【绿色通道】2012高三数学一轮复习 第7章 立体几何检测 文 新人教A版

用心 爱心 专心 1 单元质量检测单元质量检测 七七 一 选择题 1 2009 上海春招 在空间中 两条直线没有公共点 是 这两条直线平行 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 在空间中 两条直线没有公共点 可能是两条直线平行 也可能是两条直线异面 两条直线平行则两条直线没有公共点 两条直线没有公共点 是 这两条直线平行 的 必要不充分条件 答案 B 2 2009 茂名一模 如下图所示为一个简单几何体的三视图 则其对应的实物是 解析 由三视图及空间想象可知选 A 答案 A 3 2009 山东高考 下列几何体各自的三视图中 有且仅有两个视图相同的是 A B C D 解析 正方体的三视图都是正方形 不合题意 圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形 俯视图是圆 符合题意 三棱台的正视图和侧视图 俯视图各不相同 不合题意 正四棱锥 的正视图和侧视图都是三角形 而俯视图是正方形 符合题意 所以 正确 答案 D 4 2009 皖南八校三次联考 已知某个几何体的三视图如图 正视图中的弧线是半圆 根据图中标出的尺寸 可得这个几何体的表面积是 用心 爱心 专心 2 A 4 2 cm2 B 6 2 cm2 C 4 3 cm2 D 6 3 cm2 解析 由三视图可知 该几何体是底面直径和高均为 2 cm 的放倒的半个圆柱 其中轴 截面的面积为 4 cm2 半个侧面的面积为 2 cm2 两底面的面积之和为 cm2 所以这个几 何体的表面积是 4 3 cm2 故应选 C 答案 C 5 2009 通州模拟 用平行于圆锥底面的截面去截圆锥 所得小圆锥的侧面积与原来 大圆锥的侧面积的比是 则小圆锥的高与大圆锥的高的比是 1 2 A B 1 1 2 C D 2 22 解析 设小圆锥的高 底面半径 母线长分别为h r l 大圆锥的高 底面半径 母 线长分别为H R L 则 2 1 22 rl 1 22 RL 1 2 rl RL r R 1 2 r R 2 2 h H r R 2 2 答案 C 6 2009 青岛一检 已知直线l 平面 直线m 平面 下面有三个命题 l m l m l m 则真命题的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 对于 由直线l 平面 则l 又直线m 平面 l m 故 正确 对于 由条件不一定得到l m 还有l与m相交和异面的情况 故 错误 对 用心 爱心 专心 3 于 可知正确 故正确命题的个数为 2 答案 C 7 2009 潍坊一检 已知m n是两条不同的直线 是三个不同的平面 则 下列命题正确的是 A 若 则 B 若m n m n 则 C 若m n m 则n D 若n n 则 解析 对于选项 A 垂直于同一平面的两个平面也可以相交 如正方体相邻的两个平面 故 A 错 对于选项 B 设平面 与平面 相交于直线l 则在这两个平面内都存在与交线 平行的直线 此时这两直线也平行 故 B 也错 对于选项 C 应有n 或n 两种情形 对于选项 D 由线面垂直性质知 垂直于同一直线的两平面平行 故 D 正确 答案 D 8 2009 辽宁高考 正六棱锥P ABCDEF中 G为PB的中点 则三棱锥D GAC与三棱 锥P GAC体积之比为 A 1 1 B 1 2 C 2 1 D 3 2 解析 由题意可知三棱锥VB GAC VP GAC VB GAC VG BAC VD GAC VG ADC 又因为三棱锥 G BAC与三棱锥G ADC等高 且S BAC S ADC 1 2 综上可知VD GAC VP GAC 2 1 故 选 C 答案 C 9 2009 杭州二检 如右图 设平面 EF AB CD 垂足分别是 B D 如果增加一个条件 就能推出BD EF 这个条件不可能是下面四个选项中的 A AC B AC EF C AC与BD在 内的射影在同一条直线上 用心 爱心 专心 4 D AC与 所成的角相等 解析 选项 A B C 均可推出EF 平面ABCD 从而可推出BD EF 而由选项 D 并不能 推出BD EF 故选 D 答案 D 10 2009 安徽模拟 若二面角M l N的平面角大小为 直线m 平面M 则平面 2 3 N内的直线与m所成角的取值范围是 A B 6 2 4 2 C D 0 3 2 2 解析 直线m与平面N内的直线所成角最小为m与平面N所成的角 显然m与N内直 6 线所成角最大为 因为N内一定有直线与m垂直 2 答案 A 11 如下图所示 E F分别为正方体的面ADD1A1 面BCC1B1的中心 则四边形BFD1E在 该正方体的面上的射影可能是下图中的 A 四个图形都正确 B 只有 2 3 正确 C 只有 4 错误 D 只有 1 2 正确 解析 在面ABCD上的射影为图 2 在面B1BCC1上的射影为图 3 在任何一个面上的 射影都不会是图 1 和图 4 答案 B 12 2009 九江模拟 在正方体ABCD A1B1C1D1中 其棱长为 1 下列命题中 正确的 命题个数为 用心 爱心 专心 5 A1C1和AD1所成角为 3 点B1到截面A1C1D的距离为 2 3 3 正方体的内切球与外接球的半径之比为 1 2 A 3 B 2 C 1 D 0 解析 连接BC1 则BC1 AD1 A1C1B为异面直线A1C1与AD1所成角 显然 A1C1B 3 到平面A1C1D的距离为的点是B不是B1 2 3 3 正方形的内切球与外接球半径之比为 1 1 2 3 23 答案 C 二 填空题 13 2009 杭州二检 如右图 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方 形 俯视图是直径为 1 的圆 那么这个几何体的侧面积为 解析 由三视图可知 原几何体为底面直径为 1 母线长也为 1 的圆柱 故由圆柱侧面 积公式可得S 2 1 1 2 答案 14 在正方体ABCD A1B1C1D1中 点P在侧面BCC1B1及其边界上移动 并且总是保持 AP BD1 则动点P的轨迹是 解析 由题意 当P点移动时 AP确定的平面与BD1垂直 点P应在线段B1C上 答案 线段B1C 15 2009 日照二调 如下图所示 四棱锥P ABCD的底面是一直角梯形 用心 爱心 专心 6 AB CD CD 2AB E为PC的中点 则BE与平面PAD的位置关系为 解析 取PD的中点F 连接EF AF 由题中条件易得四边形ABEF为平行四边形 从而 进一步可推出BE AF 根据线面平行的判定定理可得BE 平面PAD 或取CD的中点M 连接 EM BM 由条件可推出平面BEM 平面PAD 进一步也可得出BE 平面PAD 答案 平行 16 已知每条棱长都为 3 的直平行六面体ABCD A1B1C1D1中 BAD 60 长为 2 的线 段MN的一个端点M在DD1上运动 另一个端点N在底面ABCD上运动 则MN中点P的轨迹与 该直平行六面体的表面所围成的几何体中体积较小的几何体的体积为 解析 连接PD 可得PD 1 即点P的轨迹为以点D为球心 半径为 1 的球截直平行六 面体ABCD A1B1C1D1所得的部分 如右图所示 由DD1 平面ABCD及 ADC 可得该几何体为球体的 所以其体积为 2 3 1 3 1 2 1 6 V 13 1 6 4 3 2 9 答案 2 9 三 解答题 17 已知圆锥的底面半径为r 高为h 正方体ABCD A B C D 内接于圆锥 求这 个正方体的棱长 解 设正方体棱长为a 用心 爱心 专心 7 如右图作出组合体的轴截面 则OS h OP r OA 2a 2 SO A SOP 即 O A OP SO SO 2a 2r h a h a 即正方体的棱长为 2rh 2r 2h 2rh 2r 2h 18 如右图 在四棱锥P ABCD中 PD 平面ABCD 四边形ABCD是菱形 AC 6 BD 8 E是PB上任意一点 AEC面积的最小值是 3 1 求证 AC DE 2 求四棱锥P ABCD的体积 解 1 连接BD 设AC与BD相交于点F 因为四边形ABCD是菱形 所以AC BD 又因为PD 平面ABCD AC 平面ABCD 所以PD AC 而PD BD D 所以AC 平面PDB E为PB上任意一点 DE 平面PDB 所以AC DE 2 连接EF 由 1 知AC 平面PDB EF 平面PDB 所以AC EF S ACE AC EF 在 ACE面积最小时 EF最小 则EF PB 1 2 此时S ACE 3 6 EF 3 1 2 解得EF 1 由 PDB FEB 得 PD EF PB FB 用心 爱心 专心 8 由于EF 1 FB 4 所以PB 4PD 又PB 4PD PD2 64PD2 64 解得PD 8 15 15 VP ABCD S菱形ABCD PD 1 3 24 1 3 8 15 15 64 15 15 图甲 19 2009 广州模拟 如图 在四棱锥P ABCD中 底面为正方形 PC与底面ABCD垂 直 右图甲 图乙为该四棱锥的正视图和侧视图 它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角三 角形 1 根据图乙所给的正视图 侧视图画出相应的俯视图 并求出该俯视图的面积 图乙 2 图丙中 E为棱PB上的点 F为底面对角线AC上的点 且 求证 EF 平面 BE EP CF FA PDA 图丙 解 1 该四棱锥的俯视图为内含对角线 边长为 6 cm 的正方形 如下图 其面积为 36 cm2 用心 爱心 专心 9 2 连接BF并延长交AD于G 连接PG 则在正方形ABCD中 BF FG CF FA 又 CF FA BE EP BF FG BE EP 在 BGP中 EF PG 又EF 平面PDA PG 平面PDA EF 平面PDA 20 2009 淄博模拟 如右图 在四棱锥S ABCD中 底面ABCD是正方形 SA 平面 ABCD 且SA AB 点E为AB的中点 点F为SC的中点 1 求证 EF CD 2 求证 平面SCD 平面SCE 证明 1 连结AC AF BF EF SA 平面ABCD AF为 Rt SAC斜边SC上的中线 AF SC 1 2 又 ABCD是正方形 CB AB 而由SA 平面ABCD 得CB SA 又AB SA A CB 平面SAB CB SB BF为 Rt SBC斜边SC上的中线 BF SC 1 2 AFB为等腰三角形 EF AB 又CD AB EF CD 2 由已知易得 Rt SAE Rt CBE SE CE 即 SEC是等腰三角形 EF SC 用心 爱心 专心 10 又 SC CD C EF 平面SCD 又EF 平面SCE 平面SCD 平面SCE 21 2009 广东高考 如下图 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 点E是正方形 BCC1B1的中点 点F G分别是棱C1D1 AA1的中点 设点E1 G1分别是点E G在平面DCC1D1 内的正投影 1 求以E为顶点 以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积 2 证明 直线FG1 平面FEE1 3 求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值 解 1 由题意知EE1 平面DCC1D1 且四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为四边形 FG1DE1 点E是正方形BCC1B1的中心 EE1 1 SFG1DE1 SDCC1D1 S FD1G1 S E1C1F S DCE1 由题设知点E1 G1分别是CC1 DD1的中点 SFG1DE1 22 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 故所求的四棱锥体积为VE FG1DE1 SFG1DE1 EE1 2 1 1 3 1 3 2 3 2 由 1 知 E1C1F与 G1D1F均为等腰直角三角形 G1FE1 G1F FE1 2 EE1 平面DCC1D1 FG1 平面DCC1D1 EE1 FG1 又 EE1 FE1 E1 FG1 平面FEE1 3 由 1 的解答知E1G1 AB EAB即为E1G1与EA所成的角 连接EB 由题意得EB AB 平面BCC1B1 EBA为直角三角形 2 EA EB2 AB2 2 2 226 sin EAB EB EA 2 6 3 3 22 如下图 在正三棱锥A BCD中 BAC 30 AB a 平行于AD BC的截面EFGH 分别与AB BD DC CA交于E F G H四点 用心 爱心 专心 11 1 试判断四边形的形状 并说明判断理由 2 设P点是棱AD上的点 当AP为何值时 平面PBC 平面EFGH 请说明理由 解 1 四边形