华约自主招生试题中关于概率试题的研究

本科毕业论文论文题目：华约自主招生试题中关于概率试题的研究 学生姓名： 刘舒心 学 号 ： 200900810106 专 业 ： 数学与应用数学 指导教师： 杨泽忠 学 院： 数学科学学院 1 2013 年 5 月 20 日论文（设计）题 目华约自主招生试题中关于概率试题的研究 选题时间 2012 年 11 月25 日 完成时间 2013 年 5月 20 日论文（设计）字数约 6000 字关 键 词 概率、华约、数学教学、数学知识论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：概率问题的背景一般复杂多变，它可以与生产、生活紧密结合，因此这类问题在自主招生考试中经常碰到。解决概率问题要分清是互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率还是独立重复试验的概率。另外，排列组合知识是解决本专题问题的基础。预测 2013 年华约考试中，概率问题应该继续受到自主招生命题的青睐，所以有针对性的对概率问题进行备考复习，应该会收到很好的效果。论文（设计）的主要内容及创新点：本文主要研究两个问题：第一个是近年来华约自主招生试题中的概率试题有哪些特点？第二个是为了复习备考，老师应怎样辅导学生学习？通过研究发现近几年华约试题中概率问题的出题特点主要有三类：第一类，注重数学知识和其他学科的整合。第二类，注重概率问题和其他数学知识的综合。第三类，注重对概率问题发生过程以及处理概率问题的基本方法的考查。由此，对教师提出如下建议：（一）要提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。 （二）要注意知识点的全面性。平时多加强数学专业知识尤其是和概率有关的知识的学习。 （三）注重概率问题的常用方法的积累。 （四）注重知识的延伸，要注重高中教材之外，课本中没有出现的概率知识。附：论文（设计） 本人签名：刘舒心 2013 年 5 月 20日目录 摘要-1一、引言-2二、试题分析-2（一）注重数学知识和其他学科的整合-2（二）注重概率问题和其他数学知识的综合-4（三）注重对概率问题发生过程以及处理概率问题的基本方法的考查-6三、年“华约-9（一）加强学生应用数学知识解决实际问题的能力-9（二）要注意知识点的全面性-9（三）要注重概率问题的常用方法的积累-9（四）要注重知识的延伸-9参考文献-10华约自主招生试题中关于概率问题的研究刘舒心(数学科学学院 数学与应用数学专业 09 级)摘要：本文主要研究两个问题：第一个是近年来华约自主招生试题中的概率试题有哪些特点？第二个是为了复习备考，老师应怎样辅导学生学习？通过研究发现近几年华约试题中概率问题的出题特点主要有三类：第一类，注重数学知识和其他学科的整合。第二类，注重概率问题和其他数学知识的综合。第三类，注重对概率问题发生过程以及处理概率问题的基本方法的考查。由此，对教师提出如下建议：（一）要提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。 （二）要注意知识点的全面性。平时多加强数学专业知识尤其是和概率有关的知识的学习。 （三）注重概率问题的常用方法的积累。 （四）注重知识的延伸，要注重高中教材之外，课本中没有出现的概率知识。关键词：概率、华约、数学教学、数学知识Study on the probability of the Warsaw Pact independent recruitment examinationLiu Shuxin（School of Mathematical Sciences Mathematics and Applied Mathematics Level 09 ）Abstract: This paper mainly studies two problems: the first is in recent years the Warsaw Pact independent recruitment probability test questions of what characteristics? The second is to review of the notes, the teacher should be how to coach students? Through the study found that the characteristics of probability problems in recent years in Warsaw Pact questions are mainly three categories: first, pay attention to the integration of mathematics and other disciplines. Second, pay attention to issues of probability and other mathematical knowledge synthesis. Third, pay attention to the basic method and probability of occurrence probability of examination. Therefore, suggestions are as follows: (a) the ability of teachers to improve the students application of mathematical knowledge to solve practical problems. (two) to pay attention to comprehensive knowledge points. Usually strengthen mathematics professional knowledge especially and probability knowledge learning. (three) commonly used methods focus on the probability of accumulation. (four) focus on the extension of knowledge, should pay attention to high school textbooks, the textbook knowledge no probability.Key words: Probability, the pact, mathematics teaching, mathematics knowledge一、引言概率问题的背景一般复杂多变，它可以与生产、生活紧密结合，因此这类问题在自主招生考试中经常碰到。解决概率问题要分清是互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率还是独立重复试验的概率。另外，排列组合知识是解决本专题问题的基础。二、试题分析从 2002 到 2012 年近十年的“华约”概率试题的分析，我们不难看到“华约”概率试题的考试题型逐渐成熟，基本趋于稳定，而且具备以下特点：（一）注重数学知识和其他学科的整合2010 年的题目注重和生物学的整合，2007 年的清华自主招生和 2012 年“华约”试题中都出现了概率和物理的综合题目，近几年各高校的自主招生题目都很注重这方面的综合考查，这也成为了概率题出题的一个基本方向和基本模式，预计今后还将延续这一思想真题 1（2010 年“华约”试题）假定亲本总体中三种基因型式：AA，Aa，aa 的比例分别为 且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的1)2(:u两个，求(1)求子一代中 AA，Aa，aa 所占比例分别为多少？(2)子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由。分析本题是概率和生物知识结合的题目，按照基因型搭配的方式进行列表可以很快得到正确结果。解（1）父亲的基因有 AA，Aa，aa 三种情况，母亲的基因也有 AA，Aa，aa 三种情况，故搭配起来共有种情况，列表如下：子一代父母AAAAAA AaAAaaAaAAAaAaAaaaAaAAaa AaaaaaAA 2u0 u20 0 0 0Aa 0 u0aa 0 0 0 0 20 2把每行数据相加，可得22222: : uuaA这就是子一代三种基因型的比例。 (2)设 ，上式即为 且 ，由于 ，yxu, 22:yx112yx将 分别看成 则由（1）的结论可知，子二代为 AA，Aa，aa 的比例为2,yx,22 222:yxyx故子二代与子一代比例相同。真题 2（2007 年清华大学）已知音响设备由五个部分组成：A.电视机，B.影碟机，C.线路，D.左声道和 E.右声道，其中每个部分工作的概率入土所示。能听到声音时，当且仅当 A 与 B 中由一个工作， C 工作，D 与 E 中有一个工作；且 D 和 E 同时工作则有立体声效果。 A.09C.095B5D.094E求：（1）能听到立体声效果的概率；（2）听不到声音的概率。分析：本题利用对立事件的概率公式，再通过图示即可求出结果。解（1）能听到立体声效果的概率为： 。83529.094.50).10( 2（2）听不到声音的概率为： 。1)6(95.1真题3（2012年“华约”试题）系统内有 个元件，每个元件正常工作，则系2k统正常工作。求系统正常工作的概率 并讨论 的单调性。kp分析：本题是二项分布概率模型，考查二项分布概率求解公式以及公式的变形应用。解法一 通过组合数 的变形，寻找出 与 的关系。Cnk121kp显然 102knpp，Cnknkknnkkk 21212121212 1211112111210 21212 20010 122120 1222011 pp pppppppkk kknn kkk kkkn nnnknkn knkknkn knkknknCCC因此，当 时， 递增；当 时， 递减；当 时， 。k2k21pkp1解法二 通过事件发生的过程，寻找出 与 的关系。1kp显然 。注意到前 次的概率是前 次成功 次10122knnkpp kk的概率加上前 次成功 次而后两次有且只有一次成功的概率以及 次成功12次而后两次都成功的概率。于是有k.121112 2221121 pp ppkk kk kkkCC因此 当 时 ， 递增；当 时， 递减；当 时， 。k21pk21pkp1（二）注重概率问题和其他数学知识的综合上述试题中体现了与二项分布、排列组合恒等式以及递推数列的综合，基于递推数列背景的概率问题从 02 年上海交通大学开始，到 04 年的同济大学，近年来一直受到自主招生考试院校的青睐；基于二项式定理，排列组合的概率问题也是这些年自主招生和高考的重点之一，其实排列组合和二项式定理一直是概率问题中重点知识，这些内容的综合对学生的能力均有较高要求。真题 4（2002 年上海交通大学）A，B 两人轮流掷一个骰子，由 A 先掷，若 A 掷到一点，仍由 A 掷，若 A 掷不到一点，则换 B 掷，对 B 同样适用此规则，如此依次投掷，记第 n 次由 A 的概率为 。n（1）求 与 的关系；1n（2）求 。nlim分析：本题属于互斥事件有一个发生的问题，并运用了有关数列极限的知识。 解（1）由题意可知，B 掷的概率为 ，A 掷到 1 点的概率为 ，B 掷不到 一n161点的概率为 ， 。656532)(651Annnn（2）设 ，则xnlim.li1xn因为 ，,6531n两边取极限得 ，解得 ，2x21x所以 。1limAn真题 5（2004 年同济大学） 袋中有红球和白球共 100 个，如从这袋中任取 3 个球，红球和白球共 100 个，试问：袋中有几个红球时，能使取出的 3 个球全为同色的概率为最小？分析：本题属于相互独立事件同时发生的概率问题的典型，通过运用排列组合问题解决。解 设红球、白球的个数分别为想，x，y ，则有 10yx从袋中任取 3 个红球的概率为 。9723310Cx同理，全为白球的概率为。9723yy由于这两个事件是互斥的，从而 3 个球为同色的概率为023 yxxy由 式可得，xyyxyx301363 ,2422从而 ，30251301970242xxy因此，当 x=50 时，概率最小，最小值为 。8真题 6（2009 年清华大学文科）在 12 名员工中有 3 名男员工，现要将 12 人平均分配到 3 个部门。（1）试求三个男员工分配到不同部门的概率 ；P1（2）试求三个男员工分配到相同部门的概率 ；2（3）试求一个男员工指定到某一部门，另两个在不同部门的概率 。3分析：本题是运用排列组合知识求解概率的典型。解 12 个人平均分配到三个部门的分法总数为： C4812(1) 。5164812393CAP(2) 。4812(3) 。528/3348124372969 A（二）注重对概率问题发生过程以及处理概率问题的基本方法的考查列举法，递推法以及二项式系数的变形等都是处理概率问题的基本方法列举法是处理概率问题最根本的方法，但同时又是学生最容易遗忘的方法，有时列举法在解题中能起到事半功倍的效果，如真题 7（2010 年清华大学等五校联考） 。还有基本公式的运用，如真题 8（2009 年清华大学理科） 。从概率问题的发生过程寻找递推关系也是一种常用方法，对于较复杂的问题，寻找相邻两项或者几项之间的递推关系特别有效，例如真题 9（2011 年“华约”试题） 。还有些类似赋值法等不常用的方法，但在具体情境中却很有用，如真题 10（2010 年清华大学）因此，考生在学习和处理概率问题时，要特别注意这些方法的尝试真题 7（2010 年清华大学等五校联考）甲、乙等四人相互传球，第一次由甲球传出，每次传球时，传球者等可能地传给另外 3 人中的任何 1 人。（1）经过 2 次传球后，球在甲、乙两人手中的概率各是多少？（2）经过 n 次传球后，球在甲手中的概率记为 ，试求出 与 的关)2,(nPn1P系式，并求 的表达式及 。Pnlim分析：第一问通过列举法即可求出，第二问利用数列的变形。解（1）经过 2 次传球后，球在甲手中的概率为 ，求在乙手中的概率为 。319231(2)记 表示事件 “经过 n 次传递后，球在甲手中” ， 则有nA ,2n,0)(1P第 次传递，球到甲手中的概率为 ，所以 与 的关系式为31Pn1， )(1nn,2将 式变形为 ，因此数列 是公比为 的等比数列，其首项为431Pnn 41n31，故有 41,21,314,3411 nnnP由式可得： 。limnn真题 8（2009 年清华大学理科）随机挑选一个三位数 I， （1）求 I 含有因子 5 的概率；（2）求 I 中恰好有两个数码相等的概率。分析：本题属于相互独立事件同时发生的概率问题。解（1)I 含有因子 5 的概率为 。5190(2)I 中恰有两个数码相等的概率为 。027892真题 9（2011 年“华约”试题）将一枚均匀的硬币连续抛掷 n 次，以 表示未出np现连续 3 次正面的概率。(1) 求 ；4321,p(2)探究数列 的递推公式，并给出证明：n(3)讨论数列 的单调性及其极限 P，并阐述该极限得概率意义。分析：本题有一定的难度，要求考生有较强的推理能力，属于独立重复试验的概率，但利用第一问的结果，可以找到求 递推公式的方法。np 解（1） ，8721,1,321 p当连续抛掷 4 次时，出现连续 3 次正面的可能情况是（正正正反） 、 （反正正正） 、（正正正正） ，因此，。163244p（2）可以借助前 n-1 次，前 n-2 次，前 n-3 次以及前 n-4 次未出现连续 3 次正面的概率推导出前 n 次未出现连续 3 次正面的概率 。np解法 1 记前 n-1 次未出现连续 3 次正面的概率为 ，1若第 n 次为反面，则前 n 次一定没有连续 3 次正面，满足题意；若第 n 次为正面，则考虑前 n-2 次的情况：记前 n-2 次未出现连续 3 次正面的概率为，2p 若第 n-1 次为反面，又第 n 次为正面，则前 n 次一定没有连续 3 次正面，满足题意；若第 n-2 次为正面，则考虑前 n-3 次的情况：记前 n-3 次未出现连续 3 次正面的概率为 ，3np（a）若第 n-2 次为反面，又第 n-1 次为正面，第 n 次为正面，则前 n 次一定没有连续 3 次正面，满足题意；（b）若第 n-2 次为正面，又第 n-1 次为正面，第 n 次为正面，则不满足题意；除上述之外，再无其他情况综上所述， 。32184nnpp解法 2 记前 n-1 次未出现连续 3 次正面的概率为 ，前 n-4 次未出现连续 3 次n正面的概率为 ，则前 n 次未出现连续 3 次正面的情况是：前 n-1 次未出现连续 34np次正面的情况下，去掉第 n 次后可能出现连续 3 次正面的情况：只有第 n 次，第 n-1次，第 n-2 次均为正，第 n-3 次为反面所以， （其实利用法一的416nnpp结论 ，也可以很方便的推出 ） 。,8142132nnnpp 41nn（3）由 知， ，所以数列 的单调递减；又由 ，416nn1nnp14np所以 ，416nnpp1165nnp 所以 ，2221 16565 nnnn ppp所以 的极限 ，其概率的统计意义是经无数次尝试后，连续3次正面这样的小概n0率事件也必然发生，从而其对立事件发生的概率为0。真题 10（2010 年清华大学）12 个人围坐在一个圆桌旁参加一个游戏，主持人给每人发一顶帽子，帽子的颜色包括红、黄、蓝、紫。每个人都可以看见所有其他 11人帽子的颜色，但是不知道自己帽子的颜色。现在主持人让这 12 人同时来猜自己头上帽子的颜色。这 12 人可以事先约定一种策略，但是当游戏开始后就不能经行交流，他们的目标是使 12 人同时回答正确的机会最大。假定主持人给每个人发的帽子的颜色是完全随机的，试给出一种策略，并分析在此策略下所有人都猜对的概率。分析：本题难度较大，利用赋值法解比较简便。解：显然每个人猜对的概率是 ，故所有人都猜对的概率不会超过 。下面给出4141所有人都猜对的概率为 的一种策略。这 12 个人事先给红、黄、蓝、紫这四种颜色分别赋值：0,1,2,3,并且约定每个人均算出其余 11 个人的帽子的颜色总和 mod4 的余数。然后就猜测自己帽子的颜色都等价于这 12 个人的帽子的颜色对应值的和被 12 整除，因此，所有人都猜对的概率等于这 12 个人帽子的颜色对应值的和被 12 整除的概率。由于主持人给每个人发的帽子的颜色是完全随机的，因此所有人都猜对的概率为 。41三、2013 年“华约”概率问题备考建议根据以上真题的解析，我从以下两个方面谈一谈在概率问题备考方面的建议。（一）加强学生应用数学知识解决实际问题的能力。真题一、真题二、真题三考查了概率问题与生物学和物理学有密切的关系，凸显了自主招生考试注重数学知识和其他学科的整合，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力真题一第二问是生物学中的一个重要规律，现在用数学的方法加以证明，从而体现了数学作为基础学科，在生物学等其他学科中解决问题的重要工具的作用另外，列表法是学习和解决概率问题的原始方法，真题一通过列举将搭配情况逐一枚举，可以让我们能够清晰的获知子一代的三种基因的数据，从而求得要求的比例关系。(二)要注意知识点的全面性从上述几道考试真题，我们可以看出，概率问题对知识的综合性有一定的要求，尽管它可以和其他学科知识综合，但用到的其他学科的知识较为简单，而更多的还是数学内部知识的综合考查因此平时要加强数学专业课各方面知识的学习，尤其是和概率有关的一些内容，比如排列组合、二项式定理、递推数列、涂色问题等等，这些知识和概率知识经常交汇出题，应该受到我们的重视平时应注重对这些知识的广度和深度的挖掘，多总结解题方法，多提升数学思维能力，培养数学素养（三）注重概率问题的常用方法的积累比如分类讨论、列表分析、寻找递推关系等等都是处理概率问题的基本方法，数学题目被猜中的可能性很小，知识点和解题方法一般都是靠平时积累，只有平时扎扎实实的学习才能考出好成绩。（四）要注重知识的延伸 全国重点院校自主招生考试试题比高考试题稍难，比数学竞赛试题又稍易。有些问题有一定的深度，这就要求考生平时注意知识点的延伸。要关注那些高考要求很淡化、但自主招生要求很高的内容；要注重教材之外、课本中没有出现的知识。总之，概率问题作为在自主招生考试的宠儿，我们必须认真重视它，注重解题方法总结，培养解题能力，提高数学素养相信广大师生可以在自主招生中更好地处理这类问题。参考文献1薄林.中国名牌大学自主招生试题解析M.盐城：教育科学出版社江苏凤凰盐城印刷有限公司，.2褚宝增.高考自主招生数学教辅(概率）DBOL./view/546c18b4f121dd36a32d8251.html,2013-5-24.3紫光教育组.数学应用指南及真题精解M.北京：清华大学出版社，2011.4李含进,钱昭晖.“华约”数学考试概率试题分析及 2013 年备考对策D.江苏省锡山高级中学,2012.5樊兆春.自主招生数学备考DBOL./course/view/bfc65fbfc77da26925c5b004?fr=search，2013-5-24.6乔德金，贾广素，王子峰.济宁市第一中学校本教材决胜自主招生（数学分册）DBOL./p-606163156269.html，2013-05-24.7唐迎春.重点大学自主招生考试通用教材(数学)M.长春：吉林大学出版社，2011.山东师范大学本科毕业论文（设计）选题审批表学院：数学科学学院(章) 系别/教研室：数学教育教研室 时间：2012 年 11 月 25 日题目名称 华约自主招生试题中关于概率试题的研究 课题性质 A 基础研究 B 基础应用研究 C 应用研究教师姓名 杨泽忠 职称 教授 学位 博士课题来源 A.科研 B.生产 C.教学 D. 学生自拟 E. 其它课题情况成果类别 A.论文 B.设计主要研究内容与研究目标本文主要研究两个问题：第一个是近年来华约自主招生试题中的概率试题有哪些特点？第二个是为了复习备考，老师应怎样辅导学生学习？通过研究发现近几年华约试题中概率问题的出题特点主要有三类：第一类，注重数学知识和其他学科的整合。第二类，注重概率问题和其他数学知识的综合。第三类，注重对概率问题发生过程以及处理概率问题的基本方法的考查。最后对教师指导学生复习给出建议。指导教师签字： 2012 年 11 月 26 日选题学生签字： 2012 年 11 月 26 日系所或教研室审题意见负责人签字: 2013 年 5 月 27 日学院审批意见学院学位分委员会主任签字: 2013 年 5 月 28日山东师范大学本科毕业论文（设计）开题报告论文题目：华约自主招生试题中关于概率试题的研究 学院名称：数学科学学院 专 业：数学与应用数学 学生姓名：刘舒心 学 号：200900810106 指导教师：杨泽忠 2012 年 12 月 16 日一、选题的性质 基础研究2、选题的目的和意义概率问题的背景一般复杂多变，它可以与生产、生活紧密结合，因此这类问题在自主招生考试中经常碰到。解决概率问题要分清是互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率还是独立重复试验的概率。另外，排列组合知识是解决本专题问题的基础。预测 2013 年华约考试中，概率问题应该继续受到自主招生命题的青睐，所以有针对性的对概率问题进行备考复习，应该会收到很好的效果。三、与本课题相关的国内外研究现状，预计可能有所创新的方面当前国内外与高中概率教学相关的研究已经有很多，随着概率内容逐步走进高中课程，教育界出现了不少对概率内容和概率教学的研究，并且取得了一些成果。有高中概率统计教学中关于随机性数学思维的培养 、 中学概率与微积分研究 、概率与生活的联系等。但由于概率统计进入高中数学课程的时间不长,直到近几年,它才成为自主招生考察的内容，所以关于他的研究基本停留在解题层面上。本文主要研究两个问题：第一个是近年来华约自主招生试题中的概率试题有哪些特点？第二个是为了复习备考，老师应怎样辅导学生学习？我的创新点主要在教师如何指导学生应对自主招生考试中的概率试题。4、课题研究的可行性分析首先，我对高校的自主招生并不陌生，高中时期也有老师对我们进行过相关的辅导，所以对这一论题的研究还是有一定的间接经验。其次，我收集了近十年的华约联盟各高校的自主招生试题，资料丰富，便于找出出题的规律和类型。最后，关于自主招生考试中数学试题的研究有很多的书籍和文章可以参考。5、课题研究的策略、方法和步骤研究策略：1.从教科书中查找与概率相关的基础概念与公式；2.去图书馆、查阅与华约自主招生概率试题相关的书籍，去网上搜索有关华约自主招生概率试题的试卷，并整理出题目的类型。3.分析题目特点，给出教学建议。 研究步骤：1.查阅并整理华约自主招生试题中的概率试题；2.在查阅和整理的过程中对概率题目进行分类、分析；3.翻阅大量资料，归纳整理试题的出题特点，给出教学建议。6、预期成果形式描述预计写成 6000 字左右的论文7、指导教师意见指导教师签字：2012 年 12 月 17 日八、学院学位分委员会意见学院学位分委员会主任签字： 2012 年 12 月 18 日山东师范大学本科毕业论文（设计）教师指导记录表学院：数学科学学院 系别：数学与应用数学 专业：数学与应用数学论文（设计）题目：华约自主招生试题中关于概率试题的研究学生姓名 刘舒心 学号 200900810106 指导教师 杨泽忠 职称 教授计划完成时间：2013 年 5 月 20 日指导情况纪录1.2012 年 11 月 25 日，选题：杨老师就开始指导论文的选题，对选题的角度，选题的高度，所选课题所应该涵盖的范围及研究内容等等应该注意的问题都作了一个详尽的解释，经过两次的面对面交流和多次的电子邮件交流、对话交流，最终在老师的指导下将题目敲定，并且对论文的结构框架也有了大体的安排。地点：B103 教室。2.2012 年 12 月 16 日，开题报告之后，杨老师对题目提出了一些可行性的建议，并讲解该课题相关的一些论文知识点。地点：B103 教室。32013 年 03 月 16 日，初稿：杨老师通过电子邮件对初稿进行了指导，建议增加一些与主题联系密切的内容，并且对主要内容做了进一步研究，突出创新点。4.2013 年 04 月 17 日，二稿：杨老师指导将论文正文框架和某些细节问题进行进一步的修改。地点：B540 教室。5.2013 年 04 月 26 日，三稿：杨老师指导将论文的引言和综述部分的文字说明重新组织，严格按照本科毕业论文格式要求对自己的论文格式进行修改。地点：B540 教室.6.2013 年 05 月 08 日，四稿：杨老师要求将论文中的中英文摘要进行修改，并填写相应的表格。地点：B540。7.2013 年 05 月 19 日，五稿：将论文进行仔细检查，确定论文符合各项要求，定稿。指导教师（签名）：学生（签名）：学院学位分委员会主任（签名）： 年 月 日注：本科论文（设计）的指导应不少于 5 次，如表格空间不足可另附页。指导教师意见 成绩： 指导教师（签名）：2013 年 5 月 21 日注：成绩按优、良、中