2012高考数学新题分类汇编 三角函数（高考真题+模拟新题）

用心 爱心 专心1 20122012 高考数学新题分类汇编高考数学新题分类汇编 三角函数 高考真题三角函数 高考真题 模拟新题 模拟新题 课标理数 10 C110 C1 2011 江西卷 如图 1 一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内 壁的逆时针方向滚动 M和N是小圆的一条固定直径的两个端点 那么 当小圆这样滚过 大圆内壁的一周 点M N在大圆内所绘出的图形大致是 图 1 图 2 课标理数 10 C110 C1 2011 江西卷 A 解析 如图 建立直角坐标系 由题意可知 小圆O1总与大圆O相内切 且小圆O1总经过大圆的圆心O 设某时刻两圆相切于点A 此时动点M所处位置为点M 则大圆圆弧与小圆圆弧 AM 相等 AM 以切点A在劣弧上运动为例 记直线OM与此时 小圆O1的交点为M1 记 AOM MB 则 OM1O1 M1OO1 故 M1O1A M1OO1 OM1O1 2 大圆圆弧的长为l1 1 小圆圆弧的长为l2 2 即l1 l2 AMAM1 1 2 小圆的两段圆弧与的长相等 故点M1与点M 重合 AM AM1 即动点M在线段MO上运动 同理可知 此时点N在线段OB上运动 点A在其他象限类似可得 M N的轨迹为相互垂直的线段 观察各选项 只有选项 A 符合 故选 A 课标文数 14 C114 C1 2011 江西卷 已知角 的顶点为坐标原点 始边为x轴的正半轴 若P 4 y 是角 终边上一点 且 sin 则y 2 5 5 课标文数 14 C114 C1 2011 江西卷 8 解析 r x2 y216 y2 sin sin 解得y 8 2 5 5 y r y 16 y2 2 5 5 课标理数 5 C15 C1 C6C6 2011 课标全国卷 已知角 的顶点与原点重合 始边与x轴的 正半轴重合 终边在直线y 2x上 则 cos2 A B C D 4 5 3 5 3 5 4 5 课标理数 5 C15 C1 C6C6 2011 课标全国卷 B 解析 解法 1 在角 终边上任取一 点P a 2a a 0 则r2 2 a2 2a 2 5a2 OP cos2 cos2 2cos2 1 1 a2 5a2 1 5 2 5 3 5 解法 2 tan 2 cos2 2a a cos2 sin2 cos2 sin2 1 tan2 1 tan2 3 5 用心 爱心 专心2 课标文数 7 C17 C1 C6C6 2011 课标全国卷 已知角 的顶点与原点重合 始边与x轴的 正半轴重合 终边在直线y 2x上 则 cos2 A B 4 5 3 5 C D 3 5 4 5 课标文数 7 C17 C1 C6C6 2011 课标全国卷 B 解析 解法 1 在角 终边上任取一 点P a 2a a 0 则r2 2 a2 2a 2 5a2 OP cos2 cos2 2cos2 1 1 a2 5a2 1 5 2 5 3 5 解法 2 tan 2 cos2 2a a cos2 sin2 cos2 sin2 1 tan2 1 tan2 3 5 用心 爱心 专心3 大纲文数 14 C214 C2 2011 全国卷 已知 tan 2 则 cos 3 2 大纲文数 14 C214 C2 2011 全国卷 解析 tan 2 sin 2cos 代 5 5 入 sin2 cos2 1 得 cos2 又 cos 1 5 3 2 5 5 课标文数 9 C29 C2 C6C6 2011 福建卷 若 且 sin2 cos2 则 0 2 1 4 tan 的值等于 A B C D 2 2 3 323 课标文数 9 C29 C2 C6C6 2011 福建卷 D 解析 因为 sin2 cos2 sin2 1 2sin2 1 sin2 cos2 cos2 sin2 1 cos2 1 4 3 4 0 2 cos sin tan 故选 D 1 2 3 2 sin cos 3 大纲文数 12 C212 C2 2011 重庆卷 若 cos 且 则 3 5 3 2 tan 大纲文数 12 C212 C2 2011 重庆卷 解析 cos 且 4 3 3 5 3 2 sin 1 cos2 4 5 tan sin cos 4 3 用心 爱心 专心4 课标理数 15 C315 C3 C5C5 2011 北京卷 已知函数f x 4cosxsin 1 x 6 1 求f x 的最小正周期 2 求f x 在区间上的最大值和最小值 6 4 课标理数 15 C315 C3 C5C5 2011 北京卷 解答 1 因为f x 4cosxsin 1 x 6 4cosx 1 3 2 sinx 1 2cosx sin2x 2cos2x 1 3 sin2x cos2x 3 2sin 2x 6 所以f x 的最小正周期为 2 因为 x 所以 2x 6 4 6 6 2 3 于是 当 2x 即x 时 f x 取得最大值 2 6 2 6 当 2x 即x 时 f x 取得最小值 1 6 6 6 课标文数 15 C315 C3 C5C5 2011 北京卷 已知函数f x 4cosxsin 1 x 6 1 求f x 的最小正周期 2 求f x 在区间上的最大值和最小值 6 4 课标文数 15 C315 C3 C5C5 2011 北京卷 解答 1 因为f x 4cosxsin 1 x 6 4cosx 1 3 2 sinx 1 2cosx sin2x 2cos2x 1 3 sin2x cos2x 3 2sin 2x 6 所以f x 的最小正周期为 2 因为 x 所以 2x 6 4 6 6 2 3 于是 当 2x 即x 时 f x 取得最大值 2 当 2x 即x 6 2 6 6 6 时 f x 取得最小值 1 6 课标理数 3 C23 C2 C6C6 2011 福建卷 若 tan 3 则的值等于 sin2 cos2 A 2 B 3 C 4 D 6 课标理数 3 C23 C2 C6C6 2011 福建卷 D 解析 因为 2tan 6 故选 D sin2 cos2 2sin cos cos2 2sin cos 用心 爱心 专心5 课标理数 11 C411 C4 C5C5 2011 课标全国卷 设函数f x sin x cos x 的最小正周期为 且f x f x 则 0 2 A f x 在单调递减 0 2 B f x 在单调递减 4 3 4 C f x 在单调递增 0 2 D f x 在单调递增 4 3 4 课标理数 11 C411 C4 C5C5 2011 课标全国卷 A 解析 原式可化简为f x sin 2 因为f x 的最小正周期T x 4 2 所以 2 所以f x sin 2 2x 4 又因为f x f x 所以函数f x 为偶函数 所以f x sin cos2x 2 2x 4 2 所以 k k Z Z 4 2 所以 k k Z Z 4 又因为 所以 2 4 所以f x sin cos2x 2 2x 2 2 所以f x cos2x在区间上单调递减 2 0 2 用心 爱心 专心6 课标文数 12 C312 C3 2011 辽宁卷 已知函数f x Atan x 0 2 y f x 的部分图象如图 1 7 则f 24 图 1 7 A 2 B 33 C D 2 3 33 课标文数 12 C312 C3 2011 辽宁卷 B 解析 由图象知 2 2 又 3 8 8 2 由于 2 k k Z Z k k Z Z 又 所以 这时 8 2 4 2 4 f x Atan 又图象过 0 1 代入得A 1 故f x tan 所以 2x 4 2x 4 f tan 故选 B 24 2 24 4 3 用心 爱心 专心7 课标文数 15 C415 C4 2011 安徽卷 设f x asin2x bcos2x 其中a b R R ab 0 若 f x 对一切x R R 恒成立 则 f 6 f 0 11 12 此时平方得b2 a2 b2 这不可能 矛盾 故不存在过点 a b 的直线与 a2 b2 函数f x 的图像不相交 故 错 课标理数 9 C49 C4 2011 安徽卷 已知函数f x sin 2x 其中 为实数 若 f x 对x R R 恒成立 且f f 则f x 的单调递增区间是 f 6 2 A k Z Z k 3 k 6 B k Z Z k k 2 用心 爱心 专心8 C k Z Z k 6 k 2 3 D k Z Z k 2 k 课标理数 9 C49 C4 2011 安徽卷 C 解析 对x R R 时 f x 恒成立 所以f f 6 sin 1 可得 2k 或 2k k Z Z 6 3 6 5 6 因为f sin sin f sin 2 sin 故 sin 0 将y f x 的图像向右 平移个单位长度后 所得的图像与原图像重合 则 的最小值等于 3 A B 3 1 3 C 6 D 9 大纲理数 5 C45 C4 2011 全国卷 C 解析 将y f x 的图像向右平移个单位长 3 度后得到的图像与原图像重合 则 k k Z Z 得 6k k Z Z 又 0 则 的 3 2 最小值等于 6 故选 C 大纲文数 7 C47 C4 2011 全国卷 设函数f x cos x 0 将y f x 的图像向右 平移个单位长度后 所得的图像与原图像重合 则 的最小值等于 3 A B 3 C 6 D 9 1 3 大纲文数 7 C47 C4 2011 全国卷 C 解析 将y f x 的图像向右平移个单位 3 长度后得到的图像与原图像重合 则 k k Z Z 得 6k k Z Z 又 0 则 3 2 的最小值等于 6 故选 C 课标理数 16 D316 D3 C4C4 2011 福建卷 已知等比数列 an 的公比q 3 前 3 项和S3 13 3 1 求数列 an 的通项公式 2 若函数f x Asin 2x A 0 0 在x 处取得最大值 且最大值为 6 a3 求函数f x 的解析式 课标数学 16 D316 D3 C4C4 2011 福建卷 解答 1 由q 3 S3 得 13 3 a1 1 33 1 3 用心 爱心 专心9 解得a1 13 3 1 3 所以an 3n 1 3n 2 1 3 2 由 1 可知an 3n 2 所以a3 3 因为函数f x 的最大值为 3 所以A 3 因为当x 时f x 取得最大值 6 所以 sin 1 2 6 又 0 故 6 所以函数f x 的解析式为f x 3sin 2x 6 课标理数 3 C43 C4 2011 湖北卷 已知函数f x sinx cosx x R R 若f x 1 3 则x的取值范围为 A Error B Error C Error D Error 课标理数 3 C43 C4 2011 湖北卷 B 解析 因为f x sinx cosx 2sinx 3 6 由f x 1 得 2sinx 1 即 sinx 所以 6 6 1 2 2k x 2k k Z Z 解得 2k x 2k k Z Z 6 6 5 6 3 课标文数 6 C46 C4 2011 湖北卷 已知函数f x sinx cosx x R R 若f x 1 则 3 x的取值范围为 A Error B Error C Error D Error 课标文数 6 C46 C4 2011 湖北卷 A 解析 因为f x sinx cosx 2sinx 3 6 由f x 1 得 2sinx 1 即 sinx 所以 6 6 1 2 2k x 2k k Z Z 解得 2k x 2k k Z Z 6 6 5 6 3 课标理数 17 C817 C8 C4C4 2011 湖南卷 在 ABC中 角A B C所对的边分别为 a b c 且满足csinA acosC 1 求角C的大小 2 求sinA cos的最大值 并求取得最大值时角A B的大小 3 B 4 课标理数 17 C817 C8 C4C4 2011 湖南卷 解答 1 由正弦定理得 sinCsinA sinAcosC 因为 0 A0 从而 sinC cosC 用心 爱心 专心10 又 cosC 0 所以 tanC 1 则C 4 2 由 1 知 B A 于是 3 4 sinA cos sinA cos A 3 B 4 3 sinA cosA 2sin 3 A 6 因为 0 A 所以 A 从而当A 即A 时 2sin取 3 4 6 6 11 12 6 2 3 A 6 最大值 2 综上所述 sinA cos的最大值为 2 此时A B 3 B 4 3 5 12 课标文数 17 C817 C8 C4C4 2011 湖南卷 在 ABC中 角A B C所对的边分别为 a b c 且满足csinA acosC 1 求角C的大小 2 求sinA cos的最大值 并求取得最大值时角A B的大小 3 B 4 课标文数 17 C817 C8 C4C4 2011 湖南卷 解答 1 由正弦定理得 sinCsinA sinAcosC 因为 0 A0 从而 sinC cosC 又 cosC 0 所以 tanC 1 则C 4 2 由 1 知 B A 于是 3 4 sinA cos sinA cos A 3 B 4 3 sinA cosA 2sin 3 A 6 因为 0 A 所以 A 从而当A 即A 时 2sin取 3 4 6 6 11 12 6 2 3 A 6 最大值 2 综上所述 sinA cos的最大值为 2 此时A B 3 B 4 3 5 12 课标理数 11 C411 C4 C5C5 2011 课标全国卷 设函数f x sin x cos x 的最小正周期为 且f x f x 则 0 2 A f x 在单调递减 0 2 B f x 在单调递减 4 3 4 C f x 在单调递增 0 2 D f x 在单调递增 4 3 4 课标理数 11 C411 C4 C5C5 2011 课标全国卷 A 解析 原式可化简为f x sin 2 用心 爱心 专心11 因为f x 的最小正周期T x 4 2 所以 2 所以f x sin 2 2x 4 又因为f x f x 所以函数f x 为偶函数 所以f x sin cos2x 2 2x 4 2 所以 k k Z Z 4 2 所以 k k Z Z 4 又因为0 在区间上单调递增 0 3 在区间上单调递减 则 3 2 A 3 B 2 C D 3 2 2 3 课标理数 6 C46 C4 2011 山东卷 C 解析 本题考查三角函数的单调性 因为当 0 x 时 函数f x 是增函数 当 x 时 函数f x 为减函数 即当 0 x 2 2 用心 爱心 专心12 时函数f x 为增函数 当 x 时 函数f x 为减函数 所以 所以 2 2 2 3 3 2 课标文数 6 C46 C4 2011 山东卷 若函数f x sin x 0 在区间上单调递增 0 3 在区间上单调递减 则 3 2 A B C 2 D 3 2 3 3 2 课标文数 6 C46 C4 2011 山东卷 B 解析 本题考查三角函数的单调性 因为当 0 x 时 函数f x 为增函数 当 x 时 函数f x 为减函数 即当 0 x 2 2 时 函数f x 为增函数 当 x 时 函数f x 为减函数 所以 所以 2 2 2 3 3 2 课标数学 9 C49 C4 2011 江苏卷 函数f x Asin x A 为常数 A 0 0 的部分图象如图 1 1 所示 则f 0 的值是 图 1 1 课标数学 9 C49 C4 2011 江苏卷 解析 由图象可得A 周期为 4 6 22 所以 2 将代入得 2 2k 即 7 12 3 7 12 2 7 12 3 2 2k 所以f 0 sin sin 322 3 6 2 课标文数 7 C47 C4 2011 天津卷 已知函数f x 2sin x x R R 其中 0 若f x 的最小正周期为 6 且当x 时 f x 取得最大值 则 2 A f x 在区间 2 0 上是增函数 B f x 在区间 3 上是增函数 C f x 在区间 3 5 上是减函数 D f x 在区间 4 6 上是减函数 课标文数 7 C47 C4 2011 天津卷 A 解析 6 又 2 1 3 2k k Z Z 且 1 3 2 2 当k 0 时 f x 2sin 要使f x 递增 须有 2k x 3 1 3x 3 2 1 3 2k k Z Z 解之得 6k x 6k k Z Z 当k 0 时 x 3 2 5 2 2 5 2 f x 在上递增 2 5 2 2 用心 爱心 专心13 课标文数 18 C418 C4 2011 浙江卷 解答 1 由题意得 T 6 2 3 因为P 1 A 在y Asin的图象上 3 x 所以 sin 1 3 又因为 0 2 所以 6 2 设点Q的坐标为 x0 A 由题意可知x0 得x0 4 所以Q 4 A 3 6 3 2 连接PQ 在 PRQ中 PRQ 由余弦定理得 2 3 cos PRQ RP2 RQ2 PQ2 2RP RQ A2 9 A2 9 4A2 2A 9 A2 1 2 解得A2 3 又A 0 所以A 3 用心 爱心 专心14 课标理数 15 C315 C3 C5C5 2011 北京卷 已知函数f x 4cosxsin 1 x 6 1 求f x 的最小正周期 2 求f x 在区间上的最大值和最小值 6 4 课标理数 15 C315 C3 C5C5 2011 北京卷 解答 1 因为f x 4cosxsin 1 x 6 4cosx 1 3 2 sinx 1 2cosx sin2x 2cos2x 1 3 sin2x cos2x 3 2sin 2x 6 所以f x 的最小正周期为 2 因为 x 所以 2x 6 4 6 6 2 3 于是 当 2x 即x 时 f x 取得最大值 2 6 2 6 当 2x 即x 时 f x 取得最小值 1 6 6 6 课标文数 15 C315 C3 C5C5 2011 北京卷 已知函数f x 4cosxsin 1 x 6 1 求f x 的最小正周期 2 求f x 在区间上的最大值和最小值 6 4 课标文数 15 C315 C3 C5C5 2011 北京卷 解答 1 因为f x 4cosxsin 1 x 6 4cosx 1 3 2 sinx 1 2cosx sin2x 2cos2x 1 3 sin2x cos2x 3 2sin 2x 6 所以f x 的最小正周期为 2 因为 x 所以 2x 6 4 6 6 2 3 于是 当 2x 即x 时 f x 取得最大值 2 当 2x 即x 6 2 6 6 6 时 f x 取得最小值 1 6 大纲理数 17 17 C5C5 C8C8 2011 全国卷 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 已知A C 90 a c b 求C 2 大纲理数 17 C517 C5 C8C8 2011 全国卷 解答 由a c b及正弦定理可得 2 sinA sinC sinB 2 又由于A C 90 B 180 A C 故 cosC sinC sin A C 2 sin 90 2C 2 用心 爱心 专心15 cos2C 2 故cosC sinC cos2C 2 2 2 2 cos 45 C cos2C 因为 0 C 90 所以 2C 45 C C 15 课标理数 16 C516 C5 C8C8 2011 课标全国卷 在 ABC中 B 60 AC 则AB 2BC 3 的最大值为 课标理数 16 C516 C5 C8C8 2011 课标全国卷 2 解析 因为B 60 7 A B C 180 所以A C 120 由正弦定理 有 2 AB sinC BC sinA AC sinB 3 sin60 所以AB 2sinC BC 2sinA 所以AB 2BC 2sinC 4sinA 2sin 120 A 4sinA 2 sin120 cosA cos120 sinA 4sinA cosA 5sinA 3 2sin A 其中 sin cos 7 3 2 7 5 2 7 所以AB 2BC的最大值为 2 7 课标文数 11 C411 C4 C5C5 2011 课标全国卷 设函数f x sin cos 2x 4 2x 4 则 A y f x 在单调递增 其图像关于直线x 对称 0 2 4 B y f x 在单调递增 其图像关于直线x 对称 0 2 2 C y f x 在单调递减 其图像关于直线x 对称 0 2 4 D y f x 在单调递减 其图像关于直线x 对称 0 2 2 课标文数 11 C411 C4 C5C5 2011 课标全国卷 D 解析 f x sin sin cos2x 2 2x 4 4 2 2x 2 2 所以y f x 在内单调递减 0 2 又f cos 是最小值 2 22 所以函数y f x 的图像关于直线x 对称 2 课标数学 15 C515 C5 C7C7 2011 江苏卷 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 1 若 sin 2cosA 求A的值 A 6 2 若 cosA b 3c 求 sinC的值 1 3 课标数学 15 C515 C5 C7C7 2011 江苏卷 本题主要考查三角函数的基本关系式 两角和的 正弦公式 解三角形 考查运算求解能力 用心 爱心 专心16 解答 1 由题设知 sinAcos cosAsin 2cosA 从而 sinA cosA 所以 6 63 cosA 0 tanA 因为 0 A 所以A 3 3 2 由 cosA b 3c及a2 b2 c2 2bccosA 1 3 得a2 b2 c2 故 ABC是直角三角形 且B 2 所以 sinC cosA 1 3 课标理数 6 C56 C5 2011 浙江卷 若 0 0 cos cos 2 2 4 1 3 4 2 则 cos 3 3 2 A B C D 3 3 3 3 5 3 9 6 9 课标理数 6 C56 C5 2011 浙江卷 C 解析 cos 0 sin 又 4 1 3 2 4 2 3 3 cos 0 4 2 3 3 2 sin cos 4 2 6 3 2 cos coscos sinsin 4 4 2 4 4 2 4 4 2 1 3 3 3 2 2 3 6 3 5 3 9 用心 爱心 专心17 大纲理数 14 C614 C6 2011 全国卷 已知 sin 则 2 5 5 tan2 大纲理数 14 C614 C6 2011 全国卷 解析 4 3 sin cos 则 tan tan2 5 5 2 2 5 5 1 2 2tan 1 tan2 2 1 2 1 1 2 2 4 3 课标理数 3 C23 C2 C6C6 2011 福建卷 若 tan 3 则的值等于 sin2 cos2 A 2 B 3 C 4 D 6 课标理数 3 C23 C2 C6C6 2011 福建卷 D 解析 因为 2tan 6 故选 D sin2 cos2 2sin cos cos2 2sin cos 课标文数 9 C29 C2 C6C6 2011 福建卷 若 且 sin2 cos2 则 0 2 1 4 tan 的值等于 A B C D 2 2 3 323 课标文数 9 C29 C2 C6C6 2011 福建卷 D 解析 因为 sin2 cos2 sin2 1 2sin2 1 sin2 cos2 cos2 sin2 1 cos2 1 4 3 4 0 2 cos sin tan 故选 D 1 2 3 2 sin cos 3 课标理数 5 C15 C1 C6C6 2011 课标全国卷 已知角 的顶点与原点重合 始边与x轴的 正半轴重合 终边在直线y 2x上 则 cos2 A B C D 4 5 3 5 3 5 4 5 课标理数 5 C15 C1 C6C6 2011 课标全国卷 B 解析 解法 1 在角 终边上任取一 点P a 2a a 0 则r2 2 a2 2a 2 5a2 OP cos2 cos2 2cos2 1 1 a2 5a2 1 5 2 5 3 5 解法 2 tan 2 cos2 2a a cos2 sin2 cos2 sin2 1 tan2 1 tan2 3 5 课标理数 7 C67 C6 2011 辽宁卷 设 sin 则 sin2 4 1 3 A B C D 7 9 1 9 1 9 7 9 用心 爱心 专心18 课标理数 7 C67 C6 2011 辽宁卷 A 解析 sin2 cos 2 2 由于 sin 代入得 sin2 故选 A 1 2sin2 4 4 1 3 7 9 课标文数 7 C17 C1 C6C6 2011 课标全国卷 已知角 的顶点与原点重合 始边与x轴的 正半轴重合 终边在直线y 2x上 则 cos2 A B 4 5 3 5 C D 3 5 4 5 课标文数 7 C17 C1 C6C6 2011 课标全国卷 B 解析 解法 1 在角 终边上任取一 点P a 2a a 0 则r2 2 a2 2a 2 5a2 OP cos2 cos2 2cos2 1 1 a2 5a2 1 5 2 5 3 5 解法 2 tan 2 cos2 2a a cos2 sin2 cos2 sin2 1 tan2 1 tan2 3 5 课标数学 7 C67 C6 2011 江苏卷 已知 tan 2 则的值为 x 4 tanx tan2x 课标数学 7 C67 C6 2011 江苏卷 解析 因为 tan 2 所以 4 9 x 4 tanx tan2x 即 1 3 2 1 3 1 1 9 2 3 8 9 3 4 tanx tan2x 4 9 用心 爱心 专心19 课标理数 16 C716 C7 2011 广东卷 已知函数f x 2sin x R R 1 3x 6 1 求f的值 5 4 2 设 f f 3 2 求 cos 的值 0 2 3 2 10 13 6 5 课标理数 16 C716 C7 2011 广东卷 解答 1 f 2sin 5 4 1 3 5 4 6 2sin 42 2 f3 2sin 3 2sin 10 13 2 1 3 2 6 f 3 2 2sin 2sin 2cos 6 5 1 3 3 2 6 2 sin cos 又 5 13 3 5 0 2 cos 1 sin2 1 5 13 2 12 13 sin 1 cos2 1 3 5 2 4 5 故 cos cos cos sin sin 3 5 12 13 5 13 4 5 16 65 课标文数 16 C716 C7 2011 广东卷 已知函数f x 2sin x R R 1 3x 6 1 求f 0 的值 2 设 f f 3 2 求 sin 的值 0 2 3 2 10 13 6 5 课标文数 16 C716 C7 2011 广东卷 解答 1 f 0 2sin 6 2sin 1 6 2 f3 2sin 3 2sin 10 13 2 1 3 2 6 f 3 2 2sin 3 2 6 5 1 3 6 2sin 2cos 2 sin cos 又 5 13 3 5 0 2 cos 1 sin2 1 5 13 2 12 13 sin 1 cos2 1 3 5 2 4 5 故 sin sin cos cos sin 5 13 3 5 12 13 4 5 63 65 课标数学 15 C515 C5 C7C7 2011 江苏卷 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 用心 爱心 专心20 1 若 sin 2cosA 求A的值 A 6 2 若 cosA b 3c 求 sinC的值 1 3 课标数学 15 C515 C5 C7C7 2011 江苏卷 本题主要考查三角函数的基本关系式 两角和的 正弦公式 解三角形 考查运算求解能力 解答 1 由题设知 sinAcos cosAsin 2cosA 从而 sinA cosA 所以 6 63 cosA 0 tanA 因为 0 A 所以A 3 3 2 由 cosA b 3c及a2 b2 c2 2bccosA 1 3 得a2 b2 c2 故 ABC是直角三角形 且B 2 所以 sinC cosA 1 3 课标理数 15 C715 C7 2011 天津卷 已知函数f x tan 2x 4 1 求f x 的定义域与最小正周期 2 设 若f 2cos2 求 的大小 0 4 2 课标理数 15 C715 C7 2011 天津卷 解答 1 由 2x k k Z Z 得 4 2 x k Z Z 8 k 2 所以f x 的定义域为Error f x 的最小正周期为 2 2 由f 2cos2 得 tan 2cos2 2 cos2 sin2 2 4 sin a 4 cos 4 整理得 2 cos sin cos sin sin cos cos sin 因为 所以 sin cos 0 0 4 因此 cos sin 2 即 sin2 1 2 1 2 由 得 2 所以 2 即 0 4 0 2 6 12 用心 爱心 专心21 课标文数 16 C816 C8 2011 安徽卷 在 ABC中 a b c分别为内角A B C所对的边 长 a b 1 2cos B C 0 求边BC上的高 32 课标文数 16 C816 C8 2011 安徽卷 本题考查两角和的正弦公式 同角三角函数的基本关 系 利用正弦定理或余弦定理解三角形 以及三角形的边与角之间的对应大小关系 考查 综合运算求解能力 解答 由 1 2cos B C 0 和B C A 得 1 2cosA 0 cosA sinA 1 2 3 2 再由正弦定理 得 sinB bsinA a 2 2 由b a知B A 所以B不是最大角 B 从而 2 cosB 1 sin2B 2 2 由上述结果知 sinC sin A B 2 2 3 2 1 2 设边BC上的高为h 则有 h bsinC 3 1 2 课标理数 14 C814 C8 2011 安徽卷 已知 ABC的一个内角为 120 并且三边长构成公 差为 4 的等差数列 则 ABC的面积为 课标理数 14 C814 C8 2011 安徽卷 15 解析 不妨设 A 120 c b 则 3 a b 4 c b 4 于是 cos120 解得b 10 所以c 6 所以S bcsin120 15 b2 b 4 2 b 4 2 2b b 4 1 2 1 2 3 课标理数 9 C89 C8 2011 北京卷 在 ABC中 若b 5 B tanA 2 则 4 sinA a 课标理数 9 C89 C8 2011 北京卷 2 2 5 510 解析 因为 tanA 2 所以 sinA 再由正弦定理有 即 2 5 5 a sinA b sinB 可得a 2 a 2 5 5 5 2 210 课标文数 9 C89 C8 2011 北京卷 在 ABC中 若b 5 B sinA 则 4 1 3 a 课标文数 9 C89 C8 2011 北京卷 解析 由正弦定理有 即 5 2 3 a sinA b sinB 用心 爱心 专心22 得a a 1 3 5 2 2 5 2 3 大纲理数 17 17 C5C5 C8C8 2011 全国卷 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 已知A C 90 a c b 求C 2 大纲理数 17 C517 C5 C8C8 2011 全国卷 解答 由a c b及正弦定理可得 2 sinA sinC sinB 2 又由于A C 90 B 180 A C 故 cosC sinC sin A C 2 sin 90 2C 2 cos2C 2 故cosC sinC cos2C 2 2 2 2 cos 45 C cos2C 因为 0 C 90 所以 2C 45 C C 15 大纲文数 18 C818 C8 2011 全国卷 ABC的内角A B C的对边分别为 a b c asinA csinC asinC bsinB 2 1 求B 2 若A 75 b 2 求a c 大纲文数 18 C818 C8 2011 全国卷 解答 由正弦定理得a2 c2 ac b2 2 由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB 故 cosB 因此B 45 2 2 2 sinA sin 30 45 sin30 cos45 cos30 sin45 2 6 4 故a b 1 sinA sinB 2 6 23 c b 2 sinC sinB sin60 sin45 6 课标理数 14 C814 C8 图 1 5 2011 福建卷 如图 1 5 ABC中 AB AC 2 BC 2 点D在BC边上 3 ADC 45 则AD的长度等于 课标理数 14 C814 C8 2011 福建卷 答案 2 解析 在 ABC中 由余弦定理 有 cosC 则 ACB 30 AC2 BC2 AB2 2AC BC 2 3 2 2 2 2 3 3 2 在 ACD中 由正弦定理 有 AD sinC AC sin ADC 用心 爱心 专心23 AD 即AD的长度等于 AC sin30 sin45 2 1 2 2 222 课标文数 14 C814 C8 2011 福建卷 若 ABC的面积为 BC 2 C 60 则边AB的长 3 度等于 课标文数 14 C814 C8 2011 福建卷 2 解析 方法一 由S ABC AC BCsinC 得 1 2 AC 2sin60 解得AC 2 1 23 由余弦定理 得 AB2 AC2 BC2 2AC BCcos60 22 22 2 2 2 4 1 2 AB 2 即边AB的长度等于 2 方法二 由S AB C AC BCsinC 得 1 2 AC 2sin60 解得AC 2 1 23 AC BC 2 又 ACB 60 ABC是等边三角形 AB 2 即边AB的长度等于 2 课标理数 16 C816 C8 2011 湖北卷 设 ABC的内角A B C所对的边分别为a b c 已知a 1 b 2 cosC 1 4 1 求 ABC的周长 2 求 cos A C 的值 课标理数 16 C816 C8 2011 湖北卷 解答 1 c2 a2 b2 2abcosC 1 4 4 4 1 4 c 2 ABC的周长为a b c 1 2 2 5 2 cosC sinC 1 41 cos2C 1 1 4 2 15 4 sinA asinC c 15 4 2 15 8 a c A C 故A为锐角 cosA 1 sin2A 1 15 8 2 7 8 cos A C cosAcosC sinAsinC 7 8 1 4 15 8 15 4 11 16 课标文数 16 C816 C8 2011 湖北卷 设 ABC的内角A B C所对的边分别为a b c 已知a 1 b 2 cosC 1 4 1 求 ABC的周长 2 求 cos A C 的值 课标文数 16 C816 C8 2011 湖北卷 解答 1 用心 爱心 专心24 c2 a2 b2 2abcosC 1 4 4 4 1 4 c 2 ABC的周长为a b c 1 2 2 5 2 cosC sinC 1 41 cos2C 1 1 4 2 15 4 sinA asinC c 15 4 2 15 8 a c A C 故A为锐角 cosA 1 sin2A 1 15 8 2 7 8 cos A C cosAcosC sinAsinC 7 8 1 4 15 8 15 4 11 16 课标理数 17 C817 C8 C4C4 2011 湖南卷 在 ABC中 角A B C所对的边分别为 a b c 且满足csinA acosC 1 求角C的大小 2 求sinA cos的最大值 并求取得最大值时角A B的大小 3 B 4 课标理数 17 C817 C8 C4C4 2011 湖南卷 解答 1 由正弦定理得 sinCsinA sinAcosC 因为 0 A0 从而 sinC cosC 又 cosC 0 所以 tanC 1 则C 4 2 由 1 知 B A 于是 3 4 sinA cos sinA cos A 3 B 4 3 sinA cosA 2sin 3 A 6 因为 0 A 所以 A 从而当A 即A 时 2sin取 3 4 6 6 11 12 6 2 3 A 6 最大值 2 综上所述 sinA cos的最大值为 2 此时A B 3 B 4 3 5 12 课标文数 17 C817 C8 C4C4 2011 湖南卷 在 ABC中 角A B C所对的边分别为 a b c 且满足csinA acosC 1 求角C的大小 2 求sinA cos的最大值 并求取得最大值时角A B的大小 3 B 4 课标文数 17 C817 C8 C4C4 2011 湖南卷 解答 1 由正弦定理得 sinCsinA sinAcosC 因为 0 A0 从而 sinC cosC 又 cosC 0 所以 tanC 1 则C 4 2 由 1 知 B A 于是 3 4 用心 爱心 专心25 sinA cos sinA cos A 3 B 4 3 sinA cosA 2sin 3 A 6 因为 0 A 所以 A 0 由余弦定理 有 cos120 整理得x2 5x 24 0 52 x2 72 10 x 解得x 3 或x 8 舍去 即BC 3 所以S ABC AB BCsinB 5 3 sin120 5 3 1 2 1 2 1 2 3 2 15 3 4 课标文数 17 C817 C8 2011 山东卷 在 ABC中 内角A B C的对边分别为a b c 已 知 cosA 2cosC cosB 2c a b 1 求的值 sinC sinA 2 若 cosB ABC的周长为 5 求b的长 1 4 用心 爱心 专心27 课标文数 17 C817 C8 2011 山东卷 解答 1 由正弦定理 设 k a sinA b sinB c sinC 则 2c a b 2ksinC ksinA ksinB 2sinC sinA sinB 所以原等式可化为 cosA 2cosC cosB 2sinC sinA sinB 即 cosA 2cosC sinB 2sinC sinA cosB 化简可得 sin A B 2sin B C 又因为A B C 所以原等式可化为 sinC 2sinA 因此 2 sinC sinA 2 由正弦定理及 2 得c 2a sinC sinA 由余弦定理及 cosB 得 1 4 b2 a2 c2 2accosB a2 4a2 4a2 1 4 4a2 所以b 2a 又a b c 5 从而a 1 因此b 2 课标理数 18 F318 F3 C8C8 2011 陕西卷 叙述并证明余弦定理 课标理数 18 F318 F3 C8C8 2011 陕西卷 解答 余弦定理 三角形任何一边的平方等 于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍 或 在 ABC中 a b c 为A B C的对边 有 a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC 证法一 如图 1 9 图 1 9 a2 BC BC AC AB AC AB 2 2 2 AC AC AB AB 2 2 cosA 2 AC AC AB AB b2 2bccosA c2 即a2 b2 c2 2bccosA 同理可证b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC 用心 爱心 专心28 课标文数 18 F318 F3 C8C8 2011 陕西卷 叙述并证明余弦定理 课标文数 18 F318 F3 C8C8 2011 陕西卷 解答 余弦定理 三角形任何一边的平方等 于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍 或 在 ABC中 a b c为A B C的对边 有 a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC 证法一 如图 1 10 图 1 10 a2 BC BC AC AB AC AB 2 2 2 AC AC AB AB 2 2 cosA 2 AC AC AB AB b2 2bccosA c2 即 a2 b2 c2 2bccosA 同理可证 b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC 图 1 11 证法二 已知 ABC中 角A B C所对边分别为a b c 以A为原点 AB所在 直线为x轴建立直角坐标系 则C bcosA bsinA B c 0 a2 BC 2 bcosA c 2 bsinA 2 b2cos2A 2bccosA c2 b2sin2A b2 c2 2bccosA 同理可证 b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC 大纲文数 8 C88 C8 2011 四川卷 在 ABC中 sin2A sin2B sin2C sinBsinC 则A的 取值范围是 A B 0 6 6 用心 爱心 专心29 C D 0 3 3 大纲文数 8 C88 C8 2011 四川卷 C 解析 根据正弦定理有a2 b2 c2 bc 由余弦 定理可知a2 b2 c2 2bccosA 所以b2 c2 2bccosA b2 c2 bc 即有 cosA 所以 1 2 角A的取值范围为 选择 C 0 3 大纲理数 6 C86 C8 2011 四川卷 在 ABC中 sin2A sin2B sin2C sinBsinC 则A的 取值范围是 A B C D 0 6 6 0 3 3 大纲理数 6 C86 C8 2011 四川卷 C 解析 根据正弦定理有a2 b2 c2 bc 由余弦 定理可知a2 b2 c2 2bccosA 所以b2 c2 2bccosA b2 c2 bc 即有 cosA 所以 1 2 角A的取值范围为 选择 C 0 3 课标理数 6 C86 C8 2011 天津卷 如图 1 2 在 ABC中 D是边AC上的点 且 AB AD 2AB BD BC 2BD 则 sinC的值为 3 图 1 2 A B C D 3 3 3 6 6 3 6 6 课标理数 6 C86 C8 2011 天津卷 D 解析 设BD 2 则AB AD BC 4 在 3 ABD中 由余弦定理得 cos ADB AD2 BD2 AB2 2 AD BD 3 4 3 2 3 2 3 3 sin BDC 1 cos2 BDC 1 1 3 6 3 在 BDC中 由正弦定理得 4 sin BDC 2 sinC 即 sinC sin BDC 1 2 1 2 6 3 6 6 课标理数 18 C818 C8 2011 浙江卷 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 已知 sinA sinC psinB p R R 且ac b2 1 4 1 当p b 1 时 求a c的值 5 4 2 若角B为锐角 求p的取值范围 课标理数 18 C818 C8 2011 浙江卷 解答 1 由题设并利用正弦定理 得Error 解得Error 或Error 2 由余弦定理 b2 a2 c2 2accosB a c 2 2ac 2accosB p2b2 b2 b2cosB 即p2 cosB 1 2 1 2 3 2 1 2 用心 爱心 专心30 因为 0 cosB 1 得p2 由题设知p 0 所以 p 3 2 2 6 22 课标文数 5 C85 C8 2011