2015年福建省高考数学试卷(文科)

第 1 页 共 20 页 2015 年福建省高考数学试卷 文科 年福建省高考数学试卷 文科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 分 1 5 分 2015 福建 若 1 i 2 3i a bi a b R i 是虚数单位 则 a b 的值 分别等于 A 3 2B 3 2 C 3 3D 1 4 2 5 分 2015 福建 若集合 M x 2 x 2 N 0 1 2 则 M N A 0 B 1 C 0 1 2 D 0 1 3 5 分 2015 福建 下列函数为奇函数的是 A y B y exC y cosxD y ex e x 4 5 分 2015 福建 阅读如图所示的程序框图 运行相应的程序 若输入 x 的值为 1 则输出 y 的值为 A 2B 7C 8D 128 5 5 分 2015 福建 若直线 1 a 0 b 0 过点 1 1 则 a b 的最小值等 于 A 2B 3C 4D 5 6 5 分 2015 福建 若 sin 则 为第四象限角 则 tan 的值等于 A B C D 7 5 分 2015 福建 设 1 2 1 1 k 若 则实数 k 的值 等于 A B C D 第 2 页 共 20 页 8 5 分 2015 福建 如图 矩形 ABCD 中 点 A 在 x 轴上 点 B 的坐标为 1 0 且点 C 与点 D 在函数 f x 的图象上 若在矩形 ABCD 内随机取一 点 则此点取自阴影部分的概率等于 A B C D 9 5 分 2015 福建 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积等于 A 8 2B 11 2C 14 2D 15 10 5 分 2015 福建 变量 x y 满足约束条件 若 z 2x y 的最大值为 2 则实数 m 等于 A 2B 1C 1D 2 11 5 分 2015 福建 已知椭圆 E 1 a b 0 的右焦点为 F 短轴的一个 端点为 M 直线 l 3x 4y 0 交椭圆 E 于 A B 两点 若 AF BF 4 点 M 到直线 l 的距 离不小于 则椭圆 E 的离心率的取值范围是 A 0 B 0 C 1 D 1 12 5 分 2015 福建 对任意 x ksinxcosx x 是 k 1 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 第 3 页 共 20 页 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 16 分 分 13 4 分 2015 福建 某校高一年级有 900 名学生 其中女生 400 名 按男女比例用分 层抽样的方法 从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本 则应抽取的男生人数为 14 4 分 2015 福建 在 ABC 中 AC A 45 C 75 则 BC 的长度是 15 4 分 2015 福建 若函数 f x 2 x a a R 满足 f 1 x f 1 x 且 f x 在 m 上单调递增 则实数 m 的最小值等于 16 4 分 2015 福建 若 a b 是函数 f x x2 px q p 0 q 0 的两个不同的零点 且 a b 2 这三个数可适当排序后成等差数列 也可适当排序后成等比数列 则 p q 的值 等于 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 74 分 分 17 12 分 2015 福建 等差数列 an 中 a2 4 a4 a7 15 求数列 an 的通项公式 设 bn 2 n 求 b1 b2 b3 b10的值 18 12 分 2015 福建 全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综 合指标 根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的 省级卫视新闻台 融合 指数的数据 对名列前 20 名的 省级卫视新闻台 的融合指数进行分组统计 结果如表所示 组号分组频数 1 4 5 2 2 5 6 8 3 6 7 7 4 7 8 3 1 现从融合指数在 4 5 和 7 8 内的 省级卫视新闻台 中随机抽取 2 家进行调研 求至少有 1 家的融合指数在 7 8 内的概率 2 根据分组统计表求这 20 家 省级卫视新闻台 的融合指数的平均数 19 12 分 2015 福建 已知点 F 为抛物线 E y2 2px p 0 的焦点 点 A 2 m 在抛物线 E 上 且 AF 3 求抛物线 E 的方程 已知点 G 1 0 延长 AF 交抛物线 E 于点 B 证明 以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆 必与直线 GB 相切 第 4 页 共 20 页 20 12 分 2015 福建 如图 AB 是圆 O 的直径 点 C 是圆 O 上异于 A B 的点 PO 垂直于圆 O 所在的平面 且 PO OB 1 若 D 为线段 AC 的中点 求证 AC 平面 PDO 求三棱锥 P ABC 体积的最大值 若 BC 点 E 在线段 PB 上 求 CE OE 的最小值 21 12 分 2015 福建 已知函数 f x 10sincos 10cos2 求函数 f x 的最小正周期 将函数 f x 的图象向右平移个单位长度 再向下平移 a a 0 个单位长度后 得到函数 g x 的图象 且函数 g x 的 最大值为 2 i 求函数 g x 的解析式 ii 证明 存在无穷多个互不相同的正整数 x0 使得 g x0 0 22 14 分 2015 福建 已知函数 f x lnx 求函数 f x 的单调增区间 证明 当 x 1 时 f x x 1 确定实数 k 的所有可能取值 使得存在 x0 1 当 x 1 x0 时 恒有 f x k x 1 第 5 页 共 20 页 2015 年福建省高考数学试卷 文科 年福建省高考数学试卷 文科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 分 1 5 分 2015 福建 若 1 i 2 3i a bi a b R i 是虚数单位 则 a b 的值 分别等于 A 3 2B 3 2 C 3 3D 1 4 分析 由复数的加法运算化简等式左边 然后由实部等于实部 虚部等于虚部求得 a b 的值 解答 解 由 1 i 2 3i 3 2i a bi 得 a 3 b 2 故选 A 点评 本题考查复数的加法运算及复数相等的条件 是基础题 2 5 分 2015 福建 若集合 M x 2 x 2 N 0 1 2 则 M N A 0 B 1 C 0 1 2 D 0 1 分析 直接利用交集及其运算得答案 解答 解 由 M x 2 x 2 N 0 1 2 得 M N x 2 x 2 0 1 2 0 1 故选 D 点评 本题考查了交集及其运算 是基础题 3 5 分 2015 福建 下列函数为奇函数的是 A y B y exC y cosxD y ex e x 分析 根据函数奇偶性的定义进行判断即可 解答 解 A 函数的定义域为 0 定义域关于原点不对称 故 A 为非奇非偶函 数 B 函数 y ex单调递增 为非奇非偶函数 C y cosx 为偶函数 D f x e x ex ex e x f x 则 f x 为奇函数 故选 D 点评 本题主要考查函数奇偶性的判断 根据函数奇偶性定义是解决本题的关键 第 6 页 共 20 页 4 5 分 2015 福建 阅读如图所示的程序框图 运行相应的程序 若输入 x 的值为 1 则输出 y 的值为 A 2B 7C 8D 128 分析 模拟执行程序框图 可得程序框图的功能是求 y 的值 从而得解 解答 解 模拟执行程序框图 可得程序框图的功能是求 y 的值 若 x 1 不满足条件 x 2 y 8 输出 y 的值为 8 故选 C 点评 本题主要考查了程序框图和算法 正确得到程序框图的功能是解题的关键 属于 基础题 5 5 分 2015 福建 若直线 1 a 0 b 0 过点 1 1 则 a b 的最小值等 于 A 2B 3C 4D 5 分析 将 1 1 代入直线得 1 从而 a b a b 利用基本不等式求 出即可 解答 解 直线 1 a 0 b 0 过点 1 1 1 a 0 b 0 所以 a b a b 2 2 2 4 当且仅当 即 a b 2 时取等号 a b 最小值是 4 故选 C 第 7 页 共 20 页 点评 本题考察了基本不等式的性质 求出 1 得到 a b a b 是解题 的关键 6 5 分 2015 福建 若 sin 则 为第四象限角 则 tan 的值等于 A B C D 分析 利用同角三角函数的基本关系式求出 cos 然后求解即可 解答 解 sin 则 为第四象限角 cos tan 故选 D 点评 本题考查三角函数的化简求值 同角三角函数的基本关系式的应用 考查计算能 力 7 5 分 2015 福建 设 1 2 1 1 k 若 则实数 k 的值 等于 A B C D 分析 由题意可得 的坐标 进而由垂直关系可得 k 的方程 解方程可得 解答 解 1 2 1 1 k 1 k 2 k 0 1 k 2 k 0 解得 k 故选 A 点评 本题考查数量积和向量的垂直关系 属基础题 8 5 分 2015 福建 如图 矩形 ABCD 中 点 A 在 x 轴上 点 B 的坐标为 1 0 且点 C 与点 D 在函数 f x 的图象上 若在矩形 ABCD 内随机取一 点 则此点取自阴影部分的概率等于 A B C D 第 8 页 共 20 页 分析 由题意易得矩形和三角形顶点的坐标 进而可得面积 由几何概型可得 解答 解 由题意可得 B 1 0 把 x 1 代入 y x 1 可得 y 2 即 C 1 2 把 x 0 代入 y x 1 可得 y 1 即图中阴影三角形的第 3 个定点为 0 1 令 2 可解得 x 2 即 D 2 2 矩形的面积 S 3 2 6 阴影三角形的面积 S 3 1 所求概率 P 故选 B 点评 本题考查几何概型 涉及面积公式和分段函数 属基础题 9 5 分 2015 福建 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积等于 A 8 2B 11 2C 14 2D 15 分析 判断出该几何体是底面为直角梯形 高为 2 的直四棱柱 底面的梯形上底 1 下 底 2 高为 1 运用梯形 矩形的面积公式求解即可 解答 解 根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形 高为 2 的直四棱柱 底面的梯形上底 1 下底 2 高为 1 侧面为 4 2 8 底面为 2 1 1 故几何体的表面积为 8 11 故选 B 点评 本题考查了空间几何体的三视图的运用 空间想象能力 关键是能够恢复判断几 何体的形状 10 5 分 2015 福建 变量 x y 满足约束条件 若 z 2x y 的最大值为 2 则实数 m 等于 A 2B 1C 1D 2 第 9 页 共 20 页 分析 由约束条件作出可行域 化目标函数为直线方程的斜截式 数形结合得到最优解 联立方程组求得最优解的坐标 代入目标函数求得 m 的值 解答 解 由约束条件作出可行域如图 联立 解得 A 化目标函数 z 2x y 为 y 2x z 由图可知 当直线过 A 时 直线在 y 轴上的截距最小 z 有最大值为 解得 m 1 故选 C 点评 本题考查了简单的线性规划 考查了数形结合的解题思想方法 是中档题 11 5 分 2015 福建 已知椭圆 E 1 a b 0 的右焦点为 F 短轴的一个 端点为 M 直线 l 3x 4y 0 交椭圆 E 于 A B 两点 若 AF BF 4 点 M 到直线 l 的距 离不小于 则椭圆 E 的离心率的取值范围是 A 0 B 0 C 1 D 1 分析 如图所示 设 F 为椭圆的左焦点 连接 AF BF 则四边形 AFBF 是平行四边形 可得 4 AF BF AF BF 2a 取 M 0 b 由点 M 到直线 l 的距离不小于 可 得 解得 b 1 再利用离心率计算公式 e 即可得出 第 10 页 共 20 页 解答 解 如图所示 设 F 为椭圆的左焦点 连接 AF BF 则四边形 AFBF 是平行四 边形 4 AF BF AF AF 2a a 2 取 M 0 b 点 M 到直线 l 的距离不小于 解得 b 1 e 椭圆 E 的离心率的取值范围是 故选 A 点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质 点到直线的距离公式 不等式的性质 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 12 5 分 2015 福建 对任意 x ksinxcosx x 是 k 1 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 分析 利用二倍角公式化简不等式 利用三角函数线判断充要条件即可 解答 解 对任意 x ksinxcosx x 即对任意 x ksin2x 2x 当 k 1 时 ksin2x 2x 恒成立 但是对任意 x ksinxcosx x 可得 k 1 也 成立 所以 对任意 x ksinxcosx x 是 k 1 的必要而不充分条件 故选 B 点评 本题考查充要条件的判断与应用 三角函数线的应用 考查逻辑推理能力 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 16 分 分 13 4 分 2015 福建 某校高一年级有 900 名学生 其中女生 400 名 按男女比例用分 层抽样的方法 从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本 则应抽取的男生人数为 25 第 11 页 共 20 页 分析 根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比 即样本容量比上总体容量 按此比 例求出应抽取的男生人数 解答 解 根据题意得 用分层抽样在各层中的抽样比为 则应抽取的男生人数是 500 25 人 故答案为 25 点评 本题的考点是分层抽样方法 根据样本结构和总体结构保持一致 求出抽样比 再求出在各层中抽取的个体数目 14 4 分 2015 福建 在 ABC 中 AC A 45 C 75 则 BC 的长度是 分析 根据 A 和 C 求得 B 进而根据正弦定理求得求得 BC 解答 解 B 180 45 75 60 由正弦定理可知 ACsinB BCsinA BC 故答案为 点评 本题主要考查了正弦定理的应用 属基础题 15 4 分 2015 福建 若函数 f x 2 x a a R 满足 f 1 x f 1 x 且 f x 在 m 上单调递增 则实数 m 的最小值等于 1 分析 根据式子 f 1 x f 1 x 对称 f x 关于 x 1 对称 利用指数函数的性质得 出 函数 f x 2 x a a R x a 为对称轴 在 1 上单调递增 即可判断 m 的最 小值 解答 解 f 1 x f 1 x f x 关于 x 1 对称 函数 f x 2 x a a R x a 为对称轴 a 1 f x 在 1 上单调递增 f x 在 m 上单调递增 m 的最小值为 1 故答案为 1 点评 本题考查了指数型函数的单调性 对称性 根据函数式子对称函数的性质是本题 解决的关键 难度不大 属于中档题 第 12 页 共 20 页 16 4 分 2015 福建 若 a b 是函数 f x x2 px q p 0 q 0 的两个不同的零点 且 a b 2 这三个数可适当排序后成等差数列 也可适当排序后成等比数列 则 p q 的值 等于 9 分析 由一元二次方程根与系数的关系得到 a b p ab q 再由 a b 2 这三个数可适 当排序后成等差数列 也可适当排序后成等比数列列关于 a b 的方程组 求得 a b 后得 答案 解答 解 由题意可得 a b p ab q p 0 q 0 可得 a 0 b 0 又 a b 2 这三个数可适当排序后成等差数列 也可适当排序后成等比数列 可得 或 解 得 解 得 p a b 5 q 1 4 4 则 p q 9 故答案为 9 点评 本题考查了一元二次方程根与系数的关系 考查了等差数列和等比数列的性质 是基础题 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 74 分 分 17 12 分 2015 福建 等差数列 an 中 a2 4 a4 a7 15 求数列 an 的通项公式 设 bn 2 n 求 b1 b2 b3 b10的值 分析 建立方程组求出首项与公差 即可求数列 an 的通项公式 bn 2 n 2n n 利用分组求和求 b1 b2 b3 b10的值 解答 解 设公差为 d 则 解得 所以 an 3 n 1 n 2 bn 2 n 2n n 所以 b1 b2 b3 b10 2 1 22 2 210 10 2 22 210 1 2 10 第 13 页 共 20 页 2101 点评 本题考查等差数列的通项 考查数列的求和 求出数列的通项是关键 18 12 分 2015 福建 全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综 合指标 根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的 省级卫视新闻台 融合 指数的数据 对名列前 20 名的 省级卫视新闻台 的融合指数进行分组统计 结果如表所示 组号分组频数 1 4 5 2 2 5 6 8 3 6 7 7 4 7 8 3 1 现从融合指数在 4 5 和 7 8 内的 省级卫视新闻台 中随机抽取 2 家进行调研 求至少有 1 家的融合指数在 7 8 内的概率 2 根据分组统计表求这 20 家 省级卫视新闻台 的融合指数的平均数 分析 1 利用列举法列出基本事件 结合古典概型的概率公式进行求解即可 2 根据平均数的定义和公式进行计算即可 解答 解 1 融合指数在 7 8 内的 省级卫视新闻台 记为 A1 A2 A3 融合指数在 4 5 内的 省级卫视新闻台 记为 B1 B2 从融合指数在 4 5 和 7 8 内的 省级卫视新闻台 中随机抽取 2 家进行调研的事件为 A1 A2 A1 A3 A2 A3 A1 B1 A1 B2 A2 B1 A2 B2 A3 B1 A3 B2 B1 B2 共 10 个 至少有 1 家的融合指数在 7 8 内的事件有 A1 A2 A1 A3 A2 A3 A1 B1 A1 B2 A2 B1 A2 B2 A3 B1 A3 B2 共 9 个 则至少有 1 家的融合指数在 7 8 内的概率为 2 根据分组统计表求这 20 家 省级卫视新闻台 的融合指数的平均数为 6 05 点评 本题主要考查古典概型 频率分布表 平均数等基础知识 考查数据处理能力 运算求解能力 应用意识 考查必然与或然思想等 19 12 分 2015 福建 已知点 F 为抛物线 E y2 2px p 0 的焦点 点 A 2 m 在抛物线 E 上 且 AF 3 求抛物线 E 的方程 已知点 G 1 0 延长 AF 交抛物线 E 于点 B 证明 以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆 必与直线 GB 相切 第 14 页 共 20 页 分析 解法一 I 由抛物线定义可得 AF 2 3 解得 p 即可得出抛物线 E 的 方程 II 由点 A 2 m 在抛物线 E 上 解得 m 不妨取 A F 1 0 可得直 线 AF 的方程 与抛物线方程联立化为 2x2 5x 2 0 解得 B 又 G 1 0 计算 kGA kGB 可得 kGA kGB 0 AGF BGF 即可证明以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆 必与直线 GB 相切 解法二 I 同解法一 II 由点 A 2 m 在抛物线 E 上 解得 m 不妨取 A F 1 0 可得直 线 AF 的方程 与抛物线方程联立化为 2x2 5x 2 0 解得 B 又 G 1 0 可得直线 GA GB 的方程 利用点到直线的距离公式可得 点 F 1 0 到直线 GA GB 的距离 若相等即可证明此以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆 必与直线 GB 相切 解答 解法一 I 由抛物线定义可得 AF 2 3 解得 p 2 抛物线 E 的方程为 y2 4x II 证明 点 A 2 m 在抛物线 E 上 m2 4 2 解得 m 不妨取 A F 1 0 直线 AF 的方程 y 2 x 1 联立 化为 2x2 5x 2 0 解得 x 2 或 B 又 G 1 0 kGA kGB kGA kGB 0 AGF BGF x 轴平分 AGB 因此点 F 到直线 GA GB 的距离相等 以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆 必与直线 GB 相切 解法二 I 同解法一 II 证明 点 A 2 m 在抛物线 E 上 m2 4 2 解得 m 不妨取 A F 1 0 直线 AF 的方程 y 2 x 1 第 15 页 共 20 页 联立 化为 2x2 5x 2 0 解得 x 2 或 B 又 G 1 0 可得直线 GA GB 的方程分别为 x 3y 2 0 0 点 F 1 0 到直线 GA 的距离 d 同理可得点 F 1 0 到直线 GB 的距离 因此以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆 必与直线 GB 相切 点评 本小题主要考查抛物线 直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质 点到直线的 距离公式等基础知识 考查推理论证能力 运算求解能力 考查数形结合思想 化归与转 化思想 函数与方程思想 属于难题 20 12 分 2015 福建 如图 AB 是圆 O 的直径 点 C 是圆 O 上异于 A B 的点 PO 垂直于圆 O 所在的平面 且 PO OB 1 若 D 为线段 AC 的中点 求证 AC 平面 PDO 求三棱锥 P ABC 体积的最大值 若 BC 点 E 在线段 PB 上 求 CE OE 的最小值 分析 由题意可证 AC DO 又 PO AC 即可证明 AC 平面 PDO 当 CO AB 时 C 到 AB 的距离最大且最大值为 1 又 AB 2 即可求 ABC 面积 的最大值 又三棱锥 P ABC 的高 PO 1 即可求得三棱锥 P ABC 体积的最大值 可求 PB PC 即有 PB PC BC 由 OP OB C P C B 可证 E 为 PB 中点 从而可求 OC OE EC 从而得解 解答 解 在 AOC 中 因为 OA OC D 为 AC 的中点 所以 AC DO 又 PO 垂直于圆 O 所在的平面 所以 PO AC 因为 DO PO O 所以 AC 平面 PDO 因为点 C 在圆 O 上 所以当 CO AB 时 C 到 AB 的距离最大 且最大值为 1 第 16 页 共 20 页 又 AB 2 所以 ABC 面积的最大值为 又因为三棱锥 P ABC 的高 PO 1 故三棱锥 P ABC 体积的最大值为 在 POB 中 PO OB 1 POB 90 所以 PB 同理 PC 所以 PB PC BC 在三棱锥 P ABC 中 将侧面 BCP 绕 PB 旋转至平面 BC P 使之与平面 ABP 共面 如图所 示 当 O E C 共线时 CE OE 取得最小值 又因为 OP OB C P C B 所以 OC 垂直平分 PB 即 E 为 PB 中点 从而 OC OE EC 亦即 CE OE 的最小值为 点评 本题主要考查了直线与直线 直线与平面的位置关系 锥体的体积的求法等基础 知识 考查了空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 考查了数形结合思想 化归 与转化思想 属于中档题 21 12 分 2015 福建 已知函数 f x 10sincos 10cos2 求函数 f x 的最小正周期 将函数 f x 的图象向右平移个单位长度 再向下平移 a a 0 个单位长度后 得到函数 g x 的图象 且函数 g x 的 最大值为 2 i 求函数 g x 的解析式 第 17 页 共 20 页 ii 证明 存在无穷多个互不相同的正整数 x0 使得 g x0 0 分析 先化简函数的解析式 进而求出最小正周期 i 先求出每一步函数变换的函数解析式 再根据 g x 的最大值为 2 容易求出 a 的值 然后进而写出 g x 的解析式 ii 就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0 使得 10sinx0 8 0 即 sinx0 由 知 存在 0 0 使得 sin 0 由正弦函数的性质当 x 2k 0 2k 0 k Z 时 均有 sinx 即可证明 解答 解 f x 10sincos 10cos2 5sinx 5cosx 5 10sin x 5 所求函数 f x 的最小正周期 T 2 i 将函数 f x 的图象向右平移个单位长度后得到 y 10sinx 5 的图象 再向下平移 a a 0 个单位长度后得到函数 g x 10sin