2014年高考广西文科数学试题及答案(word解析版)

1 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 广西卷 年普通高等学校招生全国统一考试 广西卷 数学 文科 数学 文科 第第 卷 共卷 共 60 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 2014 年广西 文 1 5 分 设集合 则中元素的个数为 12 4 68 12 35 6 7 MN MN A 2 B 3 C 5 D 7 答案 B 解析 所以中元素的个数为 3 故选 B 1 2 6MN MN 点评 此题考查了交集及其运算 熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2 2014 年广西 文 2 5 分 已知角的终边经过点 则 4 3 cos A B C D 4 5 3 5 3 5 4 5 答案 D 解析 由三角函数定义知 故选 D 2 2 44 cos 5 43 点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义 两点间的距离公式的应用 属于基础题 3 2014 年广西 文 3 5 分 不等式组的解集为 2 0 1 x x x A B C D 21 xx 10 xx 01 xx 1 x x 答案 C 解析 由得或 由得 所以不等式组的解集为 故选 20 x x 0 x 2x 1x 11x 01xx C 点评 本题主要考查一元二次不等式 绝对值不等式的解法 属于基础题 4 2014 年广西 文 4 5 分 已知正四面体中 是的中点 则异面直线与所成角的余ABCDEABCEBD 弦值为 A B C D 1 6 3 6 1 3 3 3 答案 B 解析 如图 取的中点 连接 因为 分别是 的中点 ADFEFCFEFABAD 所以 故或其补角是异面直线 所成的角 1 2 EFBDCEF CEBD 设正四面体的棱长为 易知 在中 ABCDa 3 2 CECFa 1 2 EFa CEF 由余弦定理可得 故选 B 22 2 313 222 3 cos 631 2 22 aaa CEF aa 点评 本题考查异面直线及其所成的角 关键是找角 考查了余弦定理的应用 是中档题 5 2014 年广西 文 5 5 分 函数的反函数是 3 ln11yxx A B C D 3 11 x yex 3 11 x yex 3 1 x yex R 3 1 x yex R 答案 D FE D C B A 2 解析 由得 即 又由可知 所以原函数的反函数为 3 ln1yx 3 1eyx 3 e1 y x 1x y R 故选 D 3 e1 y yy R 点评 本题考查反函数解析式的求解 属基础题 6 2014 年广西 文 6 5 分 已知为单位向量 其夹角为 则 ab60 2 abb A 1 B 0 C 1 D 2 答案 B 解析 故选 B 2 2 222 1 1 cos6010 abba bb 点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义 属于基础题 7 2014 年广西 文 7 5 分 有 6 名男医生 5 名女医生 从中选出 2 名男医生 1 名女医生组成一个医疗 小组 则不同的选法共有 A 60 种 B 70 种 C 75 种 D 150 种 答案 C 解析 根据题意 先从 6 名男医生中选 2 人 有种选法 再从 5 名女医生中选出 1 人 有种选 2 6 15C 1 5 5C 法 则不同的选法共有 15 5 75 种 故选 C 点评 本题考查分步计数原理的应用 注意区分排列 组合的不同 8 2014 年广西 文 8 5 分 设等比数列的前项和为 若 则 n an n S 24 315SS 6 S A 31 B 32 C 63 D 64 答案 C 解析 由等比数列的性质得 即 解得 故选 C 2 42264 SSSSS 2 6 12315S 6 63S 点评 本题考查等比数列的性质 得出 成等比数列是解决问题的关键 属基础题 2 S 42 SS 64 SS 9 2014 年广西 文 9 5 分 已知椭圆 的左 右焦点为 离心率为 C 22 22 1 xy ab 0 ab 1 F 2 F 3 3 过的直线 交于 两点 若的周长为 则的方程为 2 FlCAB 1 AFB 4 3C A B C D 22 1 32 xy 2 2 1 3 x y 22 1 128 xy 22 1 124 xy 答案 A 解析 的周长为 离心率为 1 AFB 4 344 3a 3a 3 3 1c 22 2bac 椭圆的方程为 故选 A C 22 1 32 xy 点评 本题考查椭圆的定义与方程 考查椭圆的几何性质 考查学生的计算能力 属于基础题 10 2014 年广西 文 10 5 分 正四棱锥的顶点都在同一球面上 若该棱锥的高为 4 底面边长为 2 则该 球的表面积为 A B C D 81 4 16 9 27 4 答案 A 解析 设球的半径为 则 棱锥的高为 4 底面边长为 2 R 2 2 2 42RR 球的表面积为 故选 A 9 4 R 2 981 4 44 点评 本题考查球的表面积 球的内接几何体问题 考查计算能力 是基础题 11 2014 年广西 文 11 5 分 双曲线 的离心率为 2 焦点到渐近线的距离为C 22 22 1 00 xy ab ab 则的焦距等于 3C A 2 B C 4 D 2 24 2 答案 C 3 解析 由已知得 所以 故 从而双曲线的渐进线方程为2 c e a 1 2 ac 22 3 2 bcac 由焦点到渐进线的距离为 得 解得 故 故选 C 3 b yxx a 3 3 3 2 c 2c 24c 点评 本题主要考查是双曲线的基本运算 利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式 建立方程组是 解决本题的关键 比较基础 12 2014 年广西 文 12 5 分 奇函数的定义域为 R 若为偶函数 且 则 f x 2 f x 1 1f 8 9 ff A B C D 2 1 01 答案 D 解析 由是偶函数可得 又由是奇函数得 2fx 22fxf x fx 22fxf x 所以 故是以 4 为周期的周期函数 22f xf x 4f xf x fx 所以 又是定义在上的奇函数 所以 924111fff fxR 00f 所以 故 故选 D 800ff 891ff 点评 本题主要考查函数值的计算 利用函数奇偶性的性质 得到函数的对称轴是解决本题的关键 第第 II 卷 共卷 共 100 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 分 13 2014 年广西 文 13 5 分 的展开式中的系数为 用数字作答 6 2 x 3 x 答案 160 解析 通项 令 得 所以的系数为 66 166 C22C rr rrrr r Txx 63r 3r 3 x 3 3 6 2C160 点评 本题考查二项式定理的应用 关键要得到的展开式的通项 6 2x 14 2014 年广西 文 14 5 分 函数的最大值为 cos22sinyxx 答案 3 2 解析 因为 所以当时 2 2 13 12sin2sin2 sin 22 yxxx 1 sin1x 1 sin 2 x max 3 2 y 点评 本题主要考查二倍角的余弦公式 二次函数的性质应用 正弦函数的值域 属于基础题 15 2014 年广西 文 15 5 分 设 满足约束条件 则的最大值为 xy 0 23 21 xy xy xy 4zxy 答案 5 解析 由约束条件作出可行域如图 联立 解得 0 23 21 xy xy xy 0 23 xy xy 1 1C 化目标函数为直线方程的斜截式 得 4zxy 1 44 z yx 由图可知 当直线过点时 直线在轴上的截距最大 最大 此 1 44 z yx Cyz 时 max 14 15z 点评 本题考查简单的线性规划 考查了数形结合的解题思想方法 是中档题 16 2014 年广西 文 16 5 分 直线和是圆的两条切线 若与的交点为 则与 1 l 2 l 22 2xy 1 l 2 l 1 3 1 l 2 l 的夹角的正切值等于 答案 4 3 解析 设与的夹角为 由于与的交点在圆的外部 且点与圆心之间的距离为 1 l 2 l2 1 l 2 l 1 3AAO 4 圆的半径为 1910OA 2r 2 sin 10 r OA 2 2 cos 10 sin1 tan cos2 2 2tan14 tan2 1 1tan3 1 4 点评 本题主要考查直线和圆相切的性质 直角三角形中的变角关系 同角三角函数的基本关系 二倍角的 正切公式的应用 属于中档题 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 题 共题 共 75 分 分 17 2014 年广西 文 17 10 分 数列满足 n a 1221 1222 nnn aaaaa 1 设 证明是等差数列 1nnn baa n b 2 求的通项公式 n a 解 1 由得 即 又 21 22 nnn aaa 211 2 nnnn aaaa 1 2 nn bb 121 1baa 所以是首项为 1 公差为 2 的等差数列 n b 2 由 1 得 即 于是 所以 121 n bn 1 21 nn aan 1 11 21 nn kk kk aak 2 11n aan 又 所以的通项公式为 2 11n ana 1 1a n a 2 1 22 n ann 点评 本题考查了等差数列的定义 通项公式 前项和公式 及累加法求数列的通项公式和转化思想 属n 于中档题 18 2014 年广西 文 18 12 分 的内角 的对边分别为 已知 ABC ABCabc3 cos2 cosaCcA 求 1 tan 3 A B 解 根据正弦定理 由3 cos2 cos3sincos2sincosaCcAACCA sinsin 323tan2tan coscos AC AC AC 因为 所以 所以 1 tan 3 A 11 32tantan 32 CC 11 tantan 32 tan 1 11 1tantan 1 32 AC AC AC 因为 所以 由三角形的内角和可得 0AC 4 AC 3 44 B 点评 本题考查了正弦定理 同角的三角函数基本关系式 两角和差的正切公式 诱导公式等基础知识与基 本技能方法 考查了推理能力和计算能力 属于中档题 19 2014 年广西 文 19 12 分 如图 三棱柱中 点在平面内的射影 111 ABCABC 1 AABC 在上 DAC 0 90ACB 1 1 2BCACCC 1 证明 11 ACAB 2 设直线与平面的距离为 求二面角的大小 1 AA 11 BCC B3 1 AABC 解 解法一 1 因为平面 平面 故平面平面 1 A D ABC 1 A D 11 AAC C 11 AAC C ABC 又 所以平面 连结 因为侧面为菱形 故BCAC BC 11 AAC C 1 AC 11 AAC C 11 ACAC 由三垂线定理得 11 ACA B 2 平面 平面 故平面平面 BC 11 AAC CBC 11 BCC B 11 AAC C 11 BCC B 作 为垂足 则平面 又直线平面 因而为直线 11 AECC E 1 A E 11 BCC B 1 A A 11 BCC B 1 AE 1 A A 与平面的距离 因为为的平分线 故 作 11 BCC B 1 3AE 1 AC 11 ACC 11 3ADAE DFAB 为垂足 连结 由三垂线定理得 故为二面角的平面角 F 1 A F 1 A FAB 1 A FD 1 AABC 5 由得为中点 22 11 1ADAAAD DCA 15 25 ACBC DF AB 1 1 tan15 AD AFD DF 所以二面角的大小为 1 AABC arctan 15 解法二 以为坐标原点 射线为轴的正半轴 以的长为单位长 建立如图所示的空间直角 CCAxCB 坐标系 由题设知与轴平行 轴在平面内Cxyz 1 ADxz 11 AAC C 1 设 由题设有 则 1 0 A ac2 2 0 0 0 1 0 aAB 2 1 0 2 0 0 ABAC 2 分 1 2 0 AAac 111 4 0 1 ACACAAac BAac 由 即 22 1 2 2 2AAac 22 40aac 于是 所以 5 分 22 11 40ACBAaac 11 ACAB 2 设平面的法向量 则 所以 11 BCC B mx y z 1 mCB mBB 1 0 0m CBm BB 因 所以 令 则 11 0 1 0 2 0 CBBBAAac 0 2 0 y axcz xc 2za 0 2 mca 点到平面的距离为 A 11 BCC B 2222 222 cos 2 2 44 CA mccc CAm CAc m caaac 又依题设 到平面的距离为 所以代入 解得 舍去 或 8 分A 11 BCC B33c 3a 1a 于是 设平面的法向量 则所以 1 1 0 3 AA 1 ABA np q r 1 nAA nAB 1 0 0n AAn AB 所以 令 则 又为平面 3 30 3 20 2 prrp pq qp 3p 2 3 1 3 2 3 1 qrn 0 0 1 p ABC 的法向量 故 222 11 cos 4 3 2 3 11 n p n p np 所以二面角的大小为 12 分 1 AABC 1 arccos 4 点评 本题考查二面角的求解 作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键 属中档题 20 2014 年广西 文 20 12 分 设每个工作日甲 乙 丙 丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 各人是否需使用设备相互独立 0 6 0 5 0 5 0 4 1 求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率 2 实验室计划购买台设备供甲 乙 丙 丁使用 若要求 同一工作日需使用设备的人数大于 的概kk 率小于 求的最小值 0 1k 解 记表示事件 同一工作日乙 丙中恰有 人需使用设备 i Ai0 1 2i 表示事件 甲需使用设备 表示事件 丁需使用设备 表示事件 同一工作日至少 3 人需使用设备BCD 1 122 DA B CABAB C 2 2 0 6 0 4 0 5 0 1 2 i i P BP CP ACi 所以 122 P DP A B CABAB C 122 P A B CP ABP AB C 122 P A P B P CP A P BP A P B P C 0 31 2 由 1 知 若 则 又 2k 0 310 1P F 2 EB C A 22 0 06P EP B C AP B P C P A 若 则 所以的最小值时为 3 3k 0 60 1F k 点评 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式 体现了分类讨论的数学思想 属于中档题 21 2014 年广西 文 21 12 分 函数 32 33 0 f xaxxx a 1 讨论的单调性 f x 6 2 若在区间是增函数 求的取值范围 f x 12 a 解 1 的判别式 363fxaxx 0fx 36 1a i 若 则 且当且仅当 故此时在上是增函数 1a 0fx 1a 1x fxR ii 由于 故当时 有两个根 0a 1a 0fx 1 11a x a 2 11a x a 若 则当或时 故在 上是增01a 2 xx 1 xx 0fx fx 2 x 1 x 函 数 当时 故在上是减函数 21 xxx 0fx fx 21 xx 若 则当或时 故在 上是减函数 0a 1 xx 2 x 0fx fx 1 x 2 x 当时 故在上是增函数 21 xxx 0fx fx 12 x x 2 当 时 故当时 在区间上是增函数 0a 0 x 2 3630fxaxx 0a fx 1 2 当时 在区间上是增函数当且仅当且 解得 0a fx 1 2 10 f 20 f 5 0 4 a 综上 的取值范围是 a 5 00 4 点评 本题考查函数的导数的应用 判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围 考查分类 讨论思想的应用 22 2014 年广西 文