2014高考数学一轮总复习 10.3 空间点、线、面之间的位置关系教案 理 新人教A版

1 10 310 3 空间点 线 面之间的位置关系空间点 线 面之间的位置关系 典例精析 题型一 证明三线共点 例 1 已知空间四边形 ABCD 中 E F 分别是 AB AD 的中点 G H 分别是 BC CD 上的点 且 2 求证 直线 EG FH AC 相交于同一点 P BG GC DH HC 证明 因为 E F 分别是 AB AD 的中点 所以 EF BD 且 EF BD 1 2 又因为 2 所以 GH BD 且 GH BD BG GC DH HC 1 3 所以 EF GH 且 EF GH 所以四边形 EFHG 是梯形 其两腰所在直线必相交 设两腰 EG FH 的延长线相交于一点 P 因为 EG 平面 ABC FH 平面 ACD 所以 P 平面 ABC P 平面 ACD 又平面 ABC 平面 ACD AC 所以 P AC 故直线 EG FH AC 相交于同一点 P 点拨 证明三线共点的方法 首先证明其中的两条直线交于一点 然后证明第三条直线 是经过这两条直线的两个平面的交线 由公理 3 可知 两个平面的公共点必在这两个平面 的交线上 即三条直线交于一点 变式训练 1 如图 在四面体 ABCD 中作截面 PQR PQ CB 的延长线交于 M RQ DB 的延长线交于 N RP DC 的延长线交于 K 求证 M N K 三点共线 证明 KDCRP NDBRQ MCBPQ M N K 在平面 BCD 与平面 PQR 的交线上 即 M N K 三点共线 题型二 空间直线的位置关系 例 2 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中 E 是 CD 的中点 连接 AE 并延长与 BC 的延长线交 于点 F 连接 BE 并延长交 AD 的延长线于点 G 连接 FG 求证 直线 FG 平面 ABCD 且直线 FG A1B1 证明 因为 E 为 CD 的中点 在正方体中 AE 平面 ABCD 又 AE BC F 所以 F AE 所以 F 平面 ABCD 同理 G 平面 ABCD 所以 FG 平面 ABCD 因为 ECAB 故在 Rt FBA 中 CF BC 同理 DG AD 1 2 所以在正方体中 CFDG 所以四边形 CFGD 是平行四边形 2 所以 FG CD 又 CD AB AB A1B1 所以直线 FG A1B1 点拨 空间直线的位置关系 常需利用线面 面面 线线的关系确定 推导时需有理有 据 变式训练 2 已知 AC 的长为定值 点 D 平面 ABC 点 M N 分别是 DAB 和 DBC 的重心 求证 无论 B D 如何变换位置 线段 MN 的长必为定值 解析 如图 延长 DM 交 AB 于 F 延长 DN 交 BC 于 E 因为 M N 为重心 所以 F E 分别为 AB BC 的中点 所以 EF AC 且 EF AC 1 2 又在 DEF 中 DM MF DN NE 2 1 所以 MN EF 且 MN EF 所以 MN AC 且 MN AC 2 3 1 3 即 MN 为与 B D 无关的定值 题型三 异面直线所成的角 例 3 在空间四边形 ABCD 中 已知 AD 1 BC 且 AD BC 对角线 BD AC 3 13 2 求 AC 和 BD 所成的角 3 2 解析 作平行线 找出与异面直线所成的角相等的平面角 将空间问题转化为平面 问题 如图所示 分别取 AD CD AB BD 的中点 E F G H 连接 EF FH HG GE GF 由三角形的中位线定理知 EF AC 且 EF GE BD 且 3 4 GE GE 和 EF 所成的锐角 或直角 就是 AC 和 BD 所成的角 13 4 同理 GH HF GH AD HF BC 1 2 3 2 又 AD BC 所以 GHF 90 所以 GF2 GH2 HF2 1 在 EFG 中 EG2 EF2 1 GF2 所以 GEF 90 即 AC 和 BD 所成的角为 90 点拨 立体几何中 计算问题的一般步骤 1 作图 2 证明 3 计算 求异面直线所 成的角常采用 平移线段法 平移的方法一般有三种类型 利用图中已有的平行线平移 利用特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移 补形平移 计算异面直线所成的角通常放在 三角形中进行 变式训练 3 线段 AB 的两端在直二面角 CD 的两个面内 并与这两个面都成 30 角 求异面直线 AB 与 CD 所成的角 解析 在平面 内作 AE CD 因为 CD 是直二面角 由面面垂直的性质定理 所以 AE 所以 ABE 是 AB 与平面 所成的角 所以 ABE 30 所以 AE AB 同理作 BF CD 则易得 BF AB 1 2 1 2 在平面 内作 BGEF 则四边形 BGEF 是矩形 即 BG GE 又因为 AE BG 所以 AE BG 所以 BG 平面 AEG 所以 BG AG 3 因为 BG EF 所以 BG CD 所以 ABG 是异面直线 AB 与 CD 所成的角 又因为在 Rt AEG 中 AG AB AE2 EG2AE2 FB2 2 2 所以在 Rt ABG 中 sin ABG AG AB 2 2 所以 ABG 4