上海市闵行区2011届高三数学下学期质量调研考试 文

1 闵行区闵行区 20102010 学年第二学期高三年级质量调研考试数学年第二学期高三年级质量调研考试数 学学 试试 卷 文科 卷 文科 考生注意 考生注意 1 答卷前 考生务必在答题纸上将学校 班级 考号 姓名等填写清楚 答卷前 考生务必在答题纸上将学校 班级 考号 姓名等填写清楚 2 本试卷共有 本试卷共有 23 道题 满分道题 满分 150 分 考试时间分 考试时间 120 分钟 分钟 一一 填空题 本大题满分填空题 本大题满分 56 分 本大题共有分 本大题共有 14 题 考生应在答题纸上相应编号的空格内题 考生应在答题纸上相应编号的空格内 直接填写结果 每个空格填对得直接填写结果 每个空格填对得 4 分 否则一律得零分 分 否则一律得零分 1 已知集合 那么 11Mx x 1 0 1N MN 2 线性方程组的增广矩阵为 325 21 xy xy 3 已知 则 1 cos 43 sin 4 4 2 2 21 lim 1 n n nn 5 若 且为纯虚数 则实数 1 3zai 2 34zi 1 2 z z a 6 圆锥的侧面展开图为扇形 若其弧长为cm 半径为cm 则该圆锥的体积为2 2 3 cm 7 经过点且法向量为的直线 的方程为 1 0 A 2 1 d l 8 已知数列是以为首项 为公差的等差数列 n a15 2 是其前项和 则数列的最小项为第 项 n Sn n S 9 如图是一个正三棱柱零件 面平行于正投影面 则零件 1 AB 的左视图的面积为 10 若直线 0 022 babyax始终平分圆 0824 22 yxyx的周长 则的最小值为 11 ab A B C A1 B1 C1 4 2 2 OA BC E F x y O M N x y P 11 已知一个袋中装有大小相同的黑球 白球和红球 共有个球 从袋中任意摸出10 个球 得到黑球的概率是 5 2 则从中任意摸出个球 得到的都是黑球的概率12 为 12 如图 在平面直角坐标系中 正方形的边长为 OABC1 为的中点 若为正方形内 含边界 任意一点 EABF 则的最大值为 OE OF 13 已知双曲线的两焦点为 若该双曲线 22 22 1 xy ab F F 与抛物线有一个公共的焦点 且两曲线的一个 2 8yx F 交点为 则的大小为 结果用反三角函数表示 P5PF FPF 14 已知等差数列 对于函数满足 n a 53 f xxx 是其前项和 则 2 2 6f a 2010 4 6f a n Sn 2011 S 二二 选择题 本大题满分选择题 本大题满分 20 分 本大题共有分 本大题共有 4 题 每题只有一个正确答案 选对得题 每题只有一个正确答案 选对得 5 分 答分 答 案代号必须填在答题纸上 注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应 不能错位案代号必须填在答题纸上 注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应 不能错位 15 是 的 答 1 sin 2 1 cos2 2 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 16 某单位有青年职工人 中年职工人数是老年职工人数的倍 老 中 青职工共有1602 人 为了解职工身体状况 现采用分层抽样方法进行调查 在抽取的样本中有青年职工430 人 则该样本中的老年职工人数为 答 32 A B C D 16182736 17 如图 设是单位圆和x轴正半轴的交点 是单位圆上的两点 O是坐标原点 PMN 3 POM PON 0 则 f的范围为 答 fOM ON A B 1 1 2 1 1 2 2 3 B C D A1 P B1 C1 D1 A C D 1 1 2 1 1 2 18 设函数 的零点分别为 则 14 1 log 4 x f xx 21 4 1 log 4 x fxx 12 xx 答 A B C D 12 2x x 12 12x x 12 1x x 12 01x x 三三 解答题 本大题满分解答题 本大题满分 74 分 本大题共有分 本大题共有 5 题 解答下题 解答下 列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步 骤 骤 19 19 本题满分 本题满分 1212 分 分 如图 已知是底面为正方形的长方 1111 ABCDA BC D 体 点是的中点 求 11 60AD A 1 4AD P 1 AD 异面直线与所成的角 结果用反三角函数表示 1 AA 1 B P 20 20 本题满分 本题满分 1414 分 本题共有分 本题共有 2 2 个小题 每小题满分各个小题 每小题满分各 7 7 分 分 某工厂因排污比较严重 决定着手整治 一个月时污染度为 整治后前四个月的污60 染度如下表 月数1234 污染度6031130 污染度为后 该工厂即停止整治 污染度又开始上升 现用下列三个函数模拟从整治0 后第一个月开始工厂的污染模式 其中 204 1 f xxx 2 20 4 1 3 g xxx 2 30 log2 1 h xxx 表示月数 分别表示污染度 x f xg xh x 1 问选用哪个函数模拟比较合理 并说明理由 2 若以比较合理的模拟函数预测 整治后有多少个月的污染度不超过 60 学校 班级 学号 姓名 密 封 线 4 21 本题满分 本题满分 14 分 本题共有分 本题共有 2 个小题 第个小题 第 1 小题满分小题满分 4 分 第分 第 2 小题满分小题满分 10 分 分 已知是线段外一点 若 OABOAa OBb 1 设点 是线段的三等分点 试用向量 表示 PQABa b OPOQ 2 如果在线段上有若干个等分点 你能得到什么结论 请证明你的结论 AB 说明 第 2 题将根据结论的一般性程度给予不同的评分 22 本题满分 本题满分 16 分 本题共有分 本题共有 3 个小题 第个小题 第 1 小题满分小题满分 4 分 第分 第 2 小题满分小题满分 5 分 第分 第 3 小小 题题 满分满分 7 分 分 已知椭圆中心为 右顶点为 过定点作直线 交椭圆于 2 2 1 4 x y OM 0 2 D tt l 两点 AB 1 若直线 与轴垂直 求三角形面积的最大值 lxOAB 2 若 直线 的斜率为 求证 6 5 t l190AMB 3 直线和的斜率的乘积是否为非零常数 请说明理由 AMBM 23 本题满分 本题满分 18 分 本题共有分 本题共有 3 个小题 第个小题 第 1 小题满分小题满分 4 分 第分 第 2 小题满分小题满分 5 分 第分 第 3 小小 题题 满分满分 9 分 分 定义 对于任意 满足条件且 是与无关的常数 n N 2 1 2 nn n aa a n aM Mn 的无穷数列称为数列 n aT 1 若 证明 数列是数列 2 n an n N n aT 5 E P D1 C1 B1 A1 D CB A z y x P D1 C1B1 A1 D CB A 2 设数列的通项为 且数列是数列 求的取值范围 n b243n n bn n bTM 3 设数列 问数列是否是数列 请说明理由 1 n cq np n N n cT 闵行区闵行区 2010 学年第二学期高三年级质量调研考试学年第二学期高三年级质量调研考试 数学试卷参考答案与评分标准数学试卷参考答案与评分标准 一一 填空题填空题 1 2 3 1 0 325 121 1 3 4 2 5 6 4 3 7 理 文 8 8 9 理 文 cos2 220 xy 4 34 3 10 理 文 4 11 理 文 12 32 2 1 2 2 15 3 2 13 理 文 14 6033 30 xy 29 arccos 35 二二 选择题选择题 15 A 16 B 17 A 18 D 三三 解答题解答题 19 解 1 解法一 过点 P 作 垂足为 连结 如图 11 PEAD E 1 B E 则 是异面直线与所成的角 1 PEAA 1 B PE 1 AA 1 B P 3 分 在中 11 RtAAD 11 60AD A 11 30A AD 11111 1 2 2 ABADAD 111 1 1 2 AEAD 又 8 分 22 1111 5B EB AAE 1 1 3 2 PEAA 在中 10 分 1 RtB PE 1 1 515 tan 33 B E B PE PE 异面直线与所成的角为 12 分 1 AA 1 B P 15 arctan 3 解法二 以为原点 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标 1 A 11 A B 系如图所示 则 1 0 0 0 A 0 0 2 3 A 1 2 0 0 B 6 A B O A1 A2 4 分 8 分 013 P 1 0 0 2 3 A A 1 213 B P 10 分 11 11 11 cos A A B P A AB P A AB P 66 42 3 2 2 异面直线与所成的角为 12 分 1 AA 1 B P 6 arccos 4 20 解 理 1 3 分 2 40 2 26 7 2 27 3fgh 6 分 3 20 3 6 7 3 10 9fgh 由此可得更接近实际值 所以用模拟比较合理 7 分 h x h x 2 因在上是增函数 2 24017 log 1 114 h xxx x 4x 又因为 12 分 23 59 6 24 60 9hh 故整治后有 23 个月的污染度不超过 60 14 分 文 1 3 分 2 40 2 26 7 2 30fgh 6 分 3 20 3 6 7 3 12 5fgh 由此可得更接近实际值 所以用模拟比较合理 7 分 h x h x 2 因在上是增函数 又因为 12 分 2 30 log2h xx 4x 16 60h 故整治后有 16 个月的污染度不超过 60 14 分 21 解 理 1 如图 点 是线段的三等分点 1 A 2 AAB 同理可得 111 2 11 3 23 OGOAOAOAOA 2 分 212 1 3 OGOAOA 32 1 3 OGOAOB 则 12312 12 33 OGOGOGabOAOA 4 分 1212 3333 ababaaba ab 2 层次 1 设是的二等分点 则 设 1 AAB 1 2 ab OA 12 2 3 OGOGab 7 A B O P Q A1 是的四等分点 则 或设是 123 AAA AB 123 3 2 ab OAOAOA 121 n A AA 的等分点 则等等 结论 2 分 证明 2 分 ABnOAOAOAOB kn k 层次 2 设是的等分点 121 n A AA ABn 结论 2 分 证明 4 分 12321 2 nn n ab OAOAOAOAOA 层次 3 设是的等分点 121 n A AA ABn 则 结论 3 分 证明 7 分 12321 3 nn n ab OGOGOGOGOG 证 121121 12 33 nn OGOGOGabOAOAOA 12121 33 n ababaabaaba nnn 12121121 1 33 nn abnaba nnnnnn 12 1 3323 nn ababab 文 1 如图 点 是线段的三等分点PQABOPOAAP 则 同理 2 分 1 3 OAOBOA 21 33 OPab 12 33 OQab 所以 4 分 OPOQab 2 层次 1 设是的二等分点 则 1 AAB 1 2 ab OA 设是的四等分点 则 123 AAA AB 等等 结论 2 分 证明 2 分 123 3 2 ab OAOAOA 层次 2 设是的等分点 121 n A AA ABn 则等 结论 2 分 证明 4 分 OAOAOAOB kn k 层次 3 设是的等分点 121 n A AA ABn 8 则 结论 3 分 证明 7 分 121 1 2 n n OAOAOAab 证 是线段的等分点 先证明这样一个基本结论 121 n A AA AB 3 nn kn k OAOAOAOB 11 knnk N 由 因为和是相反向量 kk OAOAAA n kn k OAOBBA k AA n k BA 则 所以 0 kn k AABA kn k OAOAOAOB 记 12321nn SOAOAOAOAOA 1221nn SOAOAOAOA 相加得 112211 2 1 nnn SOAOAOAOAOAOAnOAOB 121 1 2 n n OAOAOAab 22 解 设直线 与椭圆的交点坐标为 l 1122 A x yB xy 1 把代入可得 2 分 xt 2 2 1 4 x y 2 1 4 2 yt 则 当且仅当时取等号 4 分 2 1 41 2 OAB SODADtt 2t 2 由得 6 分 2 2 6 5 1 4 yx x y 2 125240440 xx 12 44 125 x x 12 48 25 xx 所以 12 12 1212 66 55 2222 AMBM xx y y kk xxxx 1212 1212 636 525 24 x xxx x xxx 9 分 446 4836 1255 2525 4448 24 1255 64 1 64 90AMB 3 理 当直线 与轴不垂直时 可设直线方程为 lx yk xt 由消去整理得 2 2 1 4 yk xt x y y 2222 2 41 8440kxk txk t 9 则 又 2 12 2 2 2 12 2 0 8 41 44 41 k t xx k k t x x k 11 22 yk xt yk xt 若存在定点符合题意 且 0 E m则为非零常数 sskk BEAE 11 分 22 121212 2 121212 AEBE y ykx xt xxt kks xm xmx xm xxm 把 式代入上式整理得 其中都是常数 2222 4 4 4 0ks tmts m mts 要使得上式对变量恒成立 当且仅当 0 k k 解得 13 分 22 2 4 4 0 4 0 0 s tmt s ms 2 m 当时 定点就是椭圆的右顶点 此时 2 mE 2 0 2 4 2 t s t 当时 定点就是椭圆的左顶点 此时 15 分 2m E 2 0 2 4 2 t s t 当直线 与轴垂直时 由 解得两交点坐标为lx 2 2 1 4 xt x y 可验证 或 22 11 4 4 22 A ttB tt 2 4 2 AEBE t kk t 2 4 2 t t 所以 存在一点 或 使直线和的斜率的乘积为非零常数E 2 0 2 0 AEBE 或 16 分 2 4 2 t t 2 4 2 t t 文 直线和的斜率的乘积是一个非零常数 11 分 AMBM 当直线 与轴不垂直时 可设直线方程为 lx yk xt 由消去整理得 2 2 1 4 yk xt x y y 2222 2 41 8440kxk txk t 10 则 又 13 分 2 12 2 2 2 12 2 0 8 41 44 41 k t xx k k t x x k 11 22 yk xt yk xt 所以 15 分 22 121 212 121 212 2 2 2 2 44 2 AMBM y ykx xt xxtt kk xxx xxxt 常数 当直线 与轴垂直时 由得两交点 lx 2 2 1 4 xt x y 22 11 4 4 22 A ttB tt 显然 所以直线和的斜率的乘积是一个非零常数 16 分 2 4 2 AMBM t kk t AMBM 23 理 1 由 得 2 9 n ann 2 1 18 1 2 2 9 2 92 222 12 nnnnnnaaa nnn 所以数列满足 2 分 n a 2 1 2 nn n aa a 又 当 n 4 或 5 时 取得最大值 20 即 20 2 981 24 n an n a n a 综上 数列是数列 4 分 n aT 2 因为 1 1 331 3 50 1 5050 222 2 nnn nn bbnn 所以当即时 此时数列单调递增 6 分 1 3 500 2 2 n 11n 1 0 nn bb n b 当时 此时数列单调递减 故数列的最大项是 12n 1 0 nn bb n b n b 12 b 所以 的取值范围是 9 分 M 12 3 600 2 M 3 当时 当时 12p 1n 123 1 1 1 23 pp cpcc 由得 132 5 220 3 p ccc 6 5 p 11 即当时符合条件 11 分 6 1 5 p 1 2 2 n nn c cc 若 则 此时2n 1 n p 1 n p c n 于是 21 2 2 1 1 2 1