知识与技能 1 巩固圆周角概念及圆周角定理 2 掌握圆周角定理的推论 直径所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的 弦是直径 3 圆内接四边形的对角互补 过程与方法 在探索圆周角定理的推论中 培养学生观察 比较 归纳 概括的能力 情感态度 在探索过程中感受成功 建立自信 体验数学学习活动充满着探索与创造 交 流与合作的乐趣 教学重点 对直径所对的圆周角是直角及 90 的圆周角所对的弦是直径这些性质的理 解 教学难点 对圆周角定理推论的灵活运用是难点 一 情境导入 初步认识 1 如图 木工师傅为了检验如图所示的工作的凹面是否成半圆 他只 用了曲尺 它的角是直角 即可 你知道他是怎样做的吗 分析 当曲尺的两边紧靠凹面时 曲尺的直角顶点落在圆弧上 则凹面是半 圆形状 因为 90 度的圆周角所对的弦是直径 解 当曲尺的两边紧靠凹面时 曲尺的直角顶点落在圆弧上 则凹面是半圆形 状 否则工作不合格 2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 3 圆内接四边形的对角互补 教学说明 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对弦是直 径都是圆周角定理可推导出来的 试着让学生简单推导 培养激发他们的学习兴趣 二 思考探究 获取新知 1 直径所对的圆周角是直角 90 的角所对的弦是直径 如图 C1 C2 C3所对的圆心角都是 AOB 只要知道 AOB 的度 数 就可求出 C1 C2 C3的度数 教学说明 A O B 在一条直线上 AOB 是平角 AOB 180 由 圆周角定理知 C1 C2 C3 90 反过来也成立 2 讲教材 P54例 3 教学说明 在圆中求角时 一种方法是利用圆心角的度数求 另一种方法 是把所求的角放在 90 的三角形中去求 3 讲圆内接四边形和四边形的外接圆的概念 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上 这个多边形叫做圆内接 多边形 这个圆叫做多边形的外接圆 圆内接四边形对角互补 例 1 如图所示 OA 为 O 的半径 以 OA 为直径的圆 C 与 O 的弦 AB 相交于点 D 若 OD 5cm 则 BE 10cm 教学说明 在题中利用两个直径构造两个垂直 从而构造平行 产生三角形的中位线 从而求解 例 2 如图 已知 BOC 70 则 BAC DAC 分析 由 BOC 70 可得所对的圆周角为 35 又 BAC 与该 圆周角互补 故 BAC 145 而 DAC BAC 180 则 DAC 35 答案 145 35 例 3 如图 点 A B D E 在 O 上 弦 AE BD 的延长线相交于点 C 若 AB 是 O 的直径 D 是 BC 的中点 1 试判断 AB AC 之间的大小关系 并给出证明 2 在上述题设条件下 ABC 还需满足什么条件 使得点 E 一定是 AC 的中 点 直接写出结论 教学说明 连接 AD 得 AD BC 构造出 Rt ABD Rt ACD 解 1 AB AC 证明 如图 连接 AD 则 AD BC AD 是公共边 BD DC Rt ABD Rt ACD AB AC 2 ABC 为正三角形或 AB BC 或 AC BC 或 BAC B 或 BAC C 三 运用新知 深化理解 1 湖南湘潭中考 如图 AB 是半圆 O 的直径 D 是 AC 的中 点 ABC 40 则 A 等于 A 30 B 60 C 80 D 70 2 如图 AB 是 O 的直径 BAC 40 点 D 在圆上 则 ADC 3 山东威海中考 如图 AB 为 D 的直径 点 C D 在 O 上 若 AOD 30 则 BCD 的度数是 4 浙江金华中考 如图 AB 是 O 的直径 C 是的中点 CE AB 于 A BD E BD 交 CE 于点 F 1 求证 CF BF 2 若 CD 6 AC 8 则 O 的半径为 CE 的长是 教学说明 遇到直径常设法构造直角三角形 注意 角 弧 角 之间转化 答案 1 D2 50 3 105 4 解 1 AB 为 O 直径 ACB 90 A CBA 90 又 CE AB ECB CBA 90 BCE A 又 AA CDBC A CBD ECB DBC CF BF 2 半径为 5 CE 4 8 6 8 10 AC BC AB 四 师生互动 课堂小结 1 这节课你学到了什么 还有哪些疑惑 在学生回答基础上 2 教师强调 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 圆内接四边形定义及性质 关于圆周角定理运用中 遇到直径 常构造直角三角形 1 教材 P57第 7 9 题 2 完成同步练习册中本课时的练习 本节课是在巩固圆周角定义及定理的基础上开始 运用定理推导出半圆 或 直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径及圆内接四边形性质 定理的 学生见证了从一般到特殊的这一过程 使学生明白从特殊到一般又从一般 到特殊的多种解决问题的途径 激发学生的求知欲望 2 3 垂径定理垂径定理 知识与技能 1 理解圆是轴对称图形 由圆的折叠猜想垂径定理 并进行推理验证 2 理解垂径定理 灵活运用定理进行证明及计算 过程与方法 在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质的过程中 培养我们观察 比较 归纳 概括的能力 情感态度 通过对圆的进一步认识 加深我们对圆的完美性的体会 陶冶美育情操 激发 学习热情 教学重点 垂径定理及运用 教学难点 用垂径定理解决实际问题 一 情境导入 初步认识 教师出示一张图形纸片 同学们猜想一下 圆是轴对称图形吗 如果是 对称轴是什么 如图 AB 是 O 的一条弦 直径 CD AB 于点 M 能发现图中有哪些 等量关系 在纸片上对折操作 学生回答或展示 教学说明 1 是轴对称图形 对称轴是直线 CD 2 AM BM AAAA ACBC ADBD 二 思考探究 获取新知 探究 1 垂径定理及其推论的证明 1 由上面学生折纸操作的结论 教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论 学 生们说出已知 求证 再由小组讨论推理过程 已知 直径 CD 弦 AB 且 CD AB 垂足为点 M 求证 AM BM AAAA ACBC ADBD 教学说明 连接 OA OB 又 CD AB 于点 M 由等腰三角形三线合一可知 AM BM 再由 O 关于直线 CD 对称 可得 学生尝试用语言叙 AAAA ACBC ADBD 述这个命题 2 得出垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 还可以得出结论 垂径定 理推论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 3 学生讨论写出已知 求证 并说明 学生回答 教学说明 已知 AB 为 O 的弦 AB 不过圆心 O CD 为 O 的直 径 AB 交 CD 于点 M MA MB 示证 CD AB AAAA ACBC ADBD 证明 在 OAB 中 OA OB MA MB CD AB 又 CD 为 O 的直径 AAAA ACBC ADBD 4 同学讨论回答 如果条件中 AB 为任意一条弦 上面的结论还成立吗 学生回答 教学说明 当 AB 为 O 的直径时 直径 CD 与直径 AB 一定互相平分 位 置关系是相交 不一定垂直 探究 2 垂径定理在计算方面的应用 例 1 讲教材 P59例 1 例 2 已知 O 的半径为 13cm 弦 AB CD AB 10cm CD 24cm 求 AB 与 CD 间的距离 解 1 当 AB CD 在 O 点同侧时 如图 所示 过 O 作 OM AB 于 M 交 CD 于 N 连 OA OC AB CD ON CD 于 N 在 Rt AOM 中 AM 5cm OM 12cm 在 Rt OCN 中 CN 12cm ON 22 OAAM 5cm MN OM ON MN 7cm 22 OCCN 2 当 AB CD 在 O 点异侧时 如图 所示 由 1 可知 OM 12cm ON 5cm MN OM ON MN 17cm AB 与 CD 间的距离是 7cm 或 17cm 教学说明 1 求直径往往只要能求出半径 即把它放在由半径所构成的 直角三角形中去 2 AB CD 与点 O 的位置关系没有说明 应分两种情况 AB CD 在 O 点的 同侧和 AB CD 在 O 点的两侧 探究 3 与垂径定理有关的证明 例 3 讲教材 P59例 2 教学说明 1 作直径 EF AB AA AEBE 又 AB CD EF AB EF CD AA CEDE 即 AAAA AECEBEDE AA ACBD 2 说明直接用垂径定理即可 三 运用新知 深化理解 1 湖北黄冈中考 如图 AB 为 O 的直径 弦 CD AB 于 E 已知 CD 12 BE 2 则 O 的直径为 A 8B 10C 16D 20 2 如图 半径为 5 的 P 与 y 轴交于点 M 0 4 N 0 10 函数 x 0 的图象过点 P 则 k k y x 3 如图 在 O 中 AB AC 为互相垂直且相等的两条弦 OD AB 于 D OE AC 于 E 求证 四边形 ADOE 为正方形 教学说明 1 在解决与弦的有关问题时 常过圆心作弦的垂线 弦心距 然后构造以半径 弦心距 弦的一半为边的直角三角形 利用直 角三角形的性质求解 2 求 k 值关键是求出 P 点坐标 3 利用垂径定理 由 AB AC AE AD 再由已知条件 三个直角 正方形 答案 1 D2 28 3 解 由 OE CA OD AB AC AB 四边形 ADOE 为矩形 再由垂径定理 AE AC AD AB 且 AB AC AE AD 矩形 EADO 为正方形 1 2 1 2 四 师生互动 课堂小结 1 这节课你学到了什么 还有哪些疑惑 2 在学生回答基础上 3 教师强调 圆是轴对称图形 对称轴是过圆心的任一条直线 垂径定 理及推论中注意 平分弦 不是直径 的直径 垂直于弦 并且平分弦所对的 两条弧 中的限制 垂径定理的计算及证明 常作弦心距为辅助线 用勾股 定理列方程 注意计算中的两种情况 1 教材 P60第 1 2 题 2 完成同步练习册中本课时的练习 本节课由折叠圆形入手 让学生猜想垂径定理并进一步推导论证 在整个过程 中着重学习动手动脑和推理的能力 加深了对圆的完美性的体会 陶冶美育情操 激发学习热情 2 4 过不共线三点作圆过不共线三点作圆 知识与技能 1 理解 确定圆的条件及外接圆和外心的定义 2 掌握三角形外接圆的画法 过程与方法 经过不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程 让我们学会用尺规作不 在同一直线上的三点的圆 情感态度 在探究过不在同一直线上的三点确定一个圆的过程中 进一步培养探究能力 和动手能力 提高学习数学的兴趣 教学重点 确定圆的条件及外接圆和外心的定义 教学难点 任意三角形的外接圆的作法 一 情境导入 初步认识 如图所示 点 A B C 表示因支援三峡工程建设而移民的某县新建的 三个移民新村 这三个新村地理位置优越 空气清新 环境幽雅 花园式的 建筑住宅让人心旷神怡 但安居后发现一个极大的现实问题 学生就读的学校离家 太远 给学生上学和家长接送学生带来了很大的麻烦 根据上面的实际情况 政府决定为这三个新村就近新建一所学校 让三个村到 学校的距离相等 你能帮助他们为学校选址吗 二 思考探究 获取新知 1 确定圆的条件活动 1 如何过一点 A 作一个圆 过点 A 可以作多少个圆 活动 2 如何过两点 A B 作一个圆 过两点可以作多少个圆 教学说明 以上两个问题要求学生独立动手完成 让学生初步体会 已知一 点和已知两点都不能确定一个圆 并帮助学生得出如下结论 1 过平面内一个点 A 的圆 是以点 A 以外的任意一点为圆心 以这点到 A 的 距离为半径的圆 这样的圆有无数个 2 经过平面内两个点 A B 的圆 是以线段 AB 垂直平分线上的任意一点为圆 心 以这一点到 A 或 B 的距离为半径的圆 这样的圆有无数个 活动 3 如图 已知平面上不共线三点 A B C 能否作一个圆 使 它刚好都经过 A B C 三点 教学说明 假设经过 A B C 三点的圆存在 圆心为 O 则点 O 到 A B C 三点的距离相等 即 OA OB OC 则点 O 位置如何确定 是否唯一确定 教师提示到此 让学生动手画圆 最后教师归纳出 3 经过不在同一直线上的三个点 A B C 的圆 是以 AB BC CA 的垂直平分线 的交点为圆心 以这一点到点 A 点 B 或点 C 的距离为半径的圆 这样的圆只有一 个 例 1 判断正误 1 经过三点可以确定一个圆 2 三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点 3 三角形的外心到三边的距离相等 4 经过不在同一直线上的四点能作一个圆 分析 经过不在同一直线上的三点确定一个圆 三角形的外心到三角形三 个顶点的距离相等 经过不在同一直线上的四点不一定能作一个圆 解 1 2 3 4 2 三角形的外接圆 三角形的外心 活动 4 经过 ABC 的三个顶点可以作一个圆吗 请动手画一画 教学说明 因为 ABC 的三个顶点不在同一条直线上 所以过这三个顶点 可以作一个圆 并且只可以作一个圆 并且得出如下结论 1 三角形的三个顶点确定一个圆 这个圆叫做三角形的外接圆 它的圆心 叫做三角形的外心 是三角形三边垂直平分线的交点 2 三角形的外心到三角形三顶点的距离相等 强调 任意一个三角形都有唯一 的一个外接圆 但对于一个圆来说 它却有无数个内接三角形 教学延伸 经过不在同一直线上的任意四点能确定一个圆吗 什么样的特殊 四边形能确定一个圆 教学说明 提示 不一定 对角互补的四边形一定可以确定一个圆 例 2 小明家的房前有一块矩形的空地 空地上有三棵树 A B C 小明 想建一个圆形花坛 使三棵树都在花坛的边上 1 请你帮小明把花坛的位置画出来 尺规作图 不写作法 保留作图痕迹 2 若在 ABC 中 AB 8 米 AC 6 米 BAC 90 试求小明家圆形花坛的面 积 解 1 用尺规作出两边的垂直平分线 作出图 O 即为所求的 花坛的位置 2 BAC 90 AB 8 米 AC 6 米 BC 10 米 ABC 外接圆的半径为 5 米 小明家圆形花坛的面积为 25 平方米 三 运用新知 深化理解 1 下列说法正确的是 A 过一点 A 的圆的圆心可以是平面上任意点 B 过两点 A B 的圆的圆心在一条直线上 C 过三点 A B C 的圆的圆心有且只有一点 D 过四点 A B C D 的圆不存在 2 已知 a b c 是 ABC 三边长 外接圆的圆心在 ABC 一条边上的是 A a 15 b 12 c 11 B a 5 b 12 c 12 C a 5 b 12 c 13 D a 5 b 12 c 14 3 下列说法正确的是 A 过一点可以确定一个圆 B 过两点可以确定一个圆 C 过三点可以确定一个圆 D 三角形一定有外接圆 4 在一个圆中任意引两条平行直线 顺次连结它们的四个端点组成一个四 边形 则这个四边形一定是 A 菱形B 等腰梯形C 矩形D 正方形 教学说明 通过练习巩固三角形的外心和外接圆的概念 强调过不在同 一条直线上的三点确定唯一一个圆 答案 1 B2 C3 D4 C 四 师生互动 课堂小结 1 师生共同回顾 过已知点作圆 条件一是确定圆心 二是确定半径 不 在同一直线上的三个点确定一个圆 了解三角形的外接圆 外心等概念 2 通过这节课的学习 你掌握了哪些新知识 还有哪些疑问 请与同伴交流 教学说明 教师引导学生回顾知识点 让学生大胆发言 进行知识提炼和知 识归纳 1 教材 P63第 1 2 题 2 完成同步练习册中本课时的练习 本节课从生活实际需要引入 到学生动手画满足条件的圆 培养学生动手 动脑的习惯 在动手画圆的过程中层层深化 得出新知识 加深了学生对新知的认 识 并运用新知解决实际问题 体验应用知识的快感 以此激发学习数学的兴趣 2 5 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 2 5 1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 知识与技能 1 理解直线与圆相交 相切 相离的概念 2 会根据圆心到直线的距离与半径的大小关系 判断直线与圆的位置关系 过程与方法 经历点 直线与圆的位置关系的探索过程 让我们了解位置关系与数量的相 互转化思想 发展抽象思维能力 情感态度 教学过程中让我们从不同的角度认识问题 采用不同的方法与知识解决问题 让我们在解决问题的过程中 学会自主探究与合作 讨论 交流 感受问题解法的 多样性 思维的灵活性与合理性 教学重点 判断直线与圆的位置关系 教学难点 理解圆心到直线的距离 一 情境导入 初步认识 活动 1 学生口答 点与圆的位置关系三个对应等价是什么 学生回答或展示 教学说明 设 O 的半径为 r 点 P 到圆心距离 OP d 则有 点 P 在 O 外d r 点 P 在 O 上d r 点 P 在 O 内d r 二 思考探究 获取新知 探究 1 直线与圆的位置关系 活动 2 前面讲了点和圆的位置关系 如果把这个点改为直线 l 呢 它是否 和圆还有这三种关系呢 学生操作 固定一个圆 按三角尺的边缘运动 如果把这个边缘看成一条直 线 那么这条直线和圆有几种位置关系 教学说明 如图所示 如上图 1 所示 直线 l 和圆有两个公共点 叫 直线与圆相交 这条直线叫做圆的割线 如上图 2 所示 直线 l 和圆只有一个公共点 叫直线与圆相切 这条直线 叫圆的切线 这个点叫做切点 如上图 3 所示 直线 l 和圆没有公共点 叫这条直线与圆相离 注 以上是从直线与圆的公共点的个数来说明直线和圆的位置关系的 还有其 它的方法来说明直线与圆的位置关系吗 看探究二 探究 2 直线与圆的位置关系的判定和性质 活动 3 设 O 半径为 r 直线 l 到圆心 O 的距离为 d 在直线和圆的不同位 置关系中 d 与 r 具有怎样的大小关系 反过来 根据 d 与 r 的大小关系 你能 确定直线与圆的位置关系吗 同学们分组讨论下 学生代表回答 教学说明 直线与 O 相交d r 直线与 O 相切d r 直线与 O 相离d r 注 1 这是从圆心到直线的距离大小来说明直线与圆的三种位置关系的 2 以上两种不同的角度来说明直线与圆的位置关系中 在今后的证明中以第 二种居多 三 典例精析 掌握新知 例 1 见教材 P65例 1 分析 过 O 作 OD CA 于 D 点 在 Rt COD 中 C 30 OD OC 3 1 2 圆心到直线 CA 的距离 d 3cm 再分别对 1 2 3 中的 r 与 d 进行 比较 即可判定 O 与 CA 的关系 例 2 如图 Rt ABC 中 C 90 AC 3 BC 4 若以点 C 为圆心 r 为半径的圆与斜边 AB 只有一个公共点 求 r 的取值范围 分析 此题中以 r 为半径的圆与斜边 AB 只有一个公共点 此时要注意 相切和相交两种情形 由于相交有两个交点但受线段 AB 的限制 也有可能只 有一个交点 提示后让学生自主解答 答案 r 2 4 或 3 r 4 四 运用新知 深化理解 1 已知 O 的半径为 5 圆心 O 到直线 l 的距离为 3 则直线 l 与 O 的位 置关系是 A 相交B 相切C 相离D 无法确定 2 设 O 的半径为 3 点 O 到直线 l 的距离为 d 若直线 l 与 O 只有一个公 共点 则 d 应满足的条件是 A d 3B d 3C d 3D d 3 3 已知 O 的直径为 6 P 为直线 l 上一点 OP 3 则直线 l 与 O 的位置 关系是 4 在 Rt ABC 中 C 90 AB 4cm BC 2cm 以 C 为圆心 r 为半径作圆 若直线 AB 与 C 1 相交 则 r 2 相切 则 r 3 相离 33 则 r 5 如图 已知 Rt ABC 的斜边 AB 8cm AC 4cm 1 以点 C 为圆心作圆 当半径为多长时 AB 所在直线与 C 相切 2 以点 C 为圆心 分别以 2cm 和 4cm 为半径作两个圆 这两个圆与 AB 所在直线分别有怎样的位置关系 教学说明 要判断直线与圆的位置关系 关键是找出圆心到直线的距离 d 再与圆的半径进行比较 要熟练掌握三个对应等式 答案 1 A2 A3 相交或相切4 03 5 解 1 过点 C 作 AB 的垂线段 CD AC 4 AB 8 C 90 BC 4 又CD AB AC BC CD 2 当半径长为 2cm 时 AB 与3 1 2 1 2 33 C 相切 2 d 2cm 当 r 2cm 时 d r C 与 AB 相离 当 r 4cm 时 d r C 与3 AB 相交 五 师生互动 课堂小结 1 这节课你学到了什么 还有哪些疑惑 2 在学生回答基础上 教师强调 直线和圆相交 割线 直线和圆相切 切点 直线和圆相离等概念 设 O 半径为 r 直线 l 到圆心 O 的距离为 d 则有 直线 l 与 O 相交d r 直线 l 与 O 相切d r 直线 l 与 O 相离d r 1 教材 P65第 1 题 2 完成同步练习册中本课时的练习 本节课由前面学过的点和圆的三种位置关系引入 让学生动手操作直尺和固 定的圆之间有何关系 用类比的思路导入新课 学生易接受且容易操作和容易得 到结论 最后用所得到的结论去解决一些实际问题 培养学生动手 动脑和解决问 题的能力 激发他们求知的欲望 2 5 2 圆的切线圆的切线 第第 1 课时课时 圆的切线的判定圆的切线的判定 知识与技能 理解并掌握圆的切线判定定理 能初步运用它解决有关问题 过程与方法 通过对圆的切线判定定理和判定方法的学习 培养学生观察 分析 归纳问 题的能力 情感态度 通过学生自己的实践发现定理 培养学生学习的主动性和积极性 教学重点 圆的切线的判定定理 教学难点 圆的切线的判定定理的应用 一 情境导入 初步认识 同学们 一辆汽车在一条笔直平坦的道路上行驶 如果把车轮看成圆 把路看 成一条直线 这个情形相当于直线和圆相切的情况 再比如 你在下雨天转动湿的 雨伞 你会发现水珠沿直线飞出 如果把雨伞看成一个圆 则水珠飞出的直线也是 圆的切线 那么如何判定一条直线是圆的切线呢 二 思考探究 获取新知 1 切线的判定 1 提问 如图 AB 是 O 的直径 直线 l 经过点 A l 与 AB 的夹角为 当 l 绕点 A 旋转时 随着 的变化 点 O 到 l 的距离 d 如何 变化 直线 l 与 O 的位置关系如何变化 当 等于多少度时 点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r 此时 直线 l 与 O 有怎样的位置关系 为什么 2 探究 讨论直径与经过直径端点的直线所形成的 来得到切线的判定 可通过多媒体演示 的大小与圆心 O 到直线的距离的大小关系 让学生 用自己的语言描述直线与 O 相切的条件 3 总结 教师强调一条直线是圆的切线必须同时满足下列两个条件 经 过半径外端 垂直于这条半径 这两个条件缺一不可 2 切线的画法 教师引导学生一起画圆的切线 完成教材 P67做一做 教学说明 让每一位学生动手画圆的切线 感知一条直线是圆的切线须满 足的两个条件 加深对切线判定的理解 例 1 教材 P67例 2 教学说明 该例展示了判定圆的切线的一种方法 即已知直线和圆有公 共点时 要证明该直线是圆的切线 常用证明方法是 连接圆心和该点 证明 直线垂直于所连的半径 例 2 如图 已知点 O 是 APB 平分线上一点 ON AP 于 N 以 ON 为半径作 O 求证 BP 是 O 的切线 分析 该例与上例不同 上例已知 BC 经过圆上一点 D 所以思路是连接半 径证垂直 该例 BP 与 O 是否有公共点还不能确定 而要证 BP 是 O 的切线 需 用证明切线的另一种方法 即 作垂直 证明圆心到直线的距离并等于证半径 证明 作 OM BP 于 M OP 平分 APB 且 ON AP OM BP OM ON 又 ON 是 O 的半径 OM 也是 O 的半径 BP 是 O 的切线 教学说明 证明直线是圆的切线常有三种方法 1 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 2 圆心到直线距离等于半径的直线是圆的切线 3 经过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线 三 运用新知 深化理解 1 以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边 则该三角形为 A 锐角三角形B 直角三角形 C 钝角三角形D 等边三角形 2 菱形对角线的交点为 O 以 O 为圆心 以 O 到菱形一边的距离为半径的 圆与其他几边的关系为 A 相交B 相切 C 相离D 不能确定 3 如图 ABC 中 已知 AB AC 以 AB 为直径的 O 交 BC 于点 D 过 点 D 作 DE AC 交 AC 于点 E 求证 DE 是 O 的切线 4 如图 AO BC 于 O O 与 AB 相切于点 D 交 BC 于 E F 且 BE CF 试说明 O 与 AC 也相切 教学说明 教师当堂引导学生完成练习 帮助学生掌握切线的判定方法 特 别是把握不同条件时用不同的思路证明的理解与掌握 答案 1 B2 B 3 证明 连接 OD 则 OD OB B BDO AB AC B C BDO C OD AC ODE DEC DE AC DEC 90 ODE 90 即 DE OD DE 是 O 的切线 4 解 过点 O 作 OG AC 垂足为 G 连接 OD BE CF OE OF BO CO 又 OA BC AO 平分 BAC O 与 AB 切于点 D OD AB OG OD G 在 O 上 O 与 AC 也相切 四 师生互动 课堂小结 1 该堂课你学到了什么 还有哪些疑惑 2 学生回答的基础上教师强调 本堂课主要学习了切线的判定定理及切线的 画法 通过例题讲述了证明圆的切线的不同证明方法 1 教材 P75第 2 3 题 2 完成同步练习册中本课时的练习 本节课先探究了圆的切线的判定定理 接着讲述了切线的画法 通过画切线使 学生进一步体会到直线是圆的切线须满足的两个条件 然后通过例题讲解了切线 的证明方法 通过 理论感性理论 的认知 体验掌握知识的方法和乐趣 第第 2 课时课时 圆的切线的性质圆的切线的性质 知识与技能 理解并掌握圆的切线的性质定理 能初步运用 它解决有关问题 过程与方法 通过对圆的切线性质定理及其应用的学习 培养学生分析 归纳问题的能 力 情感态度 在学习过程中 独立思考 合作交流 增强学习的乐趣与自信心 在学习 活动中获得成功的体验 教学重点 圆的切线的性质定理及应用 教学难点 圆的切线的性质定理 判定定理的综合应用 一 情境导入 初步认识一 情境导入 初步认识 活动 1 用反证法证明 两条直线相交只有一个交点 学生完成 教师点拨 教学说明 活动 1 的目的是让同学们熟 悉反证法的证明方法和步骤 为 后面切线性质 的证明创造条件 强调 如果一个命题从正面直接证明比较 困难 则应釆用反证法证明往往 比较容易 即 正难则反 二 思考探究 获取新知二 思考探究 获取新知 1 切线的性质 活动 2 如图 直线 L 切 O 于点 A 求证 l 丄 OA 老师点拨 直接证明 行不行 学生思考 若用反证法证明 第一步是什么 要求学生完成过程 切线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径 教学说明 关于切线性质的五点理解 1 切线与圆只有一个公共点 2 切线和圆心的距离等于半径 3 切线垂直于过切点的半径 4 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点 5 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心 教学引申 对于任意一条直线 如果具备下 列条件中的两个 就可以推出第三个结论 1 垂直于切线 2 经过切 点 3 经过圆心 2 例题讲解 例 1 教材 P68例 3 教师引导学生完成 教学说明 本例展示了切线性质定理应 用的基本辅助线作法 见切点 连接圆心和切点 即连接圆心和切点 得到垂直或直角解决问题 例 2 教材 P69例 4 教学说明 该例是圆的切线性质的简单应用 教师可要求学生独立完成 例 3 如图 AB 为 O 的直径 BC 为 O 的切线 AC 交 O 于点 E D 为 AC 上一点 AOD C 1 求证 OD 丄 AC 2 若 AE 8 求 OD 的长 3 tan 4 A 解析 1 BC 是 O 的切线 AB 为 O 的直径 ABC 90 A C 90 三 运用新知 深化理解 1 在梯形 ABCD 中 AD BC AB CD 5 AD 3 BC 9 以 D 为圆 心 4 为半径画圆 下底 50 与 D 的位置关系为 A 相离 B 相交 C 相切 D 不能确定 2 山西中考 如图 AB 是 O 的直径 C D 是 O 上的点 CDB 20 过点 C 作 O 的切线交 AB 的延长线于点 E 则 E 等于 A 40 B 50 C 60 D 70 3 如图 两个圆心图 大圆的半径为 5 小圆的半径为 3 若大圆的弦 AB 与小圆相交 则弦 AB 的取值范围是 4 如图 O 的直径为 20cm 弦 AD 16cm OD 丄 AB 垂足为点 D 则 AB 沿射线 OD 方向平移 cm 时可与 O 相切 5 如图 已知 ABC 以 BC 为直径 以 O 为圆心的半圆 交 AC 于点 F 点 E 为 的中点 连结 BE 交 AC 于点 M AD 为 ABC 的角平分线 且 A CF AD 丄 BE 垂足为点 H 1 求证 AB 是半圆 O 的切线 2 若 AB 3 BC 4 求 BE 的长 教学说明 学生自主完成上述习题 加深对新知的理解 并适当对练习 中题目加以分析 答案 1 C 2 B 3 8 AB 104 4 8 5 5 BE 四 师生互动 课堂小结四 师生互动 课堂小结 1 本节课你学到了什么 还有哪些疑惑 2 学生回答 教师小结 本节主要学习了切线性质定理的证明及应用 旨 在掌握圆的切线的 性质定理及应用切线性质定理的基本思路及基本辅助线作法 1 教材 P69第 1 2 题 2 完成同步练习册中本课时的练习 本节课是从学生用反证法证明圆的切线的性质定理入手 使学生掌握切线 的性质定理 通过例 题让学生掌握圆的切线性质定理的应用 加深学生对圆的 切线的判定及性质的理解 体验应用知识的成就感 2 5 3 切线长定理切线长定理 知识与技能 掌握切线长定理及其运用 过程与方法 通过对圆的切线长及切线长定理的学习 培养学生分析 归纳及解决问题的能 力 情感态度 通过学生自己的实践发现定理 培养学生学习的积极性和主动性 教学重点 切线长定理