2014届高三数学精品复习2 多面体与球

1 20142014 届高三数学精品复习之多面体与球届高三数学精品复习之多面体与球 1 三棱锥顶点在底面上的射影为三角形的外心 三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等 内心 三侧面与底面所成的二面角相等 垂心 相对的棱垂直 正三棱锥中相对的棱垂直 三棱锥三侧棱 侧面 两两垂直 顶点在底面上的射影为三角形的垂心 三棱锥一个顶点在 对面上的射影为三角形的垂心 三棱锥其余顶点在对面上的射影也为三角形的垂心 举例 1 已知三棱锥 S ABC 的底面是正三角形 点 A 在侧面 SBC 上的射影 H 是 SBC 的垂 心 SA a 则此三棱锥体积最大值是 解析 点 A 在侧面 SBC 上的射影 H 是 SBC 的垂心 点 S 在底面 ABC 上的射影 O 为 ABC 的垂心 又 ABC 为正三角形 O 为 ABC 的中心 即三棱锥 S ABC 为正三棱锥 记 SO h h a 则 AO 22 ha 于是有 AB 3 22 ha 记三棱锥 S ABC 体积为f h 则f h hha 4 3 22 f h 3 4 3 22 ha fmax h 3 3 af 6 3 a 举例 2 下面是关于三棱锥的四个命题 底面是等边三角形 侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形 侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形 侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥 侧棱与底面所成的角都相等 且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱 其中 真命题的编号是 写出所有真命题的编号 解析 侧面与底面所成的二面角都相等 则顶点在底面上的射影 O 是底面的内心 又底面 是等边三角形 故 O 是底面三角形的中心 所以三棱锥是正三棱锥 在三棱锥 S ABC中 令AB BC CA SA SB 2 SC 3 该三棱锥不是正三棱锥 底面是等边三角形且侧面的面积都 相等 则顶点到底面三边的距离相等 即顶点在底面上的射影 O 到底面三边的距离相等 但 这不意味着 O 是底面三角形的内心 还有可能是旁心 一个内角的平分线与另一个角的外角 平分线的交点 故三棱锥未必是正三棱锥 侧棱与底面所成的角都相等 则顶点在底面 上的射影 O是底面的外心 侧面与底面所成的二面角都相等 则 O 是底面的内心 底面三角 形的内 外心重合 则必为正三角形且 O 为其中心 故该三棱锥是正三棱锥 巩固 1 已知三边长分别为 4 5 6 的 ABC 的外接圆恰好是球 O 的一个大圆 P 为球面上一 点 若点 P 到 ABC 的三个顶点的距离相等 则三棱锥 P ABC 的体积为 A 8 B 10 C 20 D 30 巩固 2 对于四面体 ABCD 给出下列四个命题 若 AB AC BD CD 则 BC AD 若 AB CD AC BD 则ADBC 若 AB AC BD CD 则 BC AD 若 AB CD BD AC 则 BC AD 其中真命题的序号是 写出所有真命题的序号 2 关注长方体对角线的性质 长方体的对角线与过一个顶点的三条棱所成角的余弦的平 方和为 1 长方体的对角线与过一个顶点的三个面所成角的余弦的平方和为 2 举例 已知锐角 满足 cos2 cos2 cos2 1 则 tan tan tan 的最小值 为 2 AB C D A1 B1 C1D1 C1 B1 A1 A C C2 A2 B 图 3 1 图 3 2 A1 A C B1 C1 B H 解析 本题若考虑三角变换 将不胜其烦 由 cos2 cos2 cos2 1 联想到锐角 是长方体的对角线与过一个顶点的三条棱所成角 记该长方体过一个顶点的三条棱长 分别为a b c 则 tan tan tan c ba b ca a cb 222222 c ab b ac a bc222 22 当且仅当a b c时 等号成立 巩固 已知空间三平面 两两垂直 直线l与平面 所成的角都是 300 则直 线l与平面 所成的角是 3 求多面体的体积常用 割补法 关注组成多面体的个部分体积之间的比例关系 如同底 等高的 柱 是 锥 的体积的 3 倍 求 锥 的体积关键是 高 等积转换 是常用的 办法 举例 1 以平行六面体相邻两个面上相互异面的两条对角线的端点为顶点的四面体的体积是 平行六面体的体积的 A 6 1 B 4 1 C 3 1 D 5 1 解析 如图 以 A1B 和 B1C 的端点为顶点的四面体是 三棱锥 A1 BB1C 将原平行六面体视为四棱柱 ADD1A1 BCC1B1 易见三棱锥的底面积是四棱柱 的底面积的一半 高相等 故三棱锥的体积是 四棱柱的体积的 6 1 选 A 举例 2 如图 3 1 是一个直三棱柱 以 111 ABC为底面 被一平面所截得到的几何体 截面为 ABC 已知 1111 1ABBC 111 90ABC 1 4AA 1 2BB 1 3CC 求此几何 体的体积 07 高考江西理 20 解析 过B作截面 22 BA C 面 111 ABC 分别 交 1 AA 1 CC于 2 A 2 C 如图 3 2 原几何体可视为四棱锥 B ACC2A2 与三棱柱 A1B1C1 A2BC2的组合体 作 22 BHA C 于H 则 BH 是四棱锥 的高 2 2 BH 2 1 2 2 2 21 2 1 3 1 3 1 2222 BHSV AACCAACCB 1 11122111 BBSV CBABCACBA 1 故所求几何体体积为 2 3 巩固 1 在三棱柱 ABC A1B1C1中 侧面 A1ABB1是菱形 侧面 BCC1B1是矩形 C1B1 AB 求平 面 C1AB1把棱柱分成两部分的体积的比 巩固 2 如图 在多面体 ABCDEF 中 已知 ABCD 是 3 边长为 1 的正方形 且 ADE BCF 均为正三角形 EF AB EF 2 则该多面体的体积为 A 3 2 B 3 3 C 3 4 D 2 3 4 解决多面体表面上两点间距离最小值的问题 常运用侧面展开法侧面展开法 转化为平面图形两点 间距离处理 多面体展开时要注意各种不同的展开方式 举例 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB BC 2 BB1 2 ABC 900 E F 分别为 AA1 C1B1的中点 求沿棱柱的表面从 E 到 F 两点的最短路径的长度 解析 解析 题中 E F 分别在 AA1 C1B1上 所以 展开 后的图形中必须有 AA1 C1B1 故 展开 方式有以下四种 沿 CC1将面 ACC1A1和面 BCC1B1展开至同一平面 如图 4 1 求得 EF2 22 2 11 沿 BB1将面 ABB1A1和面 BCC1B1展开至同一平面 如图 4 2 求得 EF2 22 2 7 沿 A1B1将面 ABB1A1和面 A1B1C1展开至同一平面 如图 4 3 求得 EF2 2 2 7 沿 A1C1将面 ACC1A1和面 A1C1B1展开至同一平面 如图 4 4 求得 EF2 2 9 可见 EF 的最小值为 2 23 巩固 在正三棱锥 S ABC 中 SA 1 ASB 300 过点 A 作三棱锥的截面 AMN 求截面 AMN 周 长的最小值 5 平面截球所得到的截面是圆 圆心与球心的连线垂直于截面 截面圆的半径 圆心与球 E F AB C A1 C1 B1 E AC A1B1 B F C1 图 4 1 E AB A1C1 C F B1 图 4 2 E AB A1 C1 F B1 图 4 3 E AC A1 B1 F C1 图 4 4 4 A B C P A C P B AB CD P O O1 心的连线段 球的半径所构成的直角三角形是解决球的截面问题的 核心 图形 举例 如图 已知 A B C 是表面积为 48 的球面上的 三点 AB 2 BC 4 ABC 600 O 为球心 则二面角 O AB C 的大小为 A 3 B 4 C arccos 3 3 D arccos 11 33 解析 球的半径为32 ABC 为直角三角形 斜边 BC 是其外接圆的直径 记 BC 的中点为 O1 则 OO1 面 ABC 在 Rt OO1B 中 OB 32 BO1 2 OO1 22 取 AB 中点 D 连 OD O1D 则 AB OD AB O1D ODO1是二面角 O AB C 的平面角 在 Rt ABC 中 O1D 2 1 AC 3 故在 Rt OO1D 中 OD 11 cos ODO1 11 3 ODO1 arccos 11 33 选 D 巩固 过球的一条半径的中点 作垂直于该半径的平面 则所得截面的面积与求的表面积的 比为 6 求多面体的外接球半径一般需确定球心的位置 长方体 正方体 的对角线是其外接球 的直径 将多面体 补 成长方体 正方体 是研究多面体外接球的常用的办法 举例 1 三棱锥 P ABC 中 PA 平面 ABC AB BC 若 PA AC 2 则该三棱锥的外接球的 体积是 解析 思路一 找球心 到三棱锥 四个顶点距离相等等的点 注意到 PC 是 Rt PAC 和 Rt PBC 的 公共的斜边 记它的中点为 O 则 OA OB OP OC 2 1 PC 1 即该三棱锥 的外接球球心为 O 半径为 1 故它的体积为 3 4 方法二 补体 将三棱锥补成长方体 如图所示 它的对角线 PC 是其外接球的直径 举例 2 正四棱锥 P ABCD 的五个顶点在同一球面上 若该正四棱锥的底面边长为 4 侧棱长为62 则 5 这个球的表面积为 解析 正四棱锥 P ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1上 记为 O PO AO R PO1 4 OO1 R 4 或 OO1 4 R 此时 O 在 PO1的延长线上 在 Rt AO1O 中 R2 8 R 4 2得 R 3 球的表面积 S 36 巩固 1 如果三棱锥的三个侧面两两垂直 它们的面积分别为 6 2 cm 4 2 cm和 3 2 cm 那么它 的外接球的体积是 巩固 2 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上 其中底面的三个顶点在该球的一 个大圆上 则该正三棱锥的体积是 07 高考陕西理 6 A 4 33 B 3 3 C 4 3 D 12 3 迁移 点 P 在直径为 2 的球面上 过 P 两两垂直的 3 条弦 若其中一条弦长是另一条的 2 倍 则这 3 条弦长之和的最大值是 7 球面上两点间的球面距离是 球心角 两点与球心的连线段的夹角 的弧度数与球的半 径的积 举例 设球O的半径是 1 A B C是球面上三点 已知A到B C两点的球面距离都是 2 且二面角B OA C的大小为 3 则从A点沿球面经B C两点再回到A点的最短距离是 A 6 7 B 4 5 C 3 4 D 2 3 07 高考四川理 6 解析 球O的半径是 1 A到B C两点的球面 距离都是 2 AOB AOC 2 BOC 就是 二面角B OA C的平面角 BOC 3 故 B C 两点间的球面距离为 3 从A点沿球面经B C两点 再回到A点的最短距离即 A B C 两两间的球面距离之和 故选 C 注 本题容易误以为所求的 最短距离 是 ABC 的外接圆的周长 读者不妨求求该周长 倒是很好的锻炼 先求 ABC 的三边的长 再用正弦定理 巩固 顶点在同一球面上的正四棱柱ABCDA B C D 中 12AB AA 则 AC 两点间的球面距离为 07 高考福建理 8 A B C 2 4 D 2 2 8 球的内接正多面体和外切正多面体的中心均为球心 球的内接长方体的体对角线是球的 直径 球的外切正方体的边长是球的直径 与边长为 a 的正方体各条棱都相切的球的直径为 2a 边长为 a 的正四面体的内切球的半径为a 12 6 正四面体高的 4 1 外接球的半径为 6 a 4 6 举例 已知棱长为 a 的正四面体 ABCD 有内切球 O 经过该棱锥 A BCD 三侧棱中点的截面为 则 O 到平面 的距离为 解析 记棱锥 A BCD 的高为 AO1 O 在 AO1上且 OO1 4 1 AO1 AO1与面 交于 M 则 MO1 2 1 AO1 故 MO OO1 4 1 AO1 a 12 6 巩固 半径为 1 的球面上的四点ABCD 是正四面体的顶点 则A与B两点间的球面 距离为 07 高考安徽理 8 A 3 arccos 3 B 6 arccos 3 C