【赢在高考】2013届高考数学一轮复习 阶段检测评估(四)配套练习

1 阶段检测评估 四 阶段检测评估 四 时间 120 分钟 满分 150 分 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 如图所示是由等腰梯形 矩形 半圆 圆 倒三角形对接形成的轴对称平面图形 若将它绕轴l旋转 180 后形成一个组合体 下面说法不正确的是 A 该组合体可以分割成圆台 圆柱 圆锥和两个球体 B 该组合体仍然关于轴l对称 C 该组合体中的圆锥和球只有一个公共点 D 该组合体中的球和半球只有一个公共点 答案 A 解析 半圆绕l旋转后 可得半球 故组合体中只有一个球 2 在空间中 两条直线没有公共点 是 这两条直线平行 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 在空间中 两条直线没有公共点 可能是两条直线平行 也可能是两条直线异面 两条直线平行则两条 直线没有公共点 两条直线没有公共点 是 这两条直线平行 的必要不充分条件 3 若 表示不同的平面 m n表示不同的直线 则m 的一个充分条件是 A 且B 且m n m n C m n且n D 且 m 答案 D 解析 由 A 得m 或故 A 错 由 B 得m 或 故 B 错 由 C 得m 或故 C 错 由 m m m D 得m 故 D 正确 4 一个空间几何体的正视图 侧视图都是面积为且一个内角为 60 的菱形 俯视图为正方形 那么这个几 3 2 何体的表面积为 2 A B C 4D 8 2 34 3 答案 C 解析 由几何体的三视图可得 此几何体是由两个正四棱锥底面重合在一起组成的 由正视图的面积为 得菱形的边长为 1 此几何体的表面积为 3 2 1 81 14 2 S 5 如图甲所示的一个正方体 它的展开图可能是下面四个展开图中的 答案 A 6 表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上 则此球的体积为 2 3 A B C D 2 3 3 2 3 2 2 3 答案 A 解析 此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形 所以由知a 1 又底面对角线为 2 3 82 3 4 a 22a 3 即此球的直径为则 2 4 3 V 球 34 3 R 322 23 7 已知直线a b和平面下列推理错误的是 A B a b ab a ab b C 或D b ab b a a a b a 答案 D 解析 可能a b或a b异面 8 正方体ABCD 的棱长为是的中点 则过 A C 三点的截面面积是 1111 ABC D 1 a E 11 AD 1 E A B C D 29 8 a 23 4 a 22 2 a 23 2 a 答案 A 解析 如图 取的中点则梯形为过 A C 的截面 又梯形的高 OG 11 C D 1 F 11 ACFE 1 E 11 ACFE 3 2 2 a 故四边形的面积为S 11 ACFE 2 23 2 2 2 29 28 a aa a 9 一平面截一球得到直径是 6 cm 的圆面 球心到这个平面的距离是 4 cm 则该球的体积是 A cmB cm 100 3 3208 3 3 C cmD cm 500 3 3416 3 3 3 答案 C 解析 设球的半径为 R 截面半径为 3 cm 球心到截面距离为 4 cm 于是 R 5 222 34R 该球的体积cm 3344500 5 333 VR 3 10 在 xOz 平面内 与三点 A 0 1 2 B 2 0 1 C 1 2 0 等距离的点 D 的坐标为 A 1 0 0 B 0 1 0 4 C 0 0 1 D 0 0 0 答案 D 解析 设点 D 的坐标为 a 0 b 由 DA DB DC 可得 2222222 1 2 2 0 1 1 4ababab 解得a b 0 即点 D 的坐标为 0 0 0 11 正五棱柱中 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线 那么一个正五棱柱对角 线的条数共有 A 20 条B 15 条C 12 条D 10 条 答案 D 解析 从正五棱柱的上底面 1 个顶点与下底面不与此点在同一侧面上的两个顶点相连可得 2 条对角线 故 共有2 10 条对角线 5 12 如图 矩形 ABCD 中 AB 3 BC 4 沿对角线 BD 将 ABD 折起 使 A 点在平面 BCD 内的射影 O 落在 BC 边 上 若二面角 C AB D 的大小为则 sin的值等于 A B C D 3 4 7 4 3 7 7 4 5 答案 A 解析 由题意可求得 973 444 7BOOCAO 建立空间直角坐标系如图 则 79 44 0 0 0 0 CB 37 44 0 07 3 0 AD 4 3 0 BD BA 93 44 07 5 设m m x y z 是平面 ABD 的一个法向量 则 取 93 44 430 70 xy xz 28 3 3 77zxy 则m m 28 3 73 7 又 0 3 0 是平面 ABC 的一个法向量 CD 16 3 728 4 7 3 cos CD CD CD m m m sin 27 3 44 1 第 卷 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形 则原平面四边形的面积等于 答案 2 2 2a 解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则 可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积 S 之间的关系是S 本题中直观图的面积为所以原平面四边形的面积等于 2 4 S 2 a 2 2 2 2 2 4 a a 14 如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图 这些相同的小正方体的个数是 答案 5 解析 由几何体的三视图 作出其直观图如图所示 故答案为 5 15 有一种多面体的饰品 其表面由 6 个正方形和 8 个正三角形组成 如图 则AB与CD所成角的大小是 6 答案 60 或 3 解析 作出多面体的部分图形 如图 可知CD FG AB EF 则AB与CD所成的角为EFG EFG为等边三角形 60EFG 16 对于平面上的点集如果连接中任意两点的线段必定包含于则称为平面上的凸集 给出平面上 4 个点集的图形如下 阴影区域及其边界 其中为凸集的是 写出所有凸集相应图形的序号 答案 解析 对于图 若连接顶端两点 如图 1 7 即 A B 两点 则线段AB在外 故 不符合 中如图 2 的连法所得线段AB也会在外 故 错 符合 凸集 定义 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 如图是表示以矩形ABCD为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体 其中AB 4 BC 3 四边形EFGH为截面 已知AE 5 BF 8 CG 12 1 作出截面EFGH与底面ABCD的交线l 2 截面四边形EFGH是否为菱形 并证明你的结论 3 求 DH的长 解 1 延长HE与DA 交于点P 延长GF与CB 交于点Q 连接PQ得直线l 它便是所求作的交线l 如图 2 截面四边形EFGH为菱形 因为平面ABFE 平面DCGH 且平面EFGH分别与平面ABFE 平面DCGH相交于直线EF GH 故EF GH 同理 FG EH 故四边形EFGH为平行四边形 又 222 25EFABBFAE 222 25FGBCCGBF 于是EF FG 5 故四边形EFGH为菱形 3 EH FG 5 且 222 EHADDHAE DH 9 22 253 5 DH 8 18 本小题满分 12 分 如图所示 在直四棱柱ABCD 中 已知 1111 ABC D AB DC 1 22DCDDADAB ADDC 1 求证 11 DCAC 2 设E是DC上一点 试确定E的位置 使 平面并说明理由 1 D E 1 ABD 解 1 证明 在直四棱柱ABCD 中 连接 四边形是正方形 1111 ABC D 1 C D 1 DCDD 11 DCC D 11 DCDC 又 1 ADDC ADDD DC 平面且 1 DD 11 DCC D 1 DCDDD 平面 AD 11 DCC D 平面 1 DC 11 DCC D 1 ADDC 又 平面且 1 AD DC 1 ADC 1 ADDCD 平面 1 DC 1 ADC 9 又 平面 1 AC 1 ADC 11 DCAC 2 点E为DC的中点时 平面 1 D E 1 ABD 连接 11 AD D E AE 设AE N 连接MN 11 ADADM BD E为DC的中点 2AB DC DE AB DEAEABEDBABD ABN EDN DN BN 即N为BD中点 又M是中点 1 AD 在 中 MN 1 AED 1 D E 又平面平面 MN 11 ABD D E 1 ABD 平面 1 D E 1 ABD 19 本小题满分 12 分 如图所示 为了制作一个圆柱形灯笼 先要制作 4 个全等的矩形骨架 总计耗用 9 6 米 铁丝 再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面 不安装上底面 1 当圆柱底面半径r取何值时 S取得最大值 并求出该最大值 结果精确到 0 01 平方米 2 若要制作一个如图放置的 底面半径为 0 3 米的灯笼 请作出用于制作灯笼的三视图 作图时 不需考虑骨 架等因素 解 1 由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为 2 2r 9 68 2 1 8 r 塑料片面积S r 1 2 2r 4r 4 4r 3 8r 2 2r 2 2r 2 r3 2 2r 2 0r 10 当r 0 4 时 S有最大值 约为 1 51 平方米 2 若灯笼底面半径为 0 3 米 则高为 1 0 3 0 6 米 22 制作灯笼的三视图如图 20 本小题满分 12 分 2011 湖南高考 理 19 如图 在圆锥 PO 中 已知的直径 AB 2 C 是2POO A AB 的中点 D 为 AC 的 中点 1 证明 平面平面 PAC POD 2 求二面角 B PA C 的余弦值 解法一 1 证明 连接 OC 因为 OA OC D 是 AC 的中点 所以 ACOD 又底面底面所以 因为 OD PO 是平面 POD 内的两条相交直线 所以平PO O AC AO AACPO AC 面 POD 而平面 PAC 所以平面平面 PAC AC POD 2 在平面 POD 中 过 O 作于 H 由 1 知 平面 平面 PAC 所以平面 PAC OHPD POD OH 11 又平面 PAC 所以 PA PAOH 在平面 PAO 中 过 O 作于 G 连接 HG 则有平面 OGH 从而故为二面角OGPA PA PAHG OGH BPAC 的平面角 在 Rt ODA 中sin 45 ODOA 2 2 在 Rt POD 中 22 PO OD POOD OH 2 2 1 2 2 10 5 2 在 Rt POA 中 22 62 1 3 2 1 PO OA POOA OG 在 Rt OHG 中 sin 10 5 6 3 15 5 OH OG OGH 所以 cos 2 1OGH sin OGH 1015 255 1 故二面角 B PA C 的余弦值为 10 5 解法二 1 证明 如图所示 以 O 为坐标原点 OB OC OP 所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐 标系 则 O 0 0 0 A 1 0 0 B 1 0 0 C 0 1 0 0 02 P 11 22 0 D 设n n是平面 POD 的一个法向量 则由n nn n得 1111 x y z 1 0OD 1 0OP 11 1122 1 0 20 xy z 所以 取得n n 111 0zxy 1 1y 1 11 0 设n n是平面 PAC 的一个法向量 则由n nn n得 2222 xy z 2 0PA 2 0PC 22 22 20 20 xz yz 所以 2222 22xzyz 12 取得n n 2 1z 2 22 1 因为n nn n 1 2 11 0 22 1 0 所以n nn n 从而平面平面 PAC 1 2 POD 2 因为 y 轴平面 PAB 所以平面 PAB 的一个法向量为n n 由 1 知 平面 PAC 的一个法向量为n n 3 0 1 0 2 22 1 设向量n n和n n的夹角为则 23 cos 23 23 102 5 5 nn nn 由图可知 二面角 B PA C 的平面角与相等 所以二面角 B PA C 的余弦值为 10 5 21 本小题满分 12 分 一几何体的三视图如下 1 画出它的直观图 并求其体积 2 你能发现该几何体的哪些面互相垂直吗 试一一列出 解 1 该几何体的直观图如图 13 三棱锥P ABC 其中平面 ABC斜边AC上的高为 cm PC 90ABCABC 12 5 PC 6 cm AC 5 cm cm 1112 5612 325 P ABC V 3 2 互相垂直的面分别有 平面平面ABC 平面平面ABC 平