【优化方案】2012高中数学 第4章2.2知能优化训练 北师大版选修1-1

专心 爱心 用心1 学生用书 P67 1 下列结论中正确的是 A 在区间 a b 上 函数的极大值就是最大值 B 在区间 a b 上 函数的极小值就是最小值 C 在区间 a b 上 函数的最大值 最小值在x a和x b处取到 D 在区间 a b 上 函数的极大 小 值有可能就是最大 小 值 解析 选 D 由函数最值的定义知 A B C 均不正确 D 正确 2 函数f x x 1 x2 在 0 1 上的最大值为 A B 2 3 9 2 2 9 C D 3 2 9 3 8 解析 选 A f x x x3 f x 1 3x2 当x 时 f x 0 3 3 当x 时 f x 0 0 3 3 当x 时 f x 0 则L 2 512 x 512 x 512 x2 令L 0 得x 16 x 0 x 16 专心 爱心 用心2 当x 16 时 L极小值 Lmin 64 堆料场的长为 32 米 512 16 答案 32 米 16 米 一 选择题 1 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V 则其表面积最小时 底面边长为 A B 3 V 3 2V C D 2 3 4V 3 V 解析 选 C 设该直棱柱的底面边长为x 高为h 表面积为S 则V x2 h h 3 4 表面积S x2 3 x S x 令S 0 得x 故选 C 4V 3x2 3 2 4V 3x23 12V 3x2 3 4V 2 函数f x 2x3 3x2 12x 5 在区间 0 3 上的最大值和最小值分别是 A 5 15 B 5 4 C 4 15 D 5 8 解析 选 A f x 6x2 6x 12 令f x 0 得x1 1 x2 2 且 1 0 3 2 0 3 又f 2 15 f 0 5 f 3 4 故f x 在 0 3 上的最大值为f 0 5 最小值为f 2 15 故选 A 3 函数f x x 2在 0 4 上的最大值为 x A 4 B 1 C 1 D 0 解析 选 D f x 1 1 1 x 1 xx 又因为定义域为 0 4 由f x 0 得x 1 当 0 x 1 时 f x 0 当 1 x 4 时 f x 0 f x 在x 1 处有极小值 1 又f 0 0 f 4 0 f x 的最大值为 0 4 如果圆柱轴截面的周长l为定值 则体积的最大值为 A 3 B 3 l 6 l 3 C 3 D 3 l 4 1 4 l 4 解析 选 A 设圆柱的底面半径为r 高为h 体积为V 则 4r 2h l h V r2h r2 2 r3 l 4r 2 l 2 0 r0 l 6 r 是其唯一的极值点 l 6 当r 时 V取得最大值 最大值为 3 l 6 l 6 5 某银行准备新设一种定期存款业务 经预算 存款量与存款利率的平方成正比 比 例系数为k k 0 贷款的利率为 0 048 假设银行吸收的存款能全部放贷出去 若存款利 率为x x 0 0 048 则x为多少时 银行可获得最大收益 A 0 016 B 0 032 C 0 024 D 0 048 解析 选 B 依题意 存款量是kx2 银行应支付的利息是kx3 贷款的收益是 0 048kx2 其中x 0 0 048 所以银行的收益是y 0 048kx2 kx3 0 x 0 048 专心 爱心 用心3 由于y 0 096kx 3kx2 令y 0 得x 0 032 或x 0 舍去 又当 0 x0 当 0 032 x 0 048 时 y 0 所以当x 0 032 时 y取得最大值 即当存款利率为 0 032 时 银行可获得最大收 益 6 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为 y x3 81x 234 则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 1 3 A 13 万件 B 11 万件 C 9 万件 D 7 万件 解析 选 C y x2 81 令y 0 得x 9 x 9 舍去 当 0 x0 函数f x 单调递增 当x 9 时 y 0 x h x 1 2x a x x 2a 2x 当a 0 时 令h x 0 解得x 4a2 当 0 x 4a2时 则h x 4a2时 h x 0 则h x 在 4a2 上递增 x 4a2是h x 在 0 上的唯一极值点 且是极小值点 从而也是h x 的最小 值点 h x 的最小值 a h 4a2 2a aln 4a2 2a 1 ln 2a 当a 0 时 h x 0 则h x 在 0 上递增 无最小值 x 2a 2x 综上知 h x 的最小值 a 的解析式为 a 2a 1 ln 2a a 0 2 由 1 知 a 2a 1 ln 2a 则 a 2ln 2a 令 a 0 解得 a 1 2 当 0 a0 a 在上递增 1 2 0 1 2 当a 时 a 0 a 在上递减 1 2 1 2 a 在a 处取得极大值 1 1 2 1 2 a 在 0 上有且只有一个极值点 1 也是 a 的最大值 1 2 当a 0 时 总有 a 1 12 专心 爱心 用心5 某单位用木料制作如图所示的框架 框架的下部是边长分别为x y 单位 m 的矩形 上部是等腰直角三角形 要求框架围成的总面积为 8 m2 问x y分别为多少 精确到 0 001 m 时用料最省 解 依题意 有xy x 8 1 2 x 2 所以y 0 x 4 8 x2 4 x 8 x x 42 于是框架用料长度为 l 2x 2y 2 x 2x 2 3 2 2 16 x l 3 22 16 x2 令l 0 即 0 3 22 16 x2 解得x1 8 4