2015江门调研理数

2 正视图 俯视图 侧视图 图 1 4 3 江门市江门市 20152015 届普通高中高三调研测试届普通高中高三调研测试 数数 学学 理科 本试卷共 4 页 21 题 满分 150 分 测试用时 120 分钟 注意事项 答题前 考生务必把自己的姓名 考生号等填写在答题卡相应的位置上 做选择题时 必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮 擦干净后 再选涂其它答案标号 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔 将答案写在答题卡规定的位置上 所有题目必须在答题卡上指定位置作答 不按以上要求作答的答案无效 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将答题卡交回 参考公式 锥体的体积公式 其中是锥体的底面积 是锥体的高 ShV 3 1 Sh 32233 33 babbaaba 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 满分 40 分 在每小题给出的四个选项 中 只有一项是符合题目要求的 已知为实数集 则R xxxA332 2 xxB BA A B C D 2 xx 3 xx 32 xxR 是虚数单位 则 i 2 3 2 1 2 1 2 3 ii A B C D 1i 2 3 2 1 i 2 3 2 1 i 2 3 2 1 已知三个实数 它们之间的大小关系是 2 1 3 a 3 2 1 b 2 1 log3 c A B C D cba bca acb cab 已知是非零向量 则 是 成立的 a cb caba cba A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 非充分非必要条件 D 充要条件 如图 1 某几何体的正视图 侧视图和俯视图分别是直角三角形 等腰三角形和半 圆 则该几何体的体积为 A B 48 C D 2 4 秘密 启用前 试卷类型 B 图 2 在中 的对边分别为 若 ABC A B C abc 0 75 A 0 60 B 则10 c b A B C D 3565310610 在同一直角坐标系中 直线与圆的位置关系是1 43 yx 0442 22 yxyx A 直线经过圆心 B 相交但不经过圆心 C 相切 D 相离 已知函数 若存在唯一的零点 且 则常数的取13 23 xaxxf xf 0 x0 0 xa 值范围是 A B C D 2 1 1 2 二 填空题 本大题共 7 小题 考生作答 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 一 必做题 9 13 题 双曲线的离心率 144169 22 yx e ABC 是等腰直角三角形 已知 A 1 1 B 1 3 AB BC 点 C 在第一象限 点在 ABC 内部 则点 C 的坐标为 的最大值是 yxyxz 2 如图 2 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N 分别是 CD CC1的中点 则异面直 线 A1M 与 DN 所成角的大小是 若 则的最小值是 0 2 0 2 xxx xx xf xf 已知数列满足 计算并观察数列的前若干项 n a 4 1 1 a 1 1 1 n n a a1 n n a 根据前若干项的变化规律推测 2015 a 二 选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题 计算定积分 4 1 1 dx x 已知定义在区间上的函数 则的单调递增区间是 xxxxfcossin xf P AB C D F E 图 3 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 本小题满分 12 分 已知函数 cos sinsin2 xxxxf Rx 求的最小正周期和最大值 xfTM 若 求的值 3 1 82 f cos 本小题满分 14 分 已知是等差数列 n a3 2 a5 3 a 求数列的通项公式 n a 对一切正整数 设 求数列的前项和 n 1 1 nn n n aa n b n bn n S 本小题满分 14 分 如图3 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是正方形 侧棱 PD 底面 ABCD PD DC E 是 PC 的中点 作 EF PB 交 PB 于点F 求证 PA 平面 EDB 求证 PF PB 3 1 求二面角 C PB D 的大小 本小题满分 12 分 一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比 如果此船速度是 10km h 那 么每小时的燃料费是 80 元 已知船航行时其他费用为 500 元 时 在 100 km 航程中 航速多少时船行驶总费用最少 此时总费用多少元 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系中 点 A B 的坐标分别是 直线xOy 3 0 3 0 AM BM 相交于点 M 且它们的斜率之积是 2 1 求点 M 的轨迹方程 L 若直线经过点 与轨迹有且仅有一个公共点 求直线的方程 l 1 4 PL l 21 本小题满分 14 分 已知函数 是常数 1 23 axxxfRa 设 是函数的极值点 试证明曲线关于3 a 1 xx 2 xx xfy xfy 点对称 2 2 2121 xx f xx M 是否存在常数 使得 恒成立 若存在 求常数a 5 1 x33 xf 的值或取值范围 若不存在 请说明理由 a 注 曲线关于点对称是指 对于曲线上任意一点 若点关于的 xfy M xfy PPM 对称点为 则在曲线上 QQ xfy 评分参考评分参考 一 选择题 BDAD CBBA 二 填空题 3 3 第 1 空 3 分 横坐标 纵坐标 格式各 1 分 第 2 空 2 4 5 3 分 5 2 1 2 和 端点对给分 对 1 个给 3 分 全对 5 分 2 2 0 三 解答题 解 2 分 4 分xxxf2cos12sin 1 4 2sin 2 x 最小正周期 5 分 最大值 6 分 2 2 T12 M 依题意 7 分 3 1 1 4 82 2sin 2 即 8 分 10 分 3 1 1sin2 3 22 sin 12 分 3 1 sin1cos 2 解 依题意 数列的公差 2 分 n a2 23 aad 3 分 4 分daa 12 1 21 daa 或 设数列的公差为 则 2 分 解得 4 分 n ad 52 3 1 1 da da 2 1 1 d a 数列的通项公式 6 分 n a12 1 1 ndnaan 由 得 7 分12 1 nan 12 12 1 1 1 nn n aa n b n nn n n 9 分 12 1 12 1 4 1 nn nn 时 1 n 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 4 1 21 nn bbbS nn nn 11 分 13 分 12 4 12 1 12 1 1 4 1 n n n nn 时 也符合上式 14 分1 n 3 1 11 bS Nn 12 4 12 1 n n S n n 证明与求解 方法一 连接 AC 交 BD 于 O 连接 OE 则 O 是 AC 的中点 1 分 OE 是 PAC 的中位线 OE PA 2 分 OE平面 EDB PA平面 EDB PA 平面 EDB 4 分 PD 底面 ABCD BC平面 ABCD PD BC 5 分 ABCD 是正方形 BC CD PDCD D BC 平面 PCD 6 分 BC PC EF PB BPC 是公共角 PEF PBC 7 分 设 PD DC 则 PC PB PB 8 分a a2 a3 aPC PB PE PF 3 3 3 1 由 知 BC 平面 PCD BC DE 9 分 PD DC E 是 PC 的中点 PC DE PCBC C DE 平面 PBC 10 分 DE PB EF PB DEEF E PB 平面 DEF 11 分 PB DF DFE 是二面角 C PB D 的平面角 12 分 在 DFE 中 DE 平面 PBC DE EF DE 13 分a 2 2 tan DFE DFE 14 分aBC PB PE EF 6 6 3 EF DE 3 方法二 以 D 为原点 分别为轴 轴 轴正方向建立DADCDPxyz 空间直角坐标系 1 分 设 PD DC 1 则 0 0 0 D 0 0 1 A 0 1 1 B 2 分 0 1 0 C 1 0 0 P 连接 AC 交 BD 于 O 连接 OE 则 O 是 AC 的中点 3 分 0 2 1 2 1 O E 是 PC 的中点 4 分 2 1 2 1 0 E 2 1 0 2 1 OE PA OE 5 分 1 0 1 PAOEPA2 OE平面 EDB PA平面 EDB PA 平面 EDB 6 分 设 7 分 1 1 1 PBPF 则 8 分 2 1 2 1 PFEPEF EF PB 9 分0 1 1 1 2 1 2 1 PBEF 即 解得 PF PB 10 分013 3 1 3 1 由 知 11 6 1 6 1 3 1 EF 3 2 3 1 3 1 1 PFDPDF 分 DF PB DFE 是二面角 C PB D 的平0 1 1 1 3 2 3 1 3 1 PBDF 面角 12 分 13 分 DFE 14 分 2 1 cos EFDF EFDF DFE 3 方法三 平面 PBD 的一个法向量是 11 分 0 1 1 AC 平面 PBC 的一个法向量是 12 分 2 1 2 1 0 DE 13 分 2 1 cos DEAC DEAC DEAC 所以 二面角 C PB D 的大小为 14 分 3 DEAC 3 各评卷点 评卷教师请注意 本题方法一 问的给分依次是 4 分 4 分 6 分 而方法二三 问的给分依次是 6 分 4 分 4 分 因此 本题的给分板 问分别设计为 6 分 4 分 6 分 评卷时要么按方法一给分 要么按方法二三 给分 解 设每小时燃料费与航速平方的比例系数为 则 1 分k 2 1080 k 解得 2 分 5 4 k 设航速为km h 时 总费用为元 则xy 5 分 6 分500 100100 5 4 2 xx xy x x 50000 80 方法一 令 8 分 解得 负值舍去 9 分0 50000 80 2 x y25 x 时 时 是极小值点 也是最小值250 x0 y25 x0 y25 x 点 10 分 此时 元 11 分4000 25 50000 2580 y 方法二 8 分 元 9 分0 x x xy 50000 802 4000 等号成立当且仅当 10 分 解得 负值舍去 11 分 x x 50000 80 25 x 答 航速为 25km h 时 总费用最少 此时总费用为 4000 元 12 分 解 设 M 是轨迹上任意一点 2 分xy x y kAM 3 x y kBM 3 依题意 4 分 2 133 x y x y kk BMAM 整理化简得轨迹方程为 其中 6 分1 918 22 yx 0 x 显然所求直线存在斜率 设 7 分 ll 4 1 xky 当直线经过 A 点时 8 分 代入得 l1 40 13 k 4 1 xky 3 xy 9 分 当直线经过 B 点时 10 分 代入得 l 2 1 40 13 k 4 1 xky 11 分3 2 1 xy 当点 P 为切点时 由得 4 1 1 918 22 xky yx 12 分0 161632 14 4 12 222 kkxkkxk 解 得 13 分044 161632 12 4 14 4 2222 kkkkkkk2 k 代入得 综上所述 直线的方程为或 4 1 xky92 xy l3 2 1 xy 或 14 分3 xy92 xy 注 三种情况独立给分 21 证明与求解 1 分13 23 xxxfxxxf63 2 解得 2 分 0 xf0 1 x2 2 x 即 3 分 2 2 2121 xx f xx M 3 1 M 曲线上任意一点关于对称的点为 xfy 13 2 0 3 00 xxxPM 4 分 53 2 2 0 3 00 xxxQ 直接计算知 点在曲531 2 3 2 2 2 0 3 0 2 0 3 00 xxxxxfQ 线上 所以 曲线关于点对称 5 分 xfy xfy M 方法一 即 6 分33 xf33 1 23 axx33133 23 axx 时 不等式恒成立 7 分 0 x 时 不等式等价于 8 分0 x 2 3 2 3 3432 x x a x x 作 22 3 1 3232 x x x x xg 22 3 2 3434 x x x x xg 3 1 64 1 x xg 9 分 解 得 10 分 3 2 68 1 x xg 0 1 xg0 2 xg4 1 x 3 2 68 x x 0 1 4 0 4 5 4 1 xg 0 1 xg 极大值 2 xg 2 xg 12 分 在的最大值为 31 1 1 g6 4 1 g 2 3 1 32 x x xg 5 0 0 1 6 在的最小值为 1335 2 g 25 91 5 2 g 2 3 2 34 x x xg 5 0 0 1 25 91 分 综上所述 的取值范围为 14 分a 25 91 6 方法二 时 不符合题意 axxxf23 2 0 a1 3 xxf0 a 解得 6 分0 xf0 1 x 3 2 2 a x 当时 在内的极值点为 7 分 5 1 3 2 2 a x xf 5 1 1 x 当且仅当 8 分 即 9