《插值方法基本思想》PPT课件.ppt

插值法基本思路 张兴元2011年8月 一元多项式插值 教学内容插值问题插值问题求解方法 重点 线性插值二次插值n次插值分段线性插值Hermite插值分段三次Hermite插值样条插值函数 难点 要求掌握以上方法的原理及其在MATLAB中的实现方法 插值问题 1 提法已知n 1个节点 xj yj j 0 1 n 其中xj互不相同 不妨设a x0 x1 xn b 求任一插值点x xj 处的插值y xj yj 可以看成是由某个函数y g x 产生的 g的解析表达式可能十分复杂 或不存在封闭形式 也可以未知 2 求解的基本思路构造一个相对简单的函数y f x 使f x 通过全部节点 即f xj yj j 0 1 n 再用f x 计算插值 即y f x f x 称为插值函数 如果f x 为k次多项式 f x 就是插值多项式 此时插值为代数插值 如果f x 为有理函数 就是有理插值 如果f x 为三角函数 则为三角插值 多项式插值 线性插值 y f x 函数表 线性插值 两点式方程 Lagrange插值 是l0 x 和l1 x 的线性组合 基函数 线性插值 点斜式方程 均差 Newton插值 一阶均差的一般定义 线性插值 余项 两种不同的构造方式 Lagrange和Newton 效果一样吗 此处一样 两种不同的构造方式 Lagrange和Newton 可以推广到多个点吗 可以 多项式插值 二次插值 y f x 函数表 二次插值 Lagrange基函数方法 Lagrange插值 二次插值 Newton均差法 二阶均差 Newton插值 二次插值 余项 例1 已知 试利用插值法近似计算 解 有几位有效数字 多项式插值 n次插值 y f x 函数表 xi互不相同 存在吗 唯一吗 如何构造 n次插值 存在性 唯一性 存在且唯一 n次插值 插值多项式的构造 方法一 Lagrange型插值多项式 基函数 基函数的特点 Lagrange插值多项式 n次插值 插值多项式的构造 方法二 Newton型插值多项式 均差表或差商表 Newton插值多项式 n次插值 插值余项与事后误差估计 插值余项 其中 事后误差估计方法 误差 n次插值 示例 例2 基于5个点 k cos k k 0 1 2 3 4 1 构造f x cos x 的差商表 2 并用差商表找出牛顿插值多项式的系数 3 写出四次牛顿插值多项式N4 x 4 计算N4 2 5 解 第一步 明确插值点 xk yk 第二步 构造差商表 第三步 写出相应的牛顿插值多项式N4 x 第四步 计算近似值N4 2 5 多项式插值的震荡性质 用Lagrange插值多项式LN x 近似f x a x b 虽然随着节点个数的增加 LN x 的次数N更大 多数情况下误差 RN x 会变小 但是N增加时 LN x 的光滑性变坏 有时会出现很大的震荡 理论上 当N 时 在 a b 内并不能保证LN x 处处收敛于f x Runge给出了一个有名的例子 多项式插值的震荡性质 Runge给出了一个有名的例子 多项式插值的震荡性质 高次插值多项式的这些缺陷 促使人们转而寻求简单的低次多项式插值 多项式插值 分段线性插值 是线性函数 多项式插值 分段线性插值 分段线性插值函数为 余项估计为 多项式插值 分段线性插值 分段线性插值多项式L1 x 的图像上是连接各插值点的一条折线 如右图 y sin x 的插值逼近图形变化 特点 曲线的光滑性较差 在节点处有尖点 增加节点 减小步长 会改善效果 若f x 在 a b 上连续 则 多项式插值 Hermite插值 考虑只有两个节点的插值问题 如何选择基函数 多项式插值 Hermite插值 希望插值系数与Lagrange插值一样简单 假设 其中 多项式插值 Hermite插值 可知 由 可得 Lagrange插值基函数 类似可得 即 将以上结果代入 多项式插值 Hermite插值 多项式插值 Hermite插值 得两个节点的三次Hermite插值公式 多项式插值 Hermite插值的插值余项 两点三次Hermite插值的余项为 例3 多项式插值 Hermite插值的插值余项 解 作为多项式插值 三次已是较高的次数 次数再高就有可能发生Runge现象 因此 对有n 1节点的插值问题 我们可以使用分段两点三次Hermite插值 多项式插值 Hermite插值的插值余项 多项式插值 分段三次Hermite插值 可构造两点三次Hermite插值多项式 多项式插值 分段三次Hermite插值 其中 分段三次Hermite插值多项式 余项为 多项式插值 样条函数插值 分段插值的思想及优缺点1 思想 将图形分段 每段为一个低阶多项式Sk x 并在相邻点之间进行多项式插值 组成一个分段的多项式曲线 2 分类 1 分段线性插值优点 简单 缺点 连续但不光滑 曲率不连续变化 2 分段二次多项式插值优点 简单 缺点 偶数点x2k处曲率变化很大 曲率不连续变化 3 改进方法 利用分段三次样条插值 分段三次多项式 连续 光滑 曲率连续变化 多项式的次数较低 多项式插值 样条函数插值 什么是样条 是指飞机或轮船等的制造过程中为描绘出光滑的外形曲线 放样 所用的工具 样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线 在拼接处 不仅函数是连续的 且一阶和二阶导数也是连续的 1946年 Schoenberg将样条引入数学 即所谓的样条函数 多项式插值 样条函数插值 1 三次样条插值函数的定义 多项式插值 样条函数插值 2 确定三次样条插值函数的条件 多项式插值 样条函数插值 多项式插值 样条函数插值 3 三次样条插值函数的构造方法 3 1用节点处一阶导数表示的三次样条插值函数 多项式插值 样条函数插值 多项式插值 样条函数插值 多项式插值 样条函数插值 整理后 得到 引入记号 则有方程组 多项式插值 样条函数插值 该方程组为三对角方程组 可以利用追赶法求解 多项式插值 样条函数插值 多项式插值 样条函数插值 多项式插值 样条函数插值 3 2用节点处二阶导数表示的三次