16年高考理数全国卷1

绝密绝密 启封并使用完毕前启封并使用完毕前 试题类型 试题类型 A 2016 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 请注意基础知识学习请注意基础知识学习 注意事项 注意事项 1 本试卷分第本试卷分第 卷卷 选择题选择题 和第和第 卷卷 非选择题非选择题 两部分两部分 第第 卷卷 1 至至 3 页 第页 第 卷卷 3 至至 5 页页 2 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在本试题相应的位置答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在本试题相应的位置 3 全部答案在答题卡上完成 答在本试题上无效全部答案在答题卡上完成 答在本试题上无效 4 考试结束后 将本试题和答题卡一并交回考试结束后 将本试题和答题卡一并交回 第第 卷卷 一一 选择题 本大题共选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设集合 则 2 430 Ax xx 230 Bxx AB A B C D 3 3 2 3 3 2 3 1 2 3 3 2 2 设 其中 x y 是实数 则 1 i 1ixy i xy A 1 B C D 2 2 3 3 已知等差数列前 9 项的和为 27 则 n a 10 8 a 100 a A 100 B 99 C 98 D 97 4 某公司的班车在 7 00 8 00 8 30 发车 小明在 7 50 至 8 30 之间到达发车站乘坐班车 且到达发 车站的时刻是随机的 则他等车时间不超过 10 分钟的概率是21 教育网 A B C D F 1 F 1 F 2 F 3 5 已知方程 1 表示双曲线 且该双曲线两焦点间的距离为 4 则 n 的取值范围是 F x2 F y2 A 1 3 B 1 C 0 3 D 0 33 6 如图 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 若该几何体的体积是 则它的表面积是21 cn jy com F 28 A 17 B 18 C 20 D 28 7 函数 y 2x2 e x 在 2 2 的图像大致为 A B C D 8 若 则101abc A B C D cc ab cc abba loglog ba acbc loglog ab cc 9 执行右面的程序图 如果输入的 则输出 x y 的值满足011xyn A B C D 2yx 3yx 4yx 5yx 10 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A B 两点 交 C 的标准线于 D E 两点 已知 AB DE 4 2 则 C 的焦点到准线的距离为www 21 cn 2 5 A 2 B 4 C 6 D 8 11 平面 a 过正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A a 平面 CB1D1 平面 ABCD m 平面 ABA1B1 n a a 则 m n 所成角的正弦值为2 1 c n j y A B C D 3 2 2 2 3 3 1 3 12 已知函数为的零点 为图像的对称 sin 0 24 f xx x f x 4 x yf x 轴 且在单调 则的最大值为 f x 5 18 36 A 11 B 9 C 7 D 5 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求作答 来源 21 世纪 教育 网 二 填空题 本大题共 3 小题 每小题 5 分 13 设向量 a m 1 b 1 2 且 a b 2 a 2 b 2 则 m 14 的展开式中 x3的系数是 用数字填写答案 5 2 xx 15 设等比数列满足 a1 a3 10 a2 a4 5 则 a1a2 an的最大值为 16 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲 乙两种新型材料 生产一件产品 A 需要甲材料 1 5kg 乙材料 1kg 用 5 个工时 生产一件产品 B 需要甲材料 0 5kg 乙材料 0 3kg 用 3 个工时 生产一件产品 A 的利润为 2100 元 生产一件产品 B 的利润为 900 元 该企业现有甲材料 150kg 乙材料 90kg 则在不 超过 600 个工时的条件下 生产产品 A 产品 B 的利润之和的最大值为元 21 世纪 教育网 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本题满分为 12 分 的内角 A B C 的对边分别别为 a b c 已知ABCA2cos coscos C aB bAc I 求 C II 若的面积为 求的周长 7 cABC A 3 3 2 ABCA 18 本题满分为 12 分 如图 在已 A B C D E F 为顶点的五面体中 面 ABEF 为正方形 AF 2FD 且二90AFD 面角 D AF E 与二面角 C BE F 都是 60 I 证明平面 ABEFEFDC II 求二面角 E BC A 的余弦值 19 本小题满分 12 分 某公司计划购买 2 台机器 该种机器使用三年后即被淘汰 机 器有一易损零件 在购进机器时 可以额外购买这种零件作为备件 每个 200 元 在机器使用期间 如果备 件不足再购买 则每个 500 元 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 为此搜集并整理了 100 台 这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 得下面柱状图 www 2 1 cnjy com 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率 记表示 2 台机器X 三年内共需更换的易损零件数 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 2 1 c n j yn I 求的分布列 X II 若要求 确定的最小值 0 5P Xn n III 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据 在与之中选其一 应选用哪个 19n 20n 20 本小题满分 12 分 设圆的圆心为 A 直线 l 过点 B 1 0 且与 x 轴不重合 l 交圆 A 于 C D 两点 过 22 2150 xyx B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E 21 世纪教育网版权所有 I 证明为定值 并写出点 E 的轨迹方程 EAEB II 设点 E 的轨迹为曲线 C1 直线 l 交 C1于 M N 两点 过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P Q 两点 求四边形 MPNQ 面积的取值范围 21 cnjy com 21 本小题满分 12 分 已知函数有两个零点 I 求 a 的取值范围 II 设 x1 x2是的两个零点 证明 x2 2 请考生在请考生在 22 23 24 题中任选一题作答题中任选一题作答 如果多做如果多做 则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分 做答时请写清题号做答时请写清题号 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 OAB 是等腰三角形 AOB 120 以 O 为圆心 OA 为半径作圆 I 证明 直线 AB 与 O 相切 II 点 C D 在 O 上 且 A B C D 四点共圆 证明 AB CD 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中 曲线 C1的参数方程为 t 为参数 a 0 在以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线 C2 cos I 说明 C1是哪种曲线 并将 C1的方程化为极坐标方程 II 直线 C3的极坐标方程为 其中满足 tan 2 若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上 求 a 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 f x x 1 2x 3 I 在答题卡第 24 题图中画出 y f x 的图像 II 求不等式 f x 1 的解集 2016 年新课标年新课标 I 高考数学 理科 答案与解析高考数学 理科 答案与解析 1 2 43013Ax xxxx 3 230 2 Bxxx x 故 3 3 2 ABxx 故选 D 2 由可知 故 解得 11i xyi 1xxiyi 1x xy 1 1 x y 所以 22 2xyixy 故选 B 3 由等差数列性质可知 故 19 5 95 992 927 22 aaa Sa 5 3a 而 因此公差 10 8a 105 1 105 aa d 10010 9098aad 故选 C 4 如图所示 画出时间轴 8 208 107 507 408 308 007 30 BACD 小明到达的时间会随机的落在图中线段中 而当他的到达时间落在线段或时 才能保证他ABACDB 等车的时间不超过 10 分钟 根据几何概型 所求概率 10101 402 P 故选 B 5 表示双曲线 则 22 22 1 3 xy mnmn 22 30mnmn 22 3mnm 由双曲线性质知 其中是半焦距 2222 34cmnmnm c 焦距 解得22 24cm 1m 13n 故选 A 6 原立体图如图所示 是一个球被切掉左上角的后的三视图 1 8 表面积是的球面面积和三个扇形面积之和 7 8 22 71 42 32 17 84 S 故选 A 7 排除 A 22 2882 80fe 排除 B 22 2882 71fe 时 0 x 2 2 x f xxe 当时 4 x fxxe 1 0 4 x 0 1 40 4 fxe 因此在单调递减 排除 C f x 1 0 4 故选 D 8 对 A 由于 函数在上单调递增 因此 A 错误01c c yx R1 cc abab 对 B 由于 函数在上单调递减 110c 1c yx 1 B 错误 11 1 cccc ababbaab 对 C 要比较和 只需比较和 只需比较和 只需和logbaclogabc ln ln ac b ln ln bc a ln ln c bb ln ln c aa lnbb lnaa 构造函数 则 在上单调递增 因此 ln1f xxx x ln110fxx f x 1 11 0lnln0 lnln f af baabb aabb 又由得 C 正确01c ln0c lnln loglog lnln ab cc bcac aabb 对 D 要比较和 只需比较和logaclogbc ln ln c a ln ln c b 而函数在上单调递增 故lnyx 1 11 1lnln0 lnln abab ab 又由得 D 错误01c ln0c lnln loglog lnln ab cc cc ab 故选 C 9 如下表 循环节运 行次数 1 2 n x xx y yny 判断 22 36xy 是否 输出 1n nn 运行前01 1 第一次01否否2 第二次 1 2 2否否 3 第三次 3 2 6是是 输出 满足 3 2 x 6y 4yx 故选 C 10 以开口向右的抛物线为例来解答 其他开口同理 设抛物线为 设圆的方程为 题目条件翻译如图 2 2ypx 0p 222 xyr 设 0 2 2 A x 5 2 p D 点在抛物线上 0 2 2 A x 2 2ypx 0 82px F 点在圆上 5 2 p D 222 xyr 2 2 5 2 p r 点在圆上 0 2 2 A x 222 xyr 22 0 8xr 联立 解得 焦点到准线的距离为 4p 4p 故选 B 11 如图所示 A A1 B B1 D C C1 D1 若设平面平面 则 11 CB D 平面 11 CB D 1 ABCDm 1 mm 又 平面 平面 结合平面平面ABCD 1111 ABC D 11 B DC 111111 ABC DB D 故 111 B Dm 11 B Dm 同理可得 1 CDn 故 的所成角的大小与 所成角的大小相等 即的大小 mn 11 B D 1 CD 11 CD B 而 均为面对交线 因此 即 1111 BCB DCD 11 3 CD B 11 3 sin 2 CD B 故选 A 12 由题意知 1 2 4 42 k k 则 其中21k k Z 在单调 f x 5 18 36 5 12 3618122 T 接下来用排除法 若 此时 在递增 在递减 不满足 11 4 sin 11 4 f xx f x 3 18 44 3 5 44 36 在单调 f x 5 18 36 若 此时 满足在单调递减 9 4 sin 9 4 f xx f x 5 18 36 故选 B 13 由已知得 1 3abm 解得 222 2 22222 13112ababmm 2m 14 设展开式的第项为 1k 1k T 0 1 2 3 4 5k 5 5 5 2 155 C2C 2 k k k kkk k Txxx 当时 即53 2 k 4k 4 5 45 43 2 55 C 210Txx 故答案为 10 15 由于是等比数列 设 其中是首项 是公比 n a 1 1 n n aa q 1 aq 解得 2 1311 3 24 11 1010 5 5 aaaa q aa a qa q 1 8 1 2 a q 故 4 1 2 n n a 2 11749 32 47 2224 12 111 222 nn nn n aaa 当或时 取到最小值 此时取到最大值 3n 4 2 1749 224 n 6 2 1749 224 1 2 n 6 2 所以的最大值为 64 12 n aaa 16 设生产 A 产品件 B 产品件 根据所耗费的材料要求 工时要求等其他限制条件 构造线性规则xy 约束为 1 50 5150 0 390 53600 0 0 xy xy xy x y xN yN 目标函数2100900zxy 作出可行域为图中的四边形 包括边界 顶点为 60 100 0 200 0 0 90 0 在处取得最大值 60 100 210060900 100216000z 17 2coscoscosC aBbAc 由正弦定理得 2cossincossincossinCABBAC 2cossinsinCABC ABC 0 ABC sinsin0ABC 2cos1C 1 cos 2 C 0 C 3 C 由余弦定理得 222 2coscababC 22 1 72 2 abab 2 37abab 133 3 sin 242 SabCab 6ab 2 187ab 5ab 周长为ABC 57abc 18 为正方形ABEF AFEF 90AFD AFDF DFEF F 面AF EFDC 面AF ABEF 平面平面ABEF EFDC 由 知 60DFECEF ABEF 平面AB EFDC 平面EF EFDC 平面AB ABCD 平面AB ABCD 面面ABCD EFDCCD ABCD CDEF 四边形为等腰梯形EFDC 以为原点 如图建立坐标系 设EFDa 000020EBa 3 0220 22 a CaAaa 020EBa 3 2 22 a BCaa 200ABa 设面法向量为 BEC mxyz 即 0 0 m EB m BC 1 111 20 3 20 22 a y a xaya z 111 301xyz 301m 设面法向量为ABC 222 nxyz 即 0 0 n BC n AB 222 2 3 20 22 20 a xayaz ax 222 034xyz 034n 设二面角的大小为 EBCA 42 19 cos 1931316 m n mn 二面角的余弦值为 EBCA 2 19 19 19 每台机器更换的易损零件数为 8 9 10 11 记事件为第一台机器 3 年内换掉个零件 i A7i 1 2 3 4i 记事件为第二台机器 3 年内换掉个零件 i B7i 1 2 3 4i 由题知 134134 0 2P AP AP AP BP BP B 22 0 4P AP B 设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 则的可能的取值为XX 16 17 18 19 20 21 22 11 160 20 20 04P XP A P B 1221 170 20 40 40 20 16P XP A P BP AP B 132231 180 20 20 20 20 40 40 24P XP A P BP AP BP AP B 14233241 190 20 20 20 20 40 2P XP A P BP AP BP AP BP AP B 0 20 40 24 243342 200 40 20 20 40 20 20 2P XP AP BP AP BP AP B 3443 210 20 20 20 20 08P xP AP BP AP B 44 220 20 20 04P xP AP B X16171819202122 P0 040 160 240 240 20 080 04 要令 0 5P xn 0 040 160 240 5 0 040 160 240 240 5 则的最小值为 19n 购买零件所需费用含两部分 一部分为购买机器时购买零件的费用 另一部分为备件不足时额外购 买的费用 当时 费用的期望为19n 192005000 210000 0815000 044040 当时 费用的期望为20n 202005000 0810000 044080 所以应选用19n 20 圆 A 整理为 A 坐标 如图 2 2 116xy 1 0 5 4 3 2 1 1 2 3 4 y 141210864224 x E D A B C 则 由 BEAC CEBD ACADDC 则 则EBDD EBED 4AEEBAEEDAD 所以 E 的轨迹为一个椭圆 方程为 22 1 43 xy 0y 设 22 1 1 43 xy C 1l xmy 因为 设 联立PQl 1PQ ym x 1 lC与椭圆 得 22 1 1 43 xmy xy 22 34690mymy 则 22 2 22 22 3636 34121 1 1 3434 MN mmm MNmyym mm 5 4 3 2 1 1 2 3 4 y 1210864224 x Q P N M A B 圆心到距离 APQ 22 1 1 2 11 mm d mm 所以 22 22 2 2 44 34 2 2 16 1 1 mm PQAQd m m 2 22 2 22 2 121 114 342411 2412 8 3 1 2234 134 3 1 MPNQ m mm SMNPQ m mm m 21 由已知得 12112 xx fxxea xxea 若 那么 只有唯一的零点 不合题意 0a 0202 x f xxex f x2x 若 那么 0a 20 xx eae 所以当时 单调递增1x 0fx f x 当时 单调递减1x 0fx f x 即 x 1 1 1 fx 0 f x 极小值 故在上至多一个零点 在上至多一个零点 f x 1 1 由于 则 20fa 10fe 210ff 根据零点存在性定理 在上有且仅有一个零点 f x 1 2 而当时 1x x ee 210 x 故 222 212111 x f xxea xe xa xa xe xe 则的两根 因为 故当 0f x 2 1 4 1 2 eeae t a 2 2 4 1 2 eeae t a 12 tt 0a 或时 1 xt 2 xt 2 110a xe xe 因此 当且时 1x 1 xt 0f x 又 根据零点存在性定理 在有且只有一个零点 10fe f x 1 此时 在上有且只有两个零点 满足题意 f xR 若 则 0 2 e a ln2ln1ae 当时 ln2xa 1ln210 xa ln2 220 ax eaea 即 单调递增 120 x fxxea f x 当时 即 ln21ax 10 x ln2 220 ax eaea 120 x fxxea 单调递减 f x 当时 即 单调递增 1x 10 x ln2 220 ax eaea 0fx f x 即 x ln2a ln2a ln2 1a 1 1 fx 0 0 f x 极大值 极小值 而极大值 22 ln22ln22ln21ln2210faaaaaaa 故当时 在处取到最大值 那么恒成立 1x f x ln2xa ln2fa ln20f xfa 即无解 0f x 而当时 单调递增 至多一个零点1x f x 此时在上至多一个零点 不合题意 f xR 若 那么 2 e a ln21a 当时 即 1ln2xa 10 x ln2 220 ax eaea 0fx 单调递增 f x 当时 即 1ln2xa 10 x ln2 220 ax eaea 0fx 单调递增 f x 又在处有意义 故在上单调递增 此时至多一个零点 不合题意 f x1x f xR 若 则 2 e a ln21a 当时 即 1x 10 x ln21 2220 ax eaeaea 0fx 单调递增 f x 当时 即 1ln2xa 10 x ln2 220 ax eaea 0fx 单调递减 f x 当时 即 ln2xa 1ln210 xa ln2 220 ax eaea 0fx 单调递增 f x 即 x 1 1 1 ln2a ln2a ln2 a fx 0 0 f x 极大值 极小值 故当时 在处取到最大值 那么恒成立 即 ln2xa f x1x 1fe 0f xe 无解 0f x 当时 单调递增 至多一个零点 ln2xa f x 此时在上至多一个零点 不合题意 f xR 综上所述 当且仅当时符合题意 即的取值范围为 0a a 0 由已知得 不难发现 12 0f xf x 1 1x 2 1x 故可整理得 12 12 22 12 22 11 xx xexe a xx 设 则 2 2 1 x xe g x x 12 g xg x 那么 当时 单调递减 当时