高中数学解析几何专题(精编版)

1 高中解析几何专题 精编版 高中解析几何专题 精编版 1 天津文 设椭圆的左 右焦点分别为 F1 F2 点 22 22 1 0 xy ab ab 满足 P a b 212 PFF F 求椭圆的离心率 e 设直线 PF2与椭圆相交于 A B 两点 若直线 PF2与圆 相交于 M N 两点 且 求椭圆 22 1 3 16xy 5 8 MNAB 的方程 解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 两点间的 距离公式 点到直线的距离公式 直线与圆的位置关系等基础知识 考查 用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想 考查解决问题能 力与运算能力 满分 13 分 解 设 因为 12 0 0 0 FcF cc 212 PFF F 所以 整理得 舍 22 2acbc 2 210 1 ccc aaa 得 或 11 22 c e a 所以 解 由 知 可得椭圆方程为 2 3ac bc 222 3412xyc 直线 FF2的方程为3 yxc A B 两点的坐标满足方程组 222 3412 3 xyc yxc 消去并整理 得y 解得 得方程组的解 2 580 xcx 12 8 0 5 xxc 2 1 1 2 8 0 5 3 3 3 5 xc x yc yc 不妨设 83 3 55 Acc 0 3 Bc 所以 2 2 83 316 3 555 ABcccc 于是 5 2 8 MNABc 圆心到直线 PF2的距离 1 3 333 3 2 22 cc d 因为 所以 2 22 4 2 MN d 22 3 2 16 4 cc 整理得 得 舍 或 2 712520cc 26 7 c 2 c 2 所以椭圆方程为 22 1 1612 xy 2 已知椭圆的离心率为 右焦点为 0 斜 22 22 1 0 xy Gab ab 6 3 2 2 率为 I 的直线 与椭圆 G 交与 A B 两点 以 AB 为底边作等腰三角形 顶点l 为 P 3 2 I 求椭圆G的方程 II 求的面积 PAB 解析 解 由已知得 6 2 2 3 c c a 解得2 3 a 又 222 4 bac 所以椭圆 G 的方程为 22 1 124 xy 设直线l的方程为 mxy 由得 1 412 22 yx mxy 012364 22 mmxx 设 A B 的坐标分别为AB 中点为 E 212211 xxyxyx 00 yx 则 4 3 2 21 0 mxx x 4 00 m mxy 因为 AB 是等腰 PAB 的底边 所以 PE AB 所以 PE 的斜率 1 4 3 3 4 2 m m k 解得 m 2 此时方程 为 0 124 2 xx 解得 0 3 21 xx 所以 2 1 21 yy 所以 AB 23 此时 点 P 3 2 到直线 AB 的距离02 yx 2 23 2 223 d 所以 PAB 的面积 S 2 9 2 1 dAB 3 3 全国大纲文 已知 O 为坐标原点 F 为椭圆在 y 轴正半轴上的 2 2 1 2 y C x 焦点 过 F 且斜率为的直线 与 C 交与 A B 两点 点 P 满足 2l 0 OAOBOP 证明 点 P 在 C 上 II 设点 P 关于 O 的对称点为 Q 证明 A P B Q 四点在同一圆上 解析 22 解 I F 0 1 的方程为l 21yx 代入并化简得 2 2 1 2 y x 2 分 2 42 210 xx 设 112233 A x yB xyP xy 则 12 2626 44 xx 121212 2 2 21 2 xxyyxx 由题意得 312312 2 1 2 xxxyyy 所以点 P 的坐标为 2 1 2 经验证 点 P 的坐标为满足方程 2 1 2 故点 P 在椭圆 C 上 2 2 1 2 y x II 由和题设知 2 1 2 P 2 1 2 Q PQ 的垂直一部分线 的方程为 1 l 2 2 yx 设 AB 的中点为 M 则 AB 的垂直平分线为的方程为 2 1 42 M 2 l 21 24 yx 由 得的交点为 12 l l 2 1 88 N 4 22 2 21 22 22 2213 11 1 2888 3 2 1 2 2 3 2 4 22113 3 48288 3 11 8 NP ABxx AM MN NAAMMN 故 NP NA 又 NP NQ NA NB 所以 NA NP NB MQ 由此知 A P B Q 四点在以 N 为圆心 NA 为半径的圆上 4 全国新文 在平面直角坐标系 xOy 中 曲线与坐标轴的交点 2 61yxx 都在圆 C 上 I 求圆 C 的方程 II 若圆 C 与直线交于 A B 两点 且求 a 的值 0 xya OAOB 解析 解 曲线与 y 轴的交点为 0 1 与 x 轴的交16 2 xxy 点为 0 223 0 223 故可设 C 的圆心为 3 t 则有解得 t 1 22 1 3 2222 tt 则圆 C 的半径为 3 1 3 22 t 所以圆 C 的方程为 9 1 3 22 yx 设 A B 其坐标满足方程组 11 y x 22 y x 9 1 3 0 22 yx ayx 消去 y 得到方程 0 12 82 2 22 aaxax 由已知可得 判别式 0 41656 2 aa 因此 从而 4 41656 28 2 2 1 aaa x 2 120 4 2 2121 aa xxaxx 由于 OA OB 可得 0 2121 yyxx 又所以 2211 axyaxy 0 2 2 2121 axxaxx 由 得 满足故1 a 0 1 a 5 辽宁文 如图 已知椭圆C1的中心在原点O 长轴左 右端点M N在x 5 轴上 椭圆C2的短轴为MN 且C1 C2的离心率都为e 直线l MN l与C1交 于两点 与C2交于两点 这四点按纵坐标从大到小依次为A B C D I 设 求与的比值 1 2 e BCAD II 当e变化时 是否存在直线l 使得BO AN 并说明理由 解析 解 I 因为 C1 C2的离心率相同 故依题意可设 22222 12 2242 1 1 0 xyb yx CCab abaa 设直线 分别与 C1 C2的方程联立 求得 l xtta 4 分 2222 ab A tatB tat ba 当表示 A B 的纵坐标 可知 13 22 AB ebayy 时分别用 6 分 2 2 2 3 2 4 B A yb BCAD ya II t 0 时的l不符合题意 时 BO AN 当且仅当 BO 的斜率kBO与 AN0t 的斜率kAN相等 即 2222 ba atat ab tta 解得 22 222 1 abe ta abe 因为 2 2 12 01 1 1 2 e taee e 又所以解得 所以当时 不存在直线l 使得 BO AN 2 0 2 e 当时 存在直线l使得 BO AN 12 分 2 1 2 e 6 江西文 已知过抛物线的焦点 斜率为的直线交抛物 ypx p 线于和两点 且 A x y B xyxx AB 1 求该抛物线的方程 2 为坐标原点 为抛物线上一点 若 求的值 OCOBOAOC 解析 19 本小题满分 12 分 6 1 直线 AB 的方程是 2 2 2 p yx 与联立 从而有 2 2ypx 22 450 xpxp 所以 12 5 4 p xx 由抛物线定义得 12 9 ABxxp 所以 p 4 从而抛物线方程是 2 8 yx 2 由可简化为 22 4 450pxpxp 2 12 540 1 4 xxxx 从而 12 2 2 4 2 yy 从而 1 2 2 4 4 2 AB 设 33 1 2 2 4 4 2 41 4 22 2 OCxy 又 22 33 8 2 2 21 8 41 yx 即 即 2 21 41 解得0 2 或 7 山东文 22 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系xOy中 已知椭圆 2 2 1 3 x Cy 如图所示 斜率 为 0 k k 且不过原点的直线l交椭圆C于A B两点 线段AB的中点为E 射线OE交椭圆C于点G 交直线3x 于点 3 Dm 求 22 mk 的最小值 若 2 OGOD OE i 求证 直线l过定点 ii 试问点B G能否关于x轴对称 若能 求出此时ABGA的外接圆方程 若不能 请说明理由 解析 22 I 解 设直线 0 lykxt k 的方程为 由题意 0 t 由方程组得 2 2 1 3 ykxt x y 222 31 6330kxktxt 由题意 0 所以 22 31 kt 设 1122 A x yB xy 由韦达定理得所以 12 2 6 31 kt xx k 12 2 2 31 t yy k 7 由于 E 为线段 AB 的中点 因此 22 3 3131 EE ktt xy kk 此时所以 OE 所在直线方程为 1 3 E OE E y k xk 1 3 yx k 又由题设知 D 3 m 令 x 3 得 即 mk 1 1 m k 所以当且仅当 m k 1 时上式等号成立 22 22 mkmk 此时 由得因此 当时 0 02 t 102mkt 且 取最小值 2 22 mk II i 由 I 知 OD 所在直线的方程为 1 3 yx k 将其代入椭圆 C 的方程 并由0 k 解得 又 22 31 3131 k G kk 22 31 3 31 31 kt ED kkk 由距离公式及得0t 2 222 2 22 2 22 2 22 222 3191 31 3131 191 3 391 313131 kk OG k kk k OD kk ktttk OE kkk 由 2 OGODOEtk 得 因此 直线 的方程为l 1 yk x 所以 直线 1 0 l 恒过定点 ii 由 i 得 22 31 3131 k G kk 若 B G 关于 x 轴对称 则 22 31 3131 k B kk 代入 22 1 3131 yk xkkk 整理得 即 42 6710kk 解得 舍去 或 2 1 6 k 2 1 k 所以 k 1 此时关于 x 轴对称 313 1 222 2 BG 又由 I 得所以 A 0 1 11 0 1 xy 由于的外接圆的圆心在 x 轴上 可设的外接圆的圆心为ABG ABG d 0 因此 22 311 1 242 ddd 解得 8 故的外接圆的半径为 ABG 2 5 1 2 rd 所以的外接圆方程为ABG 22 15 24 xy 8 陕西文 17 本小题满分 12 分 设椭圆 C 过点 0 4 离心率为 22 22 10 xy ab ab 3 5 求 C 的方程 求过点 3 0 且斜率为的直线被 C 所截线段的中点坐标 4 5 解析 17 解 将 0 4 代入 C 的方程得 b 4 2 16 1 b 又 得 3 5 c e a 22 2 9 25 ab a 即 a 5 2 169 1 25a C 的方程为 22 1 2516 xy 过点且斜率为的直线方程为 3 0 4 5 4 3 5 yx 设直线与 的交点为 11 x y 22 xy 将直线方程代入 的方程 得 4 3 5 yx 2 2 3 1 2525 xx 即 解得 2 380 xx 1 341 2 x 2 341 2 x AB 的中点坐标 12 3 22 xx x 12 12 26 6 255 yy yxx 即中点为 36 25 注 用韦达定理正确求得结果 同样给分 9 上海文 22 16 分 已知椭圆 常数 点是上 2 2 2 1 x Cy m 1m PC 的动点 是右顶点 定点的坐标为 MA 2 0 1 若与重合 求的焦点坐标 MAC 2 若 求的最大值与最小值 3m PA 3 若的最小值为 求的取值范围 PA MAm 9 解析 22 解 椭圆方程为 2m 2 2 1 4 x y 4 13c 左 右焦点坐标为 3 0 3 0 椭圆方程为 设 则3m 2 2 1 9 x y P x y 2 22222 891 2 2 1 33 9942 x PAxyxxx 时 时 9 4 x min 2 2 PA 3x max 5PA 设动点 则 P x y 2222 22222 222 124 2 2 1 5 11 xmmm PAxyxxmxm mmmm 当时 取最小值 且 且xm PA 2 2 1 0 m m 2 2 2 1 m m m 1m 解得 112m 10 四川文 21 本小题共 l2 分 过点C 0 1 的椭圆的离心率为 椭圆与x轴交于两 22 22 1 0 xy ab ab 3 2 点 过点C的直线l与椭圆交于另一点D 并 0 A a 0 Aa 与x轴交于点P 直线AC与直线BD交于点Q I 当直线l过椭圆右焦点时 求线段CD的长 当点P异于点B时 求证 为定值 OP OQ 本小题主要考查直线 椭圆的标准方程及基本性质等基本 知识 考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力 解 由已知得 解得 所以椭圆方程为 3 1 2 c b a 2a 2 2 1 4 x y 椭圆的右焦点为 此时直线 的方程为 代入椭圆方程 3 0 l 3 1 3 yx 得 解得 代入直线 的方程得 所 2 78 30 xx 12 8 3 0 7 xx l 12 1 1 7 yy 以 8 31 77 D 故 22 8 3116 0 1 777 CD 当直线 与 轴垂直时与题意不符 lx 设直线 的方程为 代入椭圆方程l 1 1 0 2 ykxkk 且 得 22 41 80kxkx 解得 代入直线 的方程得 12 2 8 0 41 k xx k l 2 12 2 14 1 41 k yy k 10 所以D点的坐标为 2 22 814 41 41 kk kk 又直线AC的方程为 又直线BD的方程为 联立得1 2 x y 12 2 24 k yx k 4 21 xk yk 因此 又 4 21 Qkk 1 0 P k 所以 1 0 4 21 4OP OQkk k 故为定值 OP OQ 11 浙江文 22 本小题满分 15 分 如图 设 P 是抛物线 上的 1 C 2 xy 动点 过点做圆的两条切线 交直线 于P 2 C1 3 22 yxl3y 两点 A B 求的圆心到抛物线 准线的距离 2 CM 1 C 是否存在点 使线段被抛物线在点处得PAB 1 CP 切线平分 若存在 求出点的坐标 若不存在 请说明P 理由 解析 22 本题主要考查抛物线几何性质 直线与抛物线 直线与圆的位置关系 同时考查解析几何的基本思想方法 和运算求解能力 满分 15 分 解 因为抛物线 C1的准线方程为 1 4 y 所以圆心 M 到抛物线 C1准线的距离为 111 3 44 解 设点 P 的坐标为 抛物线 C1在点 P 处的切线交直线 于点 2 00 xxl D 再设 A B D 的横坐标分别为 ABC xxx 过点的抛物线 C1的切线方程为 2 00 P xx 1 2 000 2 yxxxx 当时 过点 P 1 1 与圆 C2的切线 PA 为 0 1x 15 1 1 8 yx 可得 17 1 1 2 15 ABDABD xxxxxx 当时 过点 P 1 1 与圆 C2的切线 PA 为 1 0 x 15 1 1 8 yx 可得 DBADBA xxxxxx2 1 15 17 1 17 1 1 2 15 ABDABD xxxxxx 所以 2 0 10 x 设切线 PA PB 的斜率为 则 12 k k 11 2 2 010 PA yxk xx 3 2 020 PB yxkxx 将分别代入 1 2 3 得3y 222 000 00012 011 333 0 0 2 DAB xxx xxxxxxk k xkk 从而 2 00 12 11 2 3 AB xxxx kk 又 2 010 2 1 3 1 1 x kx k 即 22222 010010 1 2 3 3 10 xkxx kx 同理 22222 020020 1 2 3 3 10 xkxx kx 所以是方程的两个不相等的根 12 k k 22222 0000 1 2 3 3 10 xkxx kx 从而 222 000 1212 22 00 2 3 3 1 11 xxx kkkk xx 因为 0 2xxx BA 所以 2 20 00 120120 311111 2 3 x xx kkxkkx 即 从而 2 00 22 00 2 3 1 3 1 xx xx 进而得 44 00 8 8xx 综上所述 存在点 P 满足题意 点 P 的坐标为 4 8 2 2 12 重庆文 21 本小题满分 12 分 小问 4 分 小问 8 分 如题 21 图 椭圆的中心为原点 0 离心率 e 2 2 一条准线的方程是 2 2x 求该椭圆的标准方程 设动点 P 满足 其2OPOMON 中 M N 是椭圆上的点 直线 OM 与 ON 的斜率之积为 1 2 问 是否存在定点 F 使得PF与点 P 到直线l 2 10 x 的距离之比为定值 若存在 求 F 的坐标 若不存在 说明理由 解析 21 本题 12 分 解 I 由 2 2 2 2 2 ca e ac 解得 故椭圆的标准方程为 222 2 2 2acbac 12 22 1 42 xy II 设 则由 1122 P x y M x yN xy 得2OPOMON 11221212 1212 2 2 2 2 2 x yx yxyxxyy xxxyyy 即 因为点 M N 在椭圆上 所以 22 24xy 2222 1122 24 24xyxy 故 222222 12121212 2 44 2 44 xyxxx xyyy y 2222 11221212 1212 2 4 2 4 2 204 2 xyxyx xy y x xy y 设分别为直线 OM ON 的斜率 由题设条件知 OMON kk 因此 12 12 1 2 OMON y y kk x x 1212 20 x xy y 所以 22 220 xy 所以 P 点是椭圆上的点 该椭圆的右焦点为 22 22 1 2 5 10 xy 10 0 F 离心率是该椭圆的右准线 故根据椭圆的第二定义 2 2 10 2 el x 直线 存在定点 使得 PF 与 P 点到直线l的距离之比为定值 10 0 F 13 安徽文 17 本小题满分 13 分 设直线 0 2 1 1 21212211 kkkkxkylxkyl满足其中实数 I 证明 与相交 1 l 2 l II 证明 与的交点在椭圆 1 l 2 l 22 2x y 1上 解析 17 本小题满分 13 分 本题考查直线与直线的位置关系 线线相交 的判断与证明 点在曲线上的判断与证明 椭圆方程等基本知识 考查推理论 证能力和运算求解能力 证明 I 反证法 假设是l1与l2不相交 则l1与l2平行 有 k1 k2 代入 k1k2 2 0 得 0 2 2 1 k 此与 k1为实数的事实相矛盾 从而相交 2121 llkk与即 II 方法一 由方程组 1 1 2 1 xky xky 解得交点P的坐标为 yx 2 12 12 12 kk kk y kk x 而 13 1 4 4 2 28 2 22 2 2 2 1 2 2 2 1 21 2 1 2 2 21 2 1 2 22 12 122 12 22 kk kk kkkk kkkk kk kk kk yx 此即表明交点 12 22 上在椭圆 yxyxP 方法二 交点P的坐标满足 yx 0 2 11 02 1 1 0 1 1 21 2 1 2 1 x y x y kk x y k x y k x xky xky 得代入 从而故知 整理后 得 12 22 yx 所以交点P在椭圆 12 22 上 yx 14 福建文 18 本小题满分 12 分 如图 直线 l y x b 与抛物线 C x2 4y 相切于 点 A I 求实数 b 的值 11 求以点 A 为圆心 且与抛物线 C 的准线相 切的圆的方程 解析 18 本小题主要考查直线 圆 抛物线等 基础知识 考查运算求解能力 考查函数与方程 思想 数形结合思想 满分 12 分 解 I 由 2 2 440 4 yxb xxb xy 得 因为直线 与抛物线 C 相切 所以l 2 4 4 4 0 b 解得 b 1 II 由 I 可知 2 1 440bxx 故方程即为 解得 x 2 代入 2 4 1 xyy 得 故点 A 2 1 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切 所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y 1 的距离 即 1 1 2 r 所以圆 A 的方程为 22 2 1 4 xy 15 湖北文 21 本小题满分 14 分 平面内与两定点 1 0Aa 2 0Aa 0a 连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹 加上 1 A A22 A两点所成的曲线 C 可以是圆 椭圆或双曲线 求曲线 C 的方程 并讨论 C 的形状与 m 值的关系 14 当1m 时 对应的曲线为 1 C 对给定的 对应的曲 0 0 1 m 线为 2 C 设 1 F 2 F是 2 C的两个焦点 试问 在 1 C上 是否存在点N 使得 1 FN 2 F的面积 2 Sm a 若存在 求tan 1 FN 2 F的值 若不存在 请说明 理由 解析 21 本小题主要考查曲线与方程 圆锥曲线等基础知识 同时考查推 理运算的能力 以及分类与整合和数形结合的思想 满分 14 分 解 I 设动点为 M 其坐标为 x y 当时 由条件可得xa 12 2 22 MAMA yyy kkm xa xaxa 即 222 mxymaxa 又的坐标满足 12 0 0 AaA A 222 mxyma 故依题意 曲线 C 的方程为 222 mxyma 当曲线 C 的方程为是焦点在 y 轴上的椭圆 1 m 时 22 22 1 xy C ama 当时 曲线 C 的方程为 C 是圆心在原点的圆 1m 222 xya 当时 曲线 C 的方程为 C 是焦点在x轴上的椭圆 10m 22 22 1 xy ama 当时 曲线 C 的方程为C 是焦点在x轴上的双曲线 0m 22 22 1 xy ama II 由 I 知 当 m 1 时 C1的方程为 222 xya 当时 1 0 0 m C2的两个焦点分别为