2012年高考数学一轮复习 单元能力测试卷4

用心 爱心 专心 1 第四章第四章 单元能力测试卷单元能力测试卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 在等差数列 an 中 a1 3a8 a15 120 则 2a9 a10的值为 A 24 B 22 C 20 D 8 答案 A 解析 a1 3a8 a15 5a8 120 a8 24 2a9 a10 2 a8 d a8 2d a8 24 2 在等比数列 an 中 若a3a5a7a9a11 243 则的值为 a2 9 a11 A 9 B 1 C 2 D 3 答案 D 解析 由等比数列性质可知a3a5a7a9a11 a 243 所以得a7 3 又 a7 5 7 a2 9 a11 a7a11 a11 故选 D 3 夏季高山上气温从山脚起每升高 100 m 降低 0 7 已知山顶的气温是 14 1 山脚的气温是 26 那么 此山相对于山脚的高度是 A 1500 m B 1600 m C 1700 m D 1800 m 答案 C 4 设函数f x 满足f n 1 n N 且f 1 2 则f 20 2f n n 2 A 95 B 97 C 105 D 192 答案 B 解析 f n 1 f n Error n 2 累加得 f 20 f 1 f 1 97 1 2 2 2 19 2 19 20 4 5 若a ay a a 0 且a 1 成等比数列 则点 x y 在平面直角坐标系 x 1x 1 内的轨迹位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 用心 爱心 专心 2 答案 D 解析 成等比 ay 2 a a x 1x 1 即 2y x 1x 1 x 1 0 x 1 x 1 x 1 y 0 位于第四象限 6 已知等比数列 an 的公比qa8S9 B a9S80 q0 即a9S8 a8S9 故选 A 2 12 1 7 若m n m n成等差数列 m n m n成等比数列 则椭圆 1 的离心率为 x2 m y2 n A B 1 2 2 2 C D 3 2 3 3 答案 B 解析 由题意知 2n m m n n 2m n2 m m n n m2 m2 2m m 2 n 4 a2 4 b2 2 c2 2 e c a 2 2 8 设等比数列 an 的前n项和是Sn 且a1 a2 2 a2 a3 1 那么Sn的值为 lim n A B 8 3 4 3 C D 3 2 2 3 答案 A 解析 易求q a1 Sn 1 2 4 3 lim n a1 1 q 8 3 9 首项为 1 公差不为 0 的等差数列 an 中 a3 a4 a6是一个等比数列的前三项 则 用心 爱心 专心 3 这个等比数列的第四项是 A 8 B 8 C 6 D 不确定 答案 B 解析 a a3 a6 1 3d 2 1 2d 1 5d 2 4 d d 1 0 d 1 a3 1 a4 2 q 2 a6 a4 q 4 第四项为a6 q 8 10 数列 an 中 Sn为其前n项和 已知S1 1 S2 2 且Sn 1 3Sn 2Sn 1 0 n N 且n 2 则此数列为 A 等差数列 B 等比数列 C 从第二项起为等差数列 D 从第二项起为等比数列 答案 D 解析 Sn 1 3Sn 2Sn 1 0 Sn 1 Sn 2Sn 2Sn 1 an 1 2an 又a1 1 a2 1 从第二项起为等比数列 11 等差数列 an bn 的前n项和分别为Sn与Tn 若 则 等于 Sn Tn 2n 3n 1 lim n an bn A 1 B 6 3 C D 2 3 4 9 答案 C 解析 根据等差数列性质有 an a1 a2n 1 S2n 1 1 2 1 2n 1 bn b1 b2n 1 T2n 1 1 2 1 2n 1 故 lim n an bn lim n S2n 1 T2n 1 lim n 4n 2 6n 2 lim n 2 1 n 3 1 n 2 3 12 定义 在数列 an 中 若满足 d n N d为常数 我们称 an 为 an 2 an 1 an 1 an 用心 爱心 专心 4 等差比数列 已知在 等差比数列 an 中 a1 a2 1 a3 2 则的个位数字是 a2009 a2006 A 3 B 4 C 6 D 8 答案 C 解析 由a1 a2 1 a3 2 得 1 d 设 bn 则bn 1 bn 1 且b1 1 a3 a2 a2 a1 an 1 an bn n 即 n an 1 an an a1 1 1 2 3 n 1 a2 a1 a3 a2 an an 1 2006 2007 2008 它的个位数字是 6 a2009 a2006 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中横线上 13 等比数列 an 的首项为a1 1 前n项和为Sn 若 则公比q等于 S10 S5 31 32 答案 1 2 解析 所以 即q5 5 所以q S10 S5 31 32 S10 S5 S5 31 32 32 1 32 1 2 1 2 14 某人从 2009 年 1 月份开始 每月存入银行 100 元 月利率是 3 不计复利 到 2009 年 12 月底取出的本利和应是 元 答案 1223 4 解析 应为 1200 0 3 12 0 3 11 0 3 1200 0 3 1223 4 元 12 13 2 15 已知等差数列 an 中 a3 a8 a5 则S11 答案 0 解析 a3 a8 a5 a6 a5 a6 a5 a6 0 S11 11 a6 0 11 a1 a11 2 11 2a6 2 16 数列 an 中 a1 1 an an 1是方程x2 2n 1 x 0 的两个根 则数列 bn 1 bn 的前n项和Sn等于 答案 n n 1 解析 an an 1 2n 1 anan 1 bn 由a1 1 得 1 bn 1 anan 1 用心 爱心 专心 5 a2 2 a3 3 S1 S2 可得 1 b1 1 a1a2 1 2 1 b1 1 b2 1 a1a2 1 a2a3 1 1 2 1 2 3 2 3 Sn n n 1 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 在等比数列 an 中 已知a3 1 S3 4 求a1与q 1 2 1 2 解析 当q 1 时 S3 3a3成立 此时a1 3 2 当q 1 时 由题意 Error 解得a1 6 q 所以Error 或Error 1 2 18 本小题满分 12 分 已知数列 an 成等差数列 Sn表示它的前n项和 且 a1 a3 a5 6 S4 12 1 求数列 an 的通项公式an 2 数列 anSn 中 从第几项开始 含此项 以后各项均为正整数 解析 1 由题意知Error 解得Error an 2n 8 n N 2 anSn 2n 8 n2 7n 2n 8 从第 5 项起为负数 n2 7n从第 8 项起为负数 an Sn从第 8 项起 恒为正整数 19 本小题满分 12 分 2010 山东卷 理 已知等差数列 an 满足 a3 7 a5 a7 26 an 的前n项和为Sn 1 求an及Sn 2 令bn n N 求数列 bn 的前n项和Tn 1 a2n 1 解析 1 设等差数列 an 的首项为a1 公差为d 由于a3 7 a5 a7 26 所以a1 2d 7 2a1 10d 26 解得a1 3 d 2 由于an a1 n 1 d Sn n a1 an 2 所以an 2n 1 Sn n n 2 2 因为an 2n 1 所以a 1 4n n 1 2n 因此bn 1 4n n 1 1 4 1 n 1 n 1 用心 爱心 专心 6 故Tn b1 b2 bn 1 1 4 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n 1 1 1 4 1 n 1 n 4 n 1 所以数列 bn 的前n项和Tn n 4 n 1 20 本小题满分 12 分 已知数列 an a1 1 an an 1 2 n 2 1 当 为何值时 数列 an 可以构成公差不为零的等差数列 并求其通项公式 2 若 3 令bn an 求数列 bn 的前n项和Sn 1 2 解 1 a2 a1 2 2 2 a3 a2 2 2 2 2 2 2 2 2 a1 a3 2a2 1 2 2 2 2 2 2 得 2 2 5 3 0 解得 1 或 3 2 当 时 a2 2 2 1 a1 a2 故 不合题意舍去 3 2 3 2 3 2 当 1 时 代入an an 1 2 可得an an 1 1 数列 an 构成首项为a1 1 d 1 的等差数列 an 2 n 2 当 3 时 an 3an 1 1 即an 3 an 1 即bn 3bn 1 1 2 1 2 数列 bn 构成首项为b1 公比为 3 的等比数列 3 2 bn 3n 1 3 2 3n 2 Sn 3n 1 3 2 1 3n 1 3 3 4 21 本小题满分 12 分 2010 四川卷 文 已知等差数列 an 的前 3 项和为 6 前 8 项 和为 4 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn 4 an qn 1 q 0 n N 求数列 bn 的前n项和Sn 解析 1 设 an 的公差为d 由已知得Error 用心 爱心 专心 7 解得a1 3 d 1 故an 3 n 1 4 n 2 由 1 的解答可得 bn n qn 1 于是 Sn 1 q0 2 q1 3 q2 n qn 1 若q 1 将上式两边同乘以q有qSn 1 q1 2 q2 n 1 qn 1 n qn 两式相减得到 q 1 Sn nqn 1 q1 q2 qn 1 nqn qn 1 q 1 nqn 1 n 1 qn 1 q 1 于是 Sn nqn 1 n 1 qn 1 q 1 2 若q 1 则Sn 1 2 3 n n n 1 2 所以 Sn Error 22 本小题满分 12 分 已知数列 an 的前n项和为Sn 且满足Sn n 2an n N 1 证明 数列 an 1 为等比数列 并求数列 an 的通项公式 2 若bn 2n 1 an 2n 1 数列 bn 的前n项和为Tn 求满足不等式 2010 的n Tn 2 2n 1 的最小值 解析 1 因为Sn n 2an 所以Sn 1 2an 1 n 1 n 2 n N 两式相减得 an 2an 1 1 所以an 1 2 an 1 1 n 2 n N 所以数列 an 1 为等比数列 因为Sn n 2an 令n 1 得a1 1 a1 1 2 所以an 1 2n 所以an 2n 1 2 因为bn 2n 1 an 2n 1 所以bn 2n 1 2n 所以Tn 3 2 5 22 7 23 2n 1 2n 1 2n 1 2n 2Tn 3 22 5 23 2n 1 2n 2n 1 2n 1 得 Tn 3 2 2 22 23 2n 2n 1 2n 1 6 2 2n 1 2n 1 22 2n 1 1 2 2 2n 2 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 所以Tn 2 2n 1 2n 1 若 2010 Tn 2 2n 1 则 2010 即 2n 1 2010 2 2n 1 2n 1 2n 1 用心 爱心 专心 8 由于 210 1024 211 2048 所以n 1 11 即n 10 所以满足不等式 2010 的n的最小值是 10 Tn 2 2n 1 1 2010 江西卷 文 等比数列 an 中 a1 1 a5 8a2 a5 a2 则an A 2 n 1 B 2 n 1 C 2 n D 2 n 答案 A 解析 记数列 an 的公比为q 由a5 8a2 得a1q4 8a1q 即q 2 由 a1 1 得a1 1 当a1 1 时 a5 16a2 2 符合题意 故an a1qn 1 2 n 1 2 曲线y 上存在不同的三点到点 2 0 的距离构成等比数列 则构成的等比数 1 x2 列的公比不可能是 A B 3 2 3 3 C D 1 23 答案 C 解析 易知曲线y 是半圆 不妨设点 2 0 到曲线y 上不同的三点的距 1 x21 x2 离分别为d1 d2 d3 它们构成的等比数列的公比为q 不妨令d3 d1q2 显然 1 d3 3 所 以 q2 又 1 d1 3 所以 q q不能取到 故选 C 1 d1 3 d1 3 33 1 2 3 已知数列 an 满足a1 且对任意的正整数m n 都有am n am an 则等于 2 3 an n A B 1 2 2 3 C D 2 3 2 答案 B 解析 令m 1 得an 1 a1 an 即an 1 an a1 可知数列 an 是首项为a1 2 3 2 3 公差为d 的等差数列 于是an n 1 n 即 故选 B 2 3 2 3 2 3 2 3 an n 2 3 用心 爱心 专心 9 4 设 an 是以 2 为首项 1 为公差的等差数列 bn 是以 1 为首项 2 为公比的等比数 列 记Mn ab1 ab2 abn 则 Mn 中不超过 2009 的项的个数为 A 8 B 9 C 10 D 11 答案 C 解析 由题易得an n 1 bn 2n 1 所以 Mn ab1 ab2 ab3 abn a1 a2 a4 a2n 1 1 1 2 1 4 1 2n 1 1 1 2 4 2n 1 n n 2n n 1 Mn 2009 即 1 2n 1 2 2n n 1 2009 n 10 故选 C 5 已知数列 an 的前n项和为Sn 且a1 1 nan 1 n 2 Sn n 1 2 3 1 求证 数列 为等比数列 并由此求出Sn Sn n 2 若数列 bn 满足 b1 n N 试求数列 bn 的通项公式 1 2 bn 1 n 1 bn Sn n 解析 1 由nan 1 n 2 Sn得n Sn 1 Sn n 2 Sn 即 2 数列 Sn 1 n 1 Sn n Sn n 是首项为 a1 1 公比为 2 的等比数列 2n 1 Sn n2n 1 S1 1 Sn n 2 由条件得 2n 1 设cn 则c1 当n 2 时 bn 1 n 1 bn n2n 1 n bn n bn n 1 2 cn c1 c2 c1 c3 c2 cn cn 1 2 1 20 21 2n 2 2n 1 当n 1 1 2 时 也满足上式 cn 2n 1 n N 从而bn ncn 2n 1 1 2 n 2 6 已知正项数列 an 满足a nan 1 0 n N n n 1 求a1 a2 2 求证 0 anan 1 解析 1 解 a nan 1 0 n N n n 令n 1 得a1 a1 1 0 a1 1 2 令n 2 得a 2a2 1 0 2 2 a2 1 an 0 a2 1 22 2 证明 a nan 1 0 n n an是方程xn nx 1 0 的一个根 设f x xn nx 1 用心 爱心 专心 10 则f 0 10 方程f x 0 在 0 1 内至少有一个根 f x nxn 1 n 0 f x 在 0 上是增函数 方程f x 0 在 0 上有唯一的根 且根在 0 1 内 an 0 1 0 an 1 3 证明 a nan 1 0 n n a n 1 an 1 1 0 n 1n 1 两式相减得a a n 1 an 1 nan 0 n 1n 1n n 若an an 1 0 ana n n 从而有a a n 1 an 1 nan a a n 1 an nan a an a a n 1n 1