2011年东北三省四市数学教研协作体等值诊断联合考试全解全析 文

用心 爱心 专心 1 20112011 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试 20112011 年长春市高中毕业班第二次调研测试年长春市高中毕业班第二次调研测试 数学 文 试题数学 文 试题 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间为 120 分钟 其中第 卷 22 题 24 题为选考题 其它题为必考题 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 注意事项 1 答题前 考生必须将自己的姓名 准考证号码填写清楚 将条形码准确粘贴在条形 码区域内 2 选择题必须用 2B 铅笔填涂 非选择题必须使用 0 5 毫米黑色字迹的签字笔书写 字 体工整 笔迹清楚 3 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答 超出答题区域书写的答案无效 在草 稿纸 试题卷上答题无效 4 保持卡面清洁 不要折叠 不要弄破 不准使用涂改液 刮纸刀 参考公式 样本数据的标准差 12 n x xx 其中为样本的平均数 222 12 1 n sxxxxxx n x 柱体体积公式 其中是柱体的底面积 为高 VSh Sh 锥体体积公式 其中是锥体的底面积 为高 1 3 VSh Sh 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题包括 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 请将正确选项填涂在答题卡上 1 已知复数在复平面内对应的点在二 四象限的角平分线上 则实数的值为 ai i i a A 2B 1C 0D 2 2 已知集合 则图中阴影部分表示的集合为 30 Mxx Z 11 Nxx Z A 2 B 2 1 C 2 1 0 D 2 1 0 1 3 已知向量若与平行 则实数的值是 1 1 2 abx ab 42ba x A 2B 0C 1D 2 4 若点在直线上 则 cos sin P 2yx sin22cos2 A B C D 14 5 7 5 2 4 5 5 已知是首项为 1 的等比数列 是的前项和 且 则数列的 n a n S n a n36 9SS 1 n a 前 5 项和为 M N U 用心 爱心 专心 2 A B 16 31 C 8 15 D 85 32 85 2 6 将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折叠 其正视图和俯视图如图所示 此时连结顶 点 B D 形成三棱锥 B ACD 则其侧视图的面积为 A 1B 1 2 C D 1 4 1 8 7 已知 则点落在区域内的概率为 1 1 0 2 xy P x y 220 210 20 xy xy xy A B C D 3 16 3 8 3 4 3 2 8 某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查 设平均每 人每天做作业的时间为分钟 有 1000 名小学生参加了此项调x 查 调查所得数据用程序框图处理 若输出的结果是 680 则 平均每天做作业的时间在 0 60 分钟内的学生的频率是 A 680B 320 C 0 68D 0 32 9 已知定义域为的偶函数在上是减函数 R f x 0 且 则不等式的解集为 1 0 2 f 2 log 0fx A B 2 0 2 2 2 C D 1 0 2 2 1 0 2 10 气象学院用32000 元买了一台天文观测仪 已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用 第 天的维修保养费为元 使用它直至 报废最合算 所谓 报废最合算 是指n 10 4 9 n n N 使用的这台仪器的平均每天耗资最少 为止 一共使用了 A 600 天B 800 天C 1000 天D 1200 天 11 四棱锥的底面为正方形 且垂直于PABCD ABCDPD 底面 为中点 则三棱锥与四棱锥ABCDNPBPANC 的体积比为PABCD A 1 2B 1 3 C 1 4D 1 8 12 已知函数定义域为 且方程在上有两个不等实根 则 21f xxk D f xx D 的取值范围是k A B 1C D 1 1k 1 2 1 2 k1k k 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题包括 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把正确答案填在答题卡中的横线上 13 若命题 为假命题 则实数的取值范围是 2 2390 xxax Ra 14 依此类 1234 212 21 33 4 21 3 54 5 6 21 3 5 75 6 7 8 开始 输入x 60 x T 1 T 1000 T S 1 S 输出S 结束 否 是 否 是 0 S1 T A B CD P N 正视图 俯视图 A B C D 用心 爱心 专心 3 推 第个等式为 n 15 给出下列六种图象变换方法 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 1 2 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 图象向右平移 个单位 图象向左平移 个单位 3 3 图象向右平移个单位 图象向左平移个单位 2 3 2 3 请用上述变换中的两种变换 将函数的图象变换到函数 y sin 的图象 那sinyx x 2 3 么这两种变换的序号依次是 填上一种你认为正确的答案即可 16 设椭圆的下 上顶点分别为 B1 B2 若点 P 为椭圆上的一点 且 22 22 1 0 xy ab ab 直线 PB1 PB2的斜率分别为和 1 则椭圆的离心率为 1 4 三 解答题 本大题包括 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 在海岛上有一座海拔 1km 的山峰 山顶设有A 一个观察站 有一艘轮船按一固定方向做匀速P 直线航行 上午 11 00 时 测得此船在岛北偏东 俯角为的处 到 11 10 时 又测得15 30 B 该船在岛北偏西 俯角为的处 45 60 C 1 求船的航行速度 2 求船从到行驶过程中与观察站的最短距离 BCP 18 本小题满分 12 分 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况 从 本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测 试 成绩在 8 0 米 精确到 0 1 米 以上的为合格 把所得数据进行整理后 分成 6 组画出频 率分布直方图的一部分 如图 已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0 04 0 10 0 14 0 28 0 30 第 6 小组的频数是 7 1 求这次铅球测试成绩合格的人数 2 若由直方图来估计这组数据的中位数 指出它在第几组内 并说明理由 3 若参加此次测试的学生中 有 9 人的成绩为优秀 现在要从成绩优秀的学生中 随 机选出 2 人参加 毕业运动会 已知 的成绩均为优秀 求两人至少有 1 人入选的ab 概率 P A C B 北 东 用心 爱心 专心 4 19 本小题满分 12 分 如图 在三棱柱中 111 ABCABC ACBC 1 ABBB 为的中点 且 1 ACBCBB D AB 1 CDDA 1 求证 平面 1 BC 1 DCA 2 求与平面所成角的大小 1 BC 11 ABB A 20 本小题满分 12 分 已知两点 分别在直线和上运动 且 动点满足AByx yx 4 5 5 AB P 为坐标原点 点的轨迹记为曲线 2OPOAOB OPC 1 求曲线的方程 C 2 过曲线上任意一点作它的切线 与椭圆交于 M N 两点 Cl 2 2 1 4 x y 求证 为定值 OM ON 21 本小题满分 12 分 已知函数 2 2 x x xx e f xg x ee 1 求函数的单调区间和极值 f x 2 求证 当时 1x f xg x 3 如果 且 求证 12 xx 12 f xf x 12 2 f xfx 请考生在 22 23 24 三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 AB 是 O 的直径 弦 BD CA 的延长线相交于点 E EF 垂直 BA 的延长线于点 F 求证 1 DFADEA 2 AB2 BE BD AE AC A B B A CC D 1 1 1 E F A C B O D 用心 爱心 专心 5 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系中 以原点为极点 以轴非负半轴为xOyOx 极轴 与直角坐标系取相同的长度单位 建立极坐标系 xOy 设曲线参数方程为 为参数 直线 的极坐标方程为 C 3cos sin x y l cos 2 2 4 1 写出曲线的普通方程和直线 的直角坐标方程 Cl 2 求曲线上的点到直线 的最大距离 Cl 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知 a b 求证 f a f b 0 g k 2 1 0 2 3 2 1 k k k 解得 又 综上 1k 21xxk xkk 1 2 1k 1 2 二 填空题 本大题包括4 小题 每小题5 分 共20 分 13 2 2 2 2 14 21 3 21 1 2 2 n nnnn 15 或 填出其中一种即可 16 3 2 简答与提示 13 原命题的否定形式为 0 为真命题 即 2 2 2 2 2 239xxax R 0 恒成立 只需 0 解得 2 239xax 2 3 4 2 9a a 2 2 2 2 14 21 3 21 1 2 2 n nnnn A B CD P N Ox y m n P 2 1 2 1 用心 爱心 专心 7 15 或 填出其中一种即可 y sinxy sin x y sin 或 4 3 2 x 2 3 y sinxy sin xy sin x sin 2 1 2 6 1 2 2 3 x 2 3 16 解得交点 代入椭圆得 3 2 1 1 4 B P yxb 2 B P yxb 83 55 bb P 解得 2 2 649 1 2525 b a 2ab 2 33 1 42 b e a 三 解答题 本大题必做题 5 小题 三选一选 1 小题 共 70 分 17 本小题满分12分 命题意图 本小题主要考查解三角形的有关知识及空间想象能力 具体涉及到余弦定 理 正弦定理 三角形的面积公式 试题解析 解 设船速为km h 则km x 6 x BC 在 中 与俯角相等为30 RtPABPBA 1 3 tan30 AB 同理 中 4分 RtPCA 13 tan603 AC 在 中 15 45 60 ACBCAB 由余弦定理得 22 3321 3 23cos60 333 BC km h 船的航行速度为km h 6分 21 62 21 3 x 2 21 方法一 作于点 当船行驶到点时 最小 从而最小 ADBC DDADPD 此时 10分 33 3 sin603 32 7 1421 3 AB AC AD BC PD 2 3259 1 7 1414 船在行驶过程中与观察站的最短距离为km 12分 P 259 14 方法二 由 知在 中 由正弦定理 ACB sinsin60 ACBC B 8分 33 21 32 sin 1421 3 B 作于点 当船行驶到点时 最小 从而最小 ADBC DDADPD 此时 10分 213 sin37 1414 ADABB PD 2 3259 1 7 1414 用心 爱心 专心 8 船在行驶过程中与观察站的最短距离为km 12分 P 259 14 18 本小题满分 12 分 命题意图 本小题主要考查统计与概率的相关知识 具体涉及到频率分布直方图 中位 数及古典概型等内容 试题解析 解 1 第 6 小组的频率为 1 0 04 0 10 0 14 0 28 0 30 0 14 此次测试总人数为 人 7 50 0 14 第 4 5 6 组成绩均合格 人数为 0 28 0 30 0 14 50 36 人 4 分 2 直方图中中位数两侧的面积相等 即频率相等 前三组的频率和为 0 28 前四组的频率 和为 0 56 中位数位于第 4 组内 8 分 3 设成绩优秀的 9 人分别为则选出的 2 人所有可能的情况为 a b c d e f g h k ab ac ad ae af ag ah ak bc bd be bf bg bh bk cd ce cf cg ch ck de df dg dh dk ef eg eh ek fg fh fk gh gkhk 共 36 种 其中 到少有 1 人入选的情况有 15 种 ab 两人至少有 1 人入选的概率为 12 分 ab 155 3612 P 19 本小题满分 12 分 命题意图 本小题主要考查立体几何的相关知识及空间想象能力 具体涉及到线面的 平行关系 线面角的求法 试题解析 证明 如图一 连结与交于点 连结 1 AC 1 ACKDK 在 中 为中点 4 分 1 ABCDKDK 1 BC 又平面 平面 平面 6 分 DK 1 DCA 1 BC 1 DCA 1 BC 1 DCA A B B A CC D 1 1 1 K A B B A CC D 1 1 1 E A B B A CC D 1 1 1 K F 图一 图二 图三 证明 方法一 如图二 为的中点 ACBC D ABCDAB 又 平面 8 分 1 CDDA 1 ABDAD CD 11 ABB A 取的中点 又为的中点 平行且相等 11 ABEDABDE 1 BB 1 CC 是平行四边形 平行且相等 1 DCC E 1 C ECD 又平面 平面 即所求角 10 分 CD 11 ABB A 1 C E 11 ABB A 1 EBC 由前面证明知平面 CD 11 ABB A 1 CDBB 又 平面 此三棱柱为直棱柱 1 ABBB ABCDD 1 BB ABC 设 12 分 1 2 ACBCBB 1 2 2BC 1 2EC 1 EBC30 方法二 如图三 为的中点 ACBC D ABCDAB 又 平面 8 分 1 CDDA 1 ABDAD CD 11 ABB A 取的中点 则 平面 1 DAFKFCDKF 11 ABB A 即与平面所成的角 10 分 KDF 1 BC 11 ABB A 用心 爱心 专心 9 由前面证明知平面 CD 11 ABB A 1 CDBB 又 平面 此三棱柱为直棱柱 1 ABBB ABCDD 1 BB ABC 设 12 分 1 2 ACBCBB 2 2 KF 2DK 30KDF 20 本小题满分 12 分 命题意图 本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力 具体涉及到轨迹方程的 求法及直线与圆 椭圆的相关知识 试题解析 解 方法一 设 1122 P x yA x xB xx 是线段的中点 2 分 2OPOAOB PAB 12 12 2 2 xx x xx y 4 5 5 AB 22 1212 16 5 xxxx 22 16 2 2 5 yx 化简得点的轨迹的方程为 5 分 PC 22 4 5 xy 方法二 为线段的中点 2 分 2OPOAOB PAB 分别在直线和上 MNyx yx 90AOB 又 点在以原点为圆心 为半径的圆上 4 5 5 AB 2 5 5 OP P 2 5 5 点的轨迹的方程为 5 分 PC 22 4 5 xy 证明 当直线 l 的斜率存在时 设 l y kx m l 与 C 相切 m 1 k2 2 5 5 22 4 1 5 mk 联立 22 44 ykxm xy 222 2222 1 4 844 0 1 4 240 kxmkxm kymy mk 设 M x1 y1 N x2 y2 则 x1 x2 8 分 4m2 4 1 4k2 22 12 2 4 14 mk y y k x1x2 y1y2 OM ON 5m2 4k2 4 1 4k2 又 0 10 分 22 4 1 5 mk OM ON 当直线 l 的斜率不存在时 l 的方程为 x 带入椭圆方程得 2 5 5 M N 或 M N 2 5 5 2 5 5 2 5 5 2 5 5 2 5 5 2 5 5 2 5 5 2 5 5 此时 0 OM ON 4 5 4 5 综上所述 为定值 0 12 分 OM ON 用心 爱心 专心 10 21 本小题满分 12 分 命题意图 本小题主要考查函数与导数的综合应用能力 具体涉及到用导数来研究函 数的单调性 极值 并考查数学证明 试题解析 解 2 分 f x x x e fx 1 x x e 令 0 解得 fx 1x x 1 1 1 fx 0 f x 极大值 e 1 在内是增函数 在内是减函数 3 分 f x 1 1 当时 取得极大值 4 分 1x f x 1 f 1 e 证明 则 2 2 x x xx e F xf xg x ee 令 6 分 F x 22 22 1 1 1 xx xx xexx ee eee 当时 0 2 从而 0 1x 1x 2x 22x ee 0 在是增函数 F x F x 1 8 分 11 1 0 1 F xFxf xg x ee 故当时 证明 在内是增函数 在内是减函数 f x 1 1 当 且时 不可能在同一单调区间内 12 xx 12 f xf x 1 x 2 x 不