二次函数的图像及一元二次方程与二次函数的关系

第十五讲第十五讲 二次函数的图像与性质二次函数的图像与性质 二次函数二次函数图象的画法图象的画法 2 yaxbxc 1 二次函数的表示方法 二次函数的表示方法 1 一般式 为常数 2 yaxbxc abc0a 2 顶点式 为常数 2 ya xhk ahk0a 五点绘图法 利用配方法将二次函数化为顶点式 2 yaxbxc 2 ya xhk cbxaxy 2 a bac a b xa a c a b a b x a b xa a c x a b xa 4 4 2 2 2 2 22222 由此可见函数的图像与函数的图像的形状 开口方向均相同 cbxaxy 22 axy 只是位置不同 可以通过平移得到 2 二次函数 二次函数的图像特征的图像特征cbxaxy 2 1 二次函数 a 0 的图象是一条抛物线 cbxaxy 2 3 3 二次函数 二次函数的性质的性质 2 yaxbxc 1 当时 抛物线开口向上 对称轴为 顶点坐标为 0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa 当时 随的增大而减小 2 b x a yx 当时 随的增大而增大 2 b x a yx 当时 有最小值 2 b x a y 2 4 4 acb a 2 当时 抛物线开口向下 对称轴为 顶点坐标为 0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa 当时 随的增大而增大 2 b x a yx 当时 随的增大而减小 2 b x a yx 当时 有最大值 2 b x a y 2 4 4 acb a 3 常数项c 当时 抛物线与轴的交点在轴上方 即抛物线与轴交点的纵坐标为正 0c yxy 当时 抛物线与轴的交点为坐标原点 即抛物线与轴交点的纵坐标为 0c yy0 当时 抛物线与轴的交点在轴下方 即抛物线与轴交点的纵坐标为0c yxy 负 总结起来 决定了抛物线与轴交点的位置 cy 例 1 已知函数 y x2 2x 3 1 把它写成的形式 kmxay 2 并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的 2 写出函数图象的对称轴 顶点坐标 开口方向 最值 3 求出图象与坐标轴的交点坐标 4 画出函数图象的草图 5 设图像交 x 轴于 A B 两点 交 y 轴于 P 点 求 APB 的面积 6 根据图象草图 说出 x 取哪些值时 y 0 y0 例 2 求抛物线的对称轴和顶点坐标 2 5 3 2 1 2 xxy 变式 2 例 3 已知关于 x 的二次函数的图像的顶点坐标为 1 2 且图像过点 1 3 1 求这个二次函数的解析式 2 求这个二次函数的图像与坐标轴的交点坐标 变式 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程 1 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与轴交点情况 x 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况 2 0axbxc 2 yaxbxc 0y 图象与轴的交点个数 x 当时 图象与轴交于两点 其中的 2 40bac x 12 00A xB x 12 xx 是一元二次方程的两根 这两点间的距离 12 xx 2 00axbxca 2 21 4bac ABxx a 当时 图象与轴只有一个交点 0 x 当时 图象与轴没有交点 0 x 当时 图象落在轴的上方 无论为任何实数 都有 1 0a xx0y 当 时 图象落在轴的下方 无论为任何实数 都有 2 0a xx0y 2 抛物线的图象与轴一定相交 交点坐标为 2 yaxbxc y 0 c 3 二次函数常用解题方法总结 求二次函数的图象与轴的交点坐标 需转化为一元二次方程 x 求二次函数的最大 小 值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式 根据图象的位置判断二次函数中 的符号 或由二次函数中 2 yaxbxc abc 的符号判断图象的位置 要数形结合 abc 二次函数的图象关于对称轴对称 可利用这一性质 求和已知一点对称的点坐标 或 已知与轴的一个交点坐标 可由对称性求出另一个交点坐标 x 与二次函数有关的还有二次三项式 二次三项式本身就是所含字母 2 0 axbxc a 的二次函数 下面以时为例 揭示二次函数 二次三项式和一元二次方程之间的x0a 内在联系 二次函数解析式的表示方法二次函数解析式的表示方法 1 一般式 为常数 2 yaxbxc abc0a 2 顶点式 为常数 2 ya xhk ahk0a 3 两根式 是抛物线与轴两交点的横坐标 12 ya xxxx 0a 1 x 2 xx 二次函数解析式的确定 二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式 通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数 的解析式必须根据题目的特点 选择适当的形式一般来说 有如下几种情况 1 已知抛物线上三点的坐标 一般选用一般式 2 已知抛物线顶点或对称轴或最大 小 值 一般选用顶点式 3 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标 一般选用两根式 x 4 已知抛物线上纵坐标相同的两点 常选用顶点式 例 1 抛物线 y x2 8x c 的顶点在 x 轴上 则 c 等于 A 16 B 4 C 8 D 16 0 抛物线与轴有x 两个交点 二次三项式的值可正 可零 可负 一元二次方程有两个不相等实根 0 抛物线与轴只x 有一个交点 二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根 0 抛物线与轴无x 交点 二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根 例 2 已知抛物线 22 3 4 yxkxk k 为常数 且 k 0 证明 此抛物线与 x 轴总有两 个交点 练习 1 已知关于 x 的二次函数 y 2x 3m 1 x m m 1 证明使 y 0 的 x 的值 2 有两个 例 3 已知关于 x 的二次函数 y x2 2m 1 x m2 3m 4 探究 m 满足什么条件时 二次函数 y 的图象与 x 轴的交点的个数 例 4 已知 关于 x 的函数的图象与 x 轴总有交点 的取值范围是 77 2 xkxyk A B 且 0 C D 且 0k 4 7 k 4 7 kk 4 7 k 4 7 k 练习 1 关于 x 的一元二次方程没有实数根 则抛物线的顶0 2 nxxnxxy 2 点在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 例 5 抛物线 2 yxbxc 的部分图象如图所示 则方程的两根为 0 2 cbxx 练习 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图像如图所示 根据图像解答下列问题 1 写出方程 ax2 bx c 0 的两个根 2 写出不等式 ax2 bx c 0 的解集 3 写出 y 随 x 的增大而