【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第6篇 第5讲 数列的综合应用限时训练 理

1 第第 5 5 讲讲 数列的综合应用数列的综合应用 分层 A 级 基础达标演练 时间 30 分钟 满分 55 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 2012 北京 已知 an 为等比数列 下面结论中正确的是 A a1 a3 2a2 B a a 2a 2 12 32 2 C 若a1 a3 则a1 a2 D 若a3 a1 则a4 a2 解析 设公比为q 对于选项 A 当a11 025 的最小n值是 A 9 B 10 C 11 D 12 解析 因为a1 1 log2an 1 log2an 1 n N N 所以 an 1 2an an 2n 1 Sn 2n 1 则满足Sn 1 025 的最小n值是 11 答案 C 3 2012 济南质检 设y f x 是一次函数 若f 0 1 且f 1 f 4 f 13 成等比 数列 则f 2 f 4 f 2n 等于 A n 2n 3 B n n 4 C 2n 2n 3 D 2n n 4 解析 由题意可设f x kx 1 k 0 则 4k 1 2 k 1 13k 1 解得k 2 f 2 f 4 f 2n 2 2 1 2 4 1 2 2n 1 2n2 3n 答案 A 4 2013 威海期中 某化工厂打算投入一条新的生产线 但需要经环保部门审批同意方可 投入生产 已知该生产线连续生产n年的累计产量为f n n n 1 2n 1 吨 但如 1 2 果年产量超过 150 吨 将会给环境造成危害 为保护环境 环保部门应给该厂这条生产 线拟定最长的生产期限是 A 5 年 B 6 年 C 7 年 D 8 年 2 解析 由已知可得第n年的产量an f n f n 1 3n2 当n 1 时也适合 据题意 令an 150 n 5 即数列从第 8 项开始超过 150 即这条生产线最多生产 7 年 2 答案 C 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 5 2012 安庆模拟 设关于x的不等式x2 x 2nx n N N 的解集中整数的个数为an 数 列 an 的前n项和为Sn 则S100的值为 解析 由x2 x 2nx n N N 得 0 x 2n 1 因此知an 2n S100 10 100 100 2 200 2 答案 10 100 6 2013 南通模拟 已知a b c成等比数列 如果a x b和b y c都成等差数列 则 a x c y 解析 赋值法 如令a b c分别为 2 4 8 可求出 x 3 y 6 2 a b 2 b c 2 a x c y 答案 2 三 解答题 共 25 分 7 12 分 已知函数f x log2x logx2 0 x 1 数列 an 满足f 2an 2n n N N 1 求数列 an 的通项公式 2 判断数列 an 的单调性 思维启迪 1 将an看成一个未知数 解方程即可求出an 2 通过比较an和an 1的大 小来判断数列 an 的单调性 解 1 由已知得 log22an 2n 1 log22an an 2n 即a 2nan 1 0 1 an2n an n n2 1 0 x 1 0 2an 1 an1 0 2n 1 n 1 n an 1 an an 是递增数列 3 法二 an 1 an n 1 n 1 2 1 n n2 1 1 n n2 1 n 1 n 1 2 1 又 anan an 是递增数列 探究提高 本题融数列 方程 函数单调性等知识为一体 结构巧妙 形式新颖 着 重考查逻辑分析能力 8 13 分 某家庭计划年初向银行贷款 10 万元用于买房 他们选择 10 年期贷款 偿还贷 款的方式为 分 10 次等额归还 每年一次 并从借后次年年初开始归还 若 10 年期贷 款的年利率为 4 且每年利息均按复利计算 即本年的利息计入次年的本金生息 问 每年应还多少元 精确到 1 元 其中 1 0410 1 480 2 解 按照贷款的规定 在贷款全部还清时 10 万元贷款的价值与这个人还款的价值总 额应该相等 我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间 即贷款全部付清时 去计 算 在 10 年后 即贷款全部付清时 10 万元的价值为 105 1 4 10元 设每年还款x元 则第 1 次偿还的x元 在贷款全部付清时的价值为x 1 4 9 第 2 次偿还的x元 在贷款全部付清时的价值为x 1 4 8 第 10 次偿还的x元 在贷款全部付清时的价值为x元 则 105 1 4 10 x 1 4 9 x 1 4 8 x 1 4 7 x 由等比数列的求和公式 可得 105 1 0410 x 1 0410 1 1 04 1 所以x 12 330 105 1 480 2 0 04 0 480 2 分层 B 级 创新能力提升 1 已知f x bx 1 是关于x的一次函数 b为不等于 1 的常数 且g n Error 设 an g n g n 1 n N N 则数列 an 为 A 等差数列 B 等比数列 C 递增数列 D 递减数列 解析 a1 g 1 g 0 f g 0 g 0 b 1 1 b 当n 2 时 an g n g n 1 f g n 1 f g n 2 b g n 1 g n 2 ban 1 所以 an 是等比数列 答案 B 2 2013 福州模拟 在等差数列 an 中 满足 3a4 7a7 且a1 0 Sn是数列 an 前n项的 和 若Sn取得最大值 则n A 7 B 8 4 C 9 D 10 解析 设公差为d 由题设 3 a1 3d 7 a1 6d 所以d a10 即a1 n 1 0 4 33a1 所以n0 同理可得n 10 时 an 0 故当n 9 时 Sn取得最大值 答案 C 3 设曲线y xn 1 n N N 在点 1 1 处的切线与x轴的交点的横坐标为xn 令an lg xn 则a1 a2 a3 a99的值为 解析 由y n 1 xn x N N 所以在点 1 1 处的切线斜率k n 1 故切线方程 为y n 1 x 1 1 令y 0 得xn 所以a1 a2 a3 a99 lg x1 lg n n 1 x2 lg x99 lg x1 x2 x99 lg lg 2 1 2 2 3 99 99 1 1 99 1 答案 2 4 2012 沈阳四校联考 数列 an 的前n项和为Sn 若数列 an 的各项按如下规律排列 有如下运算和结论 1 2 1 3 2 3 1 4 2 4 3 4 1 5 2 5 3 5 4 5 1 n 2 n n 1 n a24 3 8 数列a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 是等比数列 数列a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 的前n项和为Tn n2 n 4 若存在正整数k 使Sk 10 Sk 1 10 则ak 5 7 其中正确的结论有 将你认为正确的结论序号都填上 解析 依题意 将数列 an 中的项依次按分母相同的项分成一组 第n组中的数的规律 是 第n组中的数共有n个 并且每个数的分母均是n 1 分子由 1 依次增大到n 第n组中的各数和等于 1 2 3 n n 1 n 2 对于 注意到 21 24cn n N N SnTn Kn 1 解 设公差为d 则Error 解得d 1 或d 0 舍去 a1 2 所以an n 1 Sn n n 3 2 又a1 2 d 1 所以a3 4 所以数列 bn 的首项为b1 2 公比q 2 b2 b1 所以bn 2n Tn 2n 1 2 2 证明 因为Kn 2 21 3 22 n 1 2n 故 2Kn 2 22 3 23 n 2n n 1 2n 1 得 Kn 2 21 22 23 2n n 1 2n 1 Kn n 2n 1 则cn SnTn Kn n 3 2n 1 2n 1 cn 1 cn n 4 2n 1 1 2n 2 n 3 2n 1 2n 1 0 2n 1 n 2 2n 2 所以cn 1 cn n N N 6 6 2012 安徽 设函数f x sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 x 2 xn 1 求数列 xn 的通项公式 2 设 xn 的前n项和为Sn 求 sin Sn 解 1 因为f x cos x 0 cos x 1 2 1 2 解得x 2k k Z Z 2 3 由xn是f x 的第n个正极小值点知 xn 2n n N N 2 3 2 由 1 可知 Sn 2 1 2 n n n n 1 所以 sin Sn sin 2 3 2n 3 n