2015江苏高考向量复习

大方向教育大方向教育 值得您信赖的专业化个性化辅导学校值得您信赖的专业化个性化辅导学校 1 大方向教育个性化辅导教案大方向教育个性化辅导教案 教师 徐琨 学生 学科 数学 时间 课课 题 课型 题 课型 平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算 教学方法 教学方法 知识梳理 例题讲解 归纳总结 巩固训练 最新考纲 1 了解向量的实际背景 2 理解平面向量的概念 理解两个向量相等的含义 3 理解向量的几何表示 4 掌握向量加法 减法的运算 并理解其几何意义 5 掌握向量数乘的运算及其几何意义 理解两个向量共线的含义 6 了解向量线性运算的性质及其几何意义 知 识 梳 理 1 向量的有关概念 名称定义备注 平行向量方向相同或相反的非零向量 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向 量 0 与任一向量平行或共线 相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等 不能比较大小 相反向量长度相等且方向相反的向量0 的相反向量为 0 2 向量的线性运算 向量 运算 定 义法则 或几何意义 运算律 加法 求两个向量 和的运算三角形法则 平行四边形法则 1 交换律 a a b b b b a a 2 结合律 a a b b c c a a b b c c 大方向教育大方向教育 值得您信赖的专业化个性化辅导学校值得您信赖的专业化个性化辅导学校 12 减法 求a a与b b的 相反向量 b b的和的 运算叫做 a a与b b的差 三角形法则 a a b b a a b b 数乘 求实数 与 向量a a的积 的运算 1 a a a a 2 当 0 时 a a的方向与a a 的方向相同 当 0 时 a a 的方向与a a的方向相反 当 0 时 a a 0 a a a a a a a a a a a a b b a a b b 3 共线向量定理 向量a a a a 0 与b b共线的充要条件是存在唯一一个实数 使得b b a a 辨 析 感 悟 1 对共线向量的理解 1 若向量 a b 共线 则向量 a b 的方向相同 2 若 a b b c 则 a c 3 2013 郑州调研改编 设 a 与 b 是两个不共线向量 且向量 a b 与 2a b 共线 则 1 2 4 2013 陕西卷改编 设 a b 为向量 则 a b a b 是 a b 的充分必要条件 2 对向量线性运算的应用 5 AB BC CD AD 6 教材习题改编 在 ABC 中 D 是 BC 的中点 则 AD 1 2 AC AB 学生用书 第 69 页 感悟 提升 1 一个区别 两个向量共线与两条线段共线不同 前者的起点可以不同 而后者必须在 同一直线上 同样 两个平行向 量与两条平行直线也是不同的 因为两个平行向量可以移到同一直线上 2 两个防范 一是两个向量共线 则它们的方向相同或相反 如 1 二是注重零向量 大方向教育大方向教育 值得您信赖的专业化个性化辅导学校值得您信赖的专业化个性化辅导学校 1 的特殊性 如 2 考点一 平面向量的有关概念 例 1 给出下列命题 若 a b 则 a b 若 A B C D 是不共线的四点 则 是四边形 ABCD AB DC 为平行四边形的充要条件 若 a b b c 则 a c a b 的充要条件是 a b 且 a b 其中真命题的序号是 规律方法 对于向量的概念应注意以下几条 1 向量的两个特征 有大小和方向 向量既可以用有向线段和字母表示 也可以用坐标 表示 2 相等向量不仅模相等 而且方向要相同 所以相等向量一定是平行向量 而平行向量 则未必是相等向量 3 向量与数量不同 数量可以比较大小 向量则不能 但向量的模是非负实数 故可以 比较大小 训练 1 设 a0为单位向量 若 a 为平面内的某个向量 则 a a a0 若 a 与 a0平 行 则 a a a0 若 a 与 a0平行且 a 1 则 a a0 上述命题中 假命题的个数是 考点二 平面向量的线性运算 例 2 如图 在平行四边形 OADB 中 设 a b B 试 OA OB M 1 3 BC CN 1 3 CD 用 a b 表示 及 OM O N MN 大方向教育大方向教育 值得您信赖的专业化个性化辅导学校值得您信赖的专业化个性化辅导学校 1 规律方法 1 进行向量运算时 要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中 充分 利用相等向量 相反向量 三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质 把未知 向量用已知向量表示出来 2 向量的线性运算类似于代数多项式的运算 实数运算中的去括号 移项 合并同类项 提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用 训练 2 2013 四川卷 如图 在平行四边形 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 交于点 O 则 AB AD AO 考点三 向量共线定理及其应用 例 3 2013 郑州一中月考 设两个非零向量 a 与 b 不共线 1 若 a b 2a 8b 3 a b 求证 A B D 三点共线 AB BC CD 2 试确定实数 k 使 ka b 和 a kb 共线 训练 3 2014 西安模拟 已知向量 a b 不共线 且 c a b d a 2 1 b 若 c 与 d 同向 则实数 的值为 1 向量的加 减法运算 要在所表达的图形上多思考 多联系相关的几何图形 比如平 行四边形 菱形 三角形等 可多记忆一些有关的结论 2 对于向量共线定理及其等价定理 关键要理解为位置 共线或不共线 与向量等式之间 所建立的对应关系 要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式 b a 再结合条件或图形有无公共点证明几何位置 方法优化 3 准确把握平面向量的概念和运算 大方向教育大方向教育 值得您信赖的专业化个性化辅导学校值得您信赖的专业化个性化辅导学校 1 典例 2012 浙江卷 设 a b 是两个非零向量 A 若 a b a b 则 a b B 若 a b 则 a b a b C 若 a b a b 则存在实数 使得 b a D 若存在实数 使得 b a 则 a b a b 反思感悟 部分学生做错的主要原因是 题中的条件 a b a b 在处理过程中误 认为 a b a b 从而得到 a b 这个错误的结论 自主体验 在 OAB 中 a b OD 是 AB 边上的高 若 则实数 OA OB AD AB A B C D a a b a b a b a a b a a b a b 2 a b a a b 2 基础巩固题组 一 填空题 1 2014 湖州月考 给出下列命题 向量的长度与向量的长度相等 AB BA 向量 a 与 b 平行 则 a 与 b 的方向相同或相反 两个有共同起点而且相等的向量 其终点必相同 两个有公共终点的向量 一定是共线向量 向量与向量是共线向量 则点 A B C D 必在同一条直线上 AB CD 其中不正确命题的序号是 2 2014 泰安模拟 设 a b 是两个不共线向量 2a pb a b a 2b AB BC CD 若 A B D 三点共线 则实数 p 的值为 3 在 ABCD 中 a b 3 M 为 BC 的中点 则 用 AB AD AN NC MN 大方向教育大方向教育 值得您信赖的专业化个性化辅导学校值得您信赖的专业化个性化辅导学校 1 a b 表示 二 解答题 4 在 ABC 中 D E 分别为 BC AC 边上的中点 G 为 BE 上一点 且 GB 2GE 设 a b 试用 a b 表示 AB AC AD AG 5 若 a b 是两个不共线的非零向量 a 与 b 起点相同 则当 t 为何值时 a tb a b 1 3 三向量的终点在同一条直线上 6 在 ABC 中 E F 分别为 AC AB 的中点 BE 与 CF 相交于 G 点 设 a b 试用 a b 表示 AB AC AG 平面向量基本定理及坐标表示 最新考纲 1 了解平面向量的基本定理及其意义 大方向教育大方向教育 值得您信赖的专业化个性化辅导学校值得您信赖的专业化个性化辅导学校 1 2 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3 会用坐标表示平面向量的加法 减法与数乘运算 4 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 知 识 梳 理 1 平面向量基本定理 如果 e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量 a 有且 只有一对实数 1 2 使 a 1e1 2e2 其中 不共线的向量 e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2 平面向量的坐标运算 1 向量加法 减法 数乘向量及向量的模 设 a x1 y1 b x2 y2 则 a b x1 x2 y1 y2 a b x1 x2 y1 y2 a x1 y1 a x2 1 y2 1 2 向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点 则终点坐标即为向量的坐标 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x2 x1 y2 y1 AB AB x2 x1 2 y2 y1 2 3 平面向量共线的坐标表示 设 a x1 y1 b x2 y2 则 a b x1y2 x2y1 0 辨 析 感 悟 1 对平面向量基本定理的理解 1 平面内的任何两个向量都可以作为一组基底 2 若 a b 不共线 且 1a 1b 2a 2b 则 1 2 1 2 3 2013 广东卷改编 已知 a 是已知的平面向量且 a 0 关于向量 a 的分解 有下列四个 命题 请判断它们的正误 给定向量 b 总存在向量 c 使 a b c 给定向量 b 和 c 总存在实数 和 使 a b c 给定单位向量 b 和正数 总存在单位向量 c 和实数 使 a b c 给定正数 和 总存在单位向量 b 和单位向量 c 使 a b c 2 平面向量的坐标运算 大方向教育大方向教育 值得您信赖的专业化个性化辅导学校值得您信赖的专业化个性化辅导学校 1 4 教材习题改编 已知点 A 2 1 B 1 3 则 3 2 AB 5 若 a x1 y1 b x2 y2 则 a b 的充要条件可表示成 x1 x2 y1 y2 6 2013 湘潭调研改编 已知向量 a 4 x b 4 4 若 a b 则 x 的值为 4 感悟 提升 1 向量坐标与点的坐标的区别 在平面直角坐标系中 以原点为起点的向量 a 点 OA A 的位置被向量 a 唯一确定 此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为 x y 但应注意其表示 形式的区别 如点 A x y 向量 a x y OA 当平面向量平行移动到时 向量不变即 x y 但的起点 O1 OA O1A1 O1A1 OA O1A1 和终点 A1的坐标都发生了变化 2 两个防范 一是注意能作为基底的两个向量必须是不共线的 如 1 二是注意运用 两个向量 a b 共线坐标表示的充要条件应为 x1y2 x2y1 0 如 5 考点一 平面向量基本定理的应用 例 1 如图 在平行四边形 ABCD 中 M N 分别为 DC BC 的中点 已知 c AM d 试用 c d 表示 AN AB AD 规律方法 1 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法 则进行向量的加 减或数乘运算 2 用向量基本定理解决问题的一般思路是 先选择一组基底 并运用该基底将条件和结 论表示成向量的形式 再通过向量的运算来解决 训练 1 在梯形 ABCD 中 AB CD AB 2CD M N 分别为 CD BC 的中点 若 大方向教育大方向教育 值得您信赖的专业化个性化辅导学校值得您信赖的专业化个性化辅导学校 1 A 则 B AM AN 考点二 平面向量的坐标运算 例 2 已知 A 2 4 B 3 1 C 3 4 设 a b c 且 AB BC CA 3c 2b CM CN 1 求 3a b 3c 2 求满足 a mb nc 的实数 m n 3 求 M N 的坐标及向量的坐标 MN 规律方法 向量的坐标运算主要是利用加 减 数乘运算法则进行的 若已知有向线段两 端点的坐标 则应先求出向量的坐标 解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的 正确使用 训练 2 1 已知平面向量 a 1 1 b 1 1 则向量 a b 1 2 3 2 2 在平行四边形 ABCD 中 AC 为一条对角线 若 2 4 1 3 则 AB AC BD 考点三 平面向量共线的坐标表示 例 3 平面内给定三个向量 a 3 2 b 1 2 c 4 1 1 若 a kc 2b a 求实数 k 2 若 d 满足 d c a b 且 d c 求 d 的坐标 5 训练 3 1 2014 衡水中学一检 已知向量 a 1 2 b 1 0 c 3 4 若 为实数 a b c 则 2 已知梯形 ABCD 其中 AB CD 且 DC 2AB 三个顶点 A 1 2 B 2 1 C 4 2 则 点 D 的坐标为 大方向教育大方向教育 值得您信赖的专业化个性化辅导学校值得您信赖的专业化个性化辅导学校 1 1 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则 将向量进行分解 2 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示 其中坐标运算法则是运算的关键 通过坐 标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理 从而向量可以解决平面解析几何中的许 多相关问题 3 在向量的运算中要注意待定系数法 方程思想和数形结合思想的运用 思想方法 3 方程思想在平面向量线性运算中的应用 典例 2013 北京卷 向量 a b c 在正方形网格中的位置如图所示 若 c a b R 则 自主体验 1 设 e1 e2是平面内一组基底 且 a e1 2e2 b e1 e2 则向量 e1 e2可以表示为 另一组基底 a b 的线性组合 即 e1 e2 a b 2 已知向量 a b x 1 其中 x 0 若 a 2b 2a b 则 x 8 x 2 基础巩固题组 1 如图 设 O 是平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC BD 的交点 下列向量组 与 与 与 与 其中可作为这个平行四边形所在平面的 AD AB DA BC CA DC OD OB 一组基底的是 大方向教育大方向教育 值得您信赖的专业化个性化辅导学校值得您信赖的专业化个性化辅导学校 1 2 已知点 A 1 5 和向量 a 2 3 若 3a 则点 B 的坐标为 AB 3 如图 在 OAB 中 P 为线段 AB 上的一点 x y 且 2 则 OP OA OB BP PA x y 4 已知向量 a 1 1 b 3 m a a b 则 m 5 在 ABC 中 点 P 在 BC 上 且 2P 点 Q 是 AC 的中点 若 4 3 BP C PA 1 5 则等于 PQ BC 6 若三点 A 2 2 B a 0 C 0 b ab 0 共线 则 的值为 1 a 1 b 7 已知向量