七年级数学瓷砖的铺设、三角形华东师大版知识精讲

初一数学初一数学瓷砖的铺设 三角形瓷砖的铺设 三角形华东师大版华东师大版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 瓷砖的铺设 三角形 学习目标 1 理解正多边形能够铺满地面的道理 2 了解三角形的内角 外角及其中线 高 角平分线等概念和三角形的稳定性 会用刻 度尺和量角器画出任意三角形的角平分线 中线和高 3 了解几种特殊的三角形与多边形的特征 探索并掌握三角形的外角性质与外角和 理 解并掌握三角形的三边关系 知识内容 一 瓷砖的铺设 走在大街上 进入宾馆或饭店 在许多地方 我们都可以看到由各种形状的地砖铺成 的漂亮的地面和墙面 在这些地面或墙面上 相邻的地砖或瓷砖平整地贴合在一起 整个 地面或墙面上没有一点空隙 那么 多边形的瓷砖需要满足什么条件时才能铺满地面而不 留一点空隙呢 多边形材料铺地板 要求材料要全等 内角和的整数倍是 360 或每个内角相等时内 角的整数倍是 360 所以适合的材料为三角形 四边形和各内角都相等的六边形 有时 为了美观 可以有其他形状材料掺杂其中 从稳定程度考虑各边受力比较均匀且受制约条 件多的较稳 如各角都相等的六边形 二 三角形 1 三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形 这三条线段 就是三角形的边 三角形可以按角来分类 所有内角都是锐角 锐角三角形 有一个内角是直角 直角三角形 有一个内角是钝角 钝角三角形 我们把两条边相等的三角形称为等腰三角形 相等的两边叫做等腰三角形的腰 把三 边都相等的三角形称为等边三角形 或正三角形 2 三角形的外角有两条性质 1 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 2 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 三角形的外角和等于 360 3 三角形的三边关系 三角形的任何两边的和大于第三边 用三根木条钉一个三角形 你会发现再也无法改变这个三角形的形状和大小 也就是 说 如果三角形的三边固定 那么三角形的形状和大小就完全确定了 三角形的这个性质 叫做三角形的稳定性 用四根木条钉一个四边形 你会发现可以任意改变这个四边形的形状和大小 这说明 四边形具有不稳定性 三角形的稳定性在生产实践中有着广泛的应用 例如桥梁 拉杆 电视塔架底座都是 三角形结构 典型例题典型例题 例 1 工人师傅利用边角余料铺地板时 用 6 个形状一样的三角形拼在一起 能够无缝隙 地覆盖住 A 点及周围小区域 用 4 个形状一样的四边形拼在一起 也能无缝隙地盖住 A 点 及周围小区域 从上述的两种覆盖中 我们发现 要完全盖住 A 点及其周围小区域 必须 满足的条件是什么 用边长相等 各角相等的正五边形能不能覆盖住 A 点及其周围小区域 用正六边形呢 试试看 分析 分析 这里的问题是几个完全一样的 多边形能够铺满地面的条件是什么 这个问题 可通过动手实践 拼一拼就可知道结果 解 解 必须满足的条件是拼在 A 处 以 A 为顶点的几个角的度数之和为 360 正五边 形三个内角和小于 360 而四个内角和大于 360 所以几个正五边形不能铺满地面 几 个正六边形拼在一起 恰好可以覆盖住 A 点及周围区域 因为正六边形的每个内角为 120 它的 3 倍为 360 例 2 家庭装饰采用的地砖一般是正方形 矩形或菱形材料 人行道铺的水泥砖往往是方 形 三角形或是六边形 为什么要采用这样的材料 采用其它多边形材料行吗 若行 需 要有什么限制 分析 分析 铺地板时 有以下几点要求 1 平整 即材料厚度一致 2 无缝隙 要满足下面两点才能保证 相邻两块砖拼接的对应边要完全重合 即对应边相等 在每块砖的顶点处要能拼成周角 360 3 考虑稳定性 符合力学要求 解 解 三角形材料只要全等 由内角为 180 用六个全等三角形能在一个顶点处拼得 360 角 对应边相等 能保证相邻两个三角形拼接的边能完全重合 故三角形材料在全等 条件下能铺满地板 对于全等的特殊四边形材料 由内角和为 360 可以铺满地板 其实 一般的四边 形材料也能 五边形因其内角和为 540 不是 360 的整数倍 当这个五边形为正五边形时 每个 内角为 108 它的整数倍不是 360 故不能在顶点处构造 360 角 所以不能用五边形 材料铺地板 六边形材料 因其内角和超过 360 不能用一般六边形拼成 360 角 但正六边形的 每个内角都为 120 它的 3 倍为 360 故在一个顶点处 用三个这样的六边形能拼成 360 故可行 当边数多于 6 时 无论内角是否相等 都无法拼成 360 角 所以不能用它们来铺地 板 例 3 如图 中 D 为 BC 上一点 且 求的度数 分析 分析 在中 已知的度数和的度数 利用三角形的内角和为 180 可求得的度数 是的一个外角 的度数已知 故的度数可求 解 解 在中 说明 说明 在求角度的问题中 三角形的内角和与三角形外角的性质 是两个常用的知识 要注意灵活运用 例 4 如图 已知中 AD 是外角的平分线 且交 BC 的延长线于 D 你能比较与的大小 吗 说出你的理由 分析 分析 因为与在同一个三角形中 不能直接比较大小 可利用一个中间量来 过渡 图中即为 过渡 的角 解 解 AD 平分 是的外角 又是的外角 说明 说明 在比较两个角的大小时 应注意到利用三角形外角的性质 2 本题还利用了不 等式的传递性 即甲大于乙 乙大于丙 则甲大于丙 例 5 如图所示 在的 CA BA 的延长线上任取 D E 两点 连接 DE 做的平分线 使 它们相交于 F 求证 分析 分析 在两个不同的三角形内 用三角形内外角的关系把它们联系起来以达到目的 证明 证明 设 EF 交 CD 于 G CF 交 AB 于 H 三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和 EF 平分 CF 平分 已知 角平分线的定义 说明 说明 求角与角的关系时 可用三角形的内 外角关系把它们联系起来 再利用三角 形的外角性质定理来求它们的关系 例 6 如图 D 是内任一点 连结 BD CD 求证 分析 分析 因为 AB AC 在中 DB DC 在中 我们只学过三角形两边之和大于第三边 所以应想办法使其中的某些线段在同一个三角形中 证明 证明 延长 BD 交 AC 于 E 在中 三角形两边之和大于第三边 在中 三角形两边之和大于第三边 得 即 说明 说明 判断已知的三条线段能否构成三角形要根据两边之和大于第三边 此外也可利 用三角形中两边之和大于第三边来确定边与边的大小关系 例 7 一个等腰三角形的周长是 18cm 1 已知腰长是底边长的 2 倍 求各边长 2 已知其中一边长 4cm 求其它两边长 分析 分析 1 可直接根据定义计算 2 因为 4cm 有可能作腰 也有可能作底 故要 分两种情况 解 解 1 设底边长为 xcm 则腰长为 2xcm 三边长分别为 3 6cm 7 2cm 7 2cm 2 第一种情况 4cm 的长的边为底 设腰长为 xcm 则 第二种情况 4cm 的长为腰 设底边长为 xcm 则 即发生两边的和小于第三边的情况 4cm 为腰不能组成三角形 从而得这个三角形其他两边长都是 7cm 说明 说明 三角形的三边 有的各不相等 有的两条边相等 有的三条边相等 解题应注 意 求三角形的边长问题 一定要考虑三角形三边关系定理 不满足定理的应舍去 例 8 草原上有 4 口油井 位于四边形 ABCD 的 4 个顶点 现在要修建一个维修站 H 试问 H 建在何处 才能使它到 4 口油井的距离为最小 说明理由 解 解 维修站应建在两条对角线的交点 H 处 取异于 H 的点 H 根据三角形的两边之 和大于第三边 有 为最小 例 9 已知 中 AD 是 BC 边上的中线 求证 分析 分析 由于 AD 是 BC 边上的中线 所以 BD DC 因此 要证明 只需证明 即证明 这就需要在和中 利用三角形三边关系来解决 证明 证明 AD 是 BC 边上的中线 在中 在中 三角形的两边之和大于第三边 模拟试题模拟试题 答题时间 60 分钟 1 通过本节的学习 你觉得几个完全一样的多边形瓷砖能够铺成一片的关键是什么 2 如图所示 有长方形和正方形两种瓷砖 若单用长方形瓷砖铺地面 你能设计出几种 铺法 若单用正方形瓷砖铺地面 你能设计出几种铺法 若采用这两种瓷砖铺地面 你有 几种铺法 试画出图形 3 用大小为 1 1 2 2 3 3 的瓷砖铺一个 23 23 的正方形地面 1 请设计一种方案 只用 1 块 1 1 的正方形及若干 2 2 3 3 的瓷砖铺满地面 2 证明要铺满地面 没有 1 1 的正方形不行 4 设计并绘制两种不同的瓷砖铺设方案 注意讲究美观 5 工人师傅常把一批形状 大小完全相同 但不规则的四边形边角余料用来铺地板 按 如图那样拼接四边形木块 就可不留空隙 拼成一片 你能说出其中的原因吗 6 如图 则 7 如图 度 8 如果等腰三角形一边长是 3cm 另一边长是 8cm 则这个等腰三角形的腰长是 cm 9 在中 BC 10 那么 AB AC 的取值范围是 10 现有 8 根木棍 它们的长分别是 1 2 3 4 5 6 7 8 若从 8 根木棍中抽取 3 根拼三角形 要求三角形的最长边为 8 另外两边之差大于 2 以上单位为 cm 那么可以 拼成的不同的三角形的种数为 11 下列说法中正确的是 A 斜三角形是锐角三角形B 钝角三角形是斜三角形 C 任意三角形是斜三角形D 等腰三角形是斜三角形 12 下列判断正确的是 平分三角形内角的射线叫三角形的角平分线 三角形的中线 角平分线都是线段 一个三角形有三条角平分线和三条中线 三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线 A B C D 13 三角形的三条高中 在三角形的外部最多有 A 3 条B 2 条C 1 条D 0 条 14 三角形的三个外角中 钝角的个数至少有 A 0 个B 1 个C 2 个D 3 个 15 中 则是 A 锐角三角形B 直角三角形 C 钝角三角形D 等腰直角三角形 16 的和的外角平分线交于 D 则等于 A B C D 17 已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角 那么这个三角形 A 是锐角三角形B 是直角三角形 C 是钝角三角形D 以上三种情况都有可能 18 以下列长度为边的三条线段不能组成三角形的组数是 1 2 3 2 3 4 4 5 5 5 6 10 A B C D 19 已知三角形的两边长分别为 3 和 5 则第三边 a 的取值范围是 A B C D 20 一个三角形的两边分别是 5 和 11 第三边长是一个偶数 则第三边长是 A 4B 6C 8D 以上都不对 21 如图 中 已知 AD 是高 AE 是角平分线 求和的大小 22 如图 在中 的平分线与的外角平分线相交于点 D 求证 23 如图 已知 CD AB 求证 试题答案试题答案 1 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时 就拼成一个 平面图形 2 3 1 在 23 23 的正方形中央铺设 1 1 的瓷砖 再把剩下的部分划分为 4 个 11 12 的矩形 其中每一个矩形可分成 2 12 和 9 12 的矩形 然后铺上相应的 2 2 和 3 3 的 瓷砖 2 把 23 23 的正方形的行连接编号 并把号码为 1 4 7 22 的