2014高中数学 一题多变一题多解特训（十二）

1 一题多解一题多解 一题多变 十二 一题多变 十二 一一 题题 多多 解 妙解 妙 不不 可可 言言 求动点轨迹方程求动点轨迹方程 2010 年江南十校联考 理科 第 20 题求动点轨迹问题 参考答案仅提供一种方法 在实际教 学过程 中 带领学生通过探究讨论发现还有更多巧妙的方法 现总结如下 问题 如图 过圆4 22 yx与x轴的两个交点 A B 作圆的切线 AC BD 再过圆上任意一点 H 作圆的切线交 AC BD 于 C D 设 AD BC 的交点为 R 求动点 R 的轨迹 E 的方程 方法一方法一 参考答案 设4 2 0 2 00 0 yxyxH则 0 0 0 0 0 02 x y kxx x y k CDOH 且 故切线 CD 的 方程 0 0 0 0 xx x y yy 切线交 AC 于 42 2 0 0 y x C 交 BD 于 24 2 0 0 y x D 所以 AD 方程为 1 2 4 24 0 0 x y x y BC 方程为 2 2 4 24 0 0 x y x y 由 1 2 得 3 4 16 416 2 2 0 2 0 2 x y x y 4 2 0 2 0 yx由得 2 0 2 0 4xy 代入 3 式可得 4 4 1 22 xy 1 4 2 2 y x 当0 0 x时 R 0 1 也满足方程1 4 2 2 y x 故 R 的轨迹 E 的方程是 0 1 4 2 2 yy x 方法一比较通用 但在化简计算过程中比较繁琐 能否回避大量的计算呢 下面方法二明显优 于方法一 A C D B R H E X Y O F 2 方法二 方法二 设切线 CD 方程为bkxy 即0 bykx 1 4 1 2 22 2 kb k b r 2 2 2 2 kbDkbC 所以 AD 方程为 1 2 4 2 x kb y BC 方程为 2 2 4 2 x kb y 由 1 2 得 3 4 16 4 2 2 0 2 2 x kb y 1 4 22 kb 代入可得 4 4 1 22 xy 即 0 1 4 2 2 yy x 上述两法均用交轨法求出 R 的轨迹方程 区别仅在于运算量 有无更巧的方法呢 本题中根 据点 H 落在坐标轴上时 可以猜想出方程可能是 0 1 4 2 2 yy x 而在椭圆性质中 椭圆上任 意一点到椭圆长轴上两端点连线的斜率之积为定值 以此为突破口 借助圆的切线性质可以求之 方法三方法三 设 2 2 21 yDyC 不妨设0 0 21 yy 由圆的切线性质可知 2121 yyCDyDHyCH 过 C 作 CE BD 交 BD 于 E 故 12 DE 4 CEyy 由勾股定理知 4 4 21 2 12 22 21 yyyyyy 而 4 1 1644 2112 yyyy kkkk BCADRBRA 令 yxR 4 1 22 x y x y kk RBRA 化简可得 0 1 4 2 2 yy x 方法三运用平几与解几相结合 回避了求 直线方程 简化了计算 真的很巧 但有没有更妙 的方法呢 大家都知道椭圆是由圆压缩而成的 此处的椭圆是如何压缩的呢 请看方法四 读者 一定会感到此法最妙 方法四方法四 连接 HR 交x轴于 F BDHR HD CH RB CR DHBDCHAC RB CR BD AC BDAC 故 HF x轴 RHRF BD RH BD RF BD RH CD CH AB AF BD RF 3 故 R 为 HF 的中点 设 yxR 4 2 2 0 2 0 0 00 0 yx yy xx yxH 44 22 yx 故