一元二次方程知识结构图

1 1 一元二次方程的一般式 一元二次方程的一般式 为二次项系数 为一次项系数 为 2 0 0 axbxca abc 常数项 1 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 1 直接开平方法直接开平方法 也可以使用因式分解法 解为 2 0 xa a xa 解为 2 0 xab b xab 解为 2 0 axbc c axbc 解为 22 axbcxdac axbcxd 2 因式分解法因式分解法 提公因式分 平方公式 平方差 十字相乘法 如 此类方程适合用提供因此 而且其中一个根为 0 2 0 0 0axbxa bx axb 2 90 3 3 0 xxx 2 30 3 0 xxx x 3 21 5 21 0 35 21 0 xxxxx 22 694 3 4xxx 22 41290 23 0 xxx 2 4120 6 2 0 xxxx 2 25120 23 4 0 xxxx 3 配方法配方法 二次项的系数为 1 的时候 直接将一次项的系数除于 2 进行配方 如下所示 222 0 0 22 PP xPxqxq 示例 222 33 310 10 22 xxx 二次项的系数不为 1 的时候 先提取二次项的系数 之后的方法同上 2222 0 0 0 0 22 bbb axbxcaa xxca xac aaa A 22 22 2 4 2424 bbbbac a xcx aaaa 示例 2222 1111 210 4 10 2 210 2222 xxxxx 4 公式法 公式法 一元二次方程 用配方法将其变形为 2 0 0 axbxca 2 2 2 4 24 bbac x aa 当时 右端是正数 因此 方程有两个不相等的实根 2 40bac 2 2 1 2 4 2 bbac x a 当时 右端是零 因此 方程有两个相等的实根 2 40bac 1 2 2 b x a 当时 右端是负数 因此 方程没有实根 2 40bac 备注 公式法解方程的步骤 备注 公式法解方程的步骤 把方程化成一般形式 一元二次方程的一般式 并确定出 2 0 0 axbxca abc 求出 并判断方程解的情况 2 4bac 代公式 要注意符号 2 1 2 4 2 bbac x a 3 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系 法 1 一元二次方程的两个根为 2 0 0 axbxca 22 12 44 22 bbacbbac xx aa 所以 22 12 44 22 bbacbbacb xx aaa 22222 12 22 44 4 4 22 2 4 bbacbbacbbacacc xx aaaaa 定理 定理 如果一元二次方程定的两个根为 那么 2 0 0 axbxca 12 x x 1212 bc xxx x aa 法 2 如果一元二次方程定的两个根为 那么 2 0 0 axbxca 12 x x 两边同时除于 展开后可得 2 12 0 0axbxca xxxx a 22 1212 0 0 bc xxxxxxx x aa A 12 b xx a 12 c x x a A 法 3 如果一元二次方程定的两个根为 那么 2 0 0 axbxca 12 x x 得 余下略 2 11 2 22 0 0 axbxc axbxc 12 b xx a 常用变形 常用变形 222 121212 2xxxxx x 12 1212 11xx xxx x 22 121212 4xxxxx x 3 2 121212 4xxxxx x 22 12121212 x xx xx xxx 等 2 21112 121212 22 212 4xxxxxxx x xxx xx x 练习 练习 练习 1 若是方程的两个根 试求下列各式的值 12 x x 2 220070 xx 1 2 3 4 22 12 xx 12 11 xx 12 5 5 xx 12 xx 练习 2 已知关于的方程 根据下列条件 分别求出的值 x 22 1 1 10 4 xkxk k 1 方程两实根的积为 5 2 方程的两实根满足 12 x x 12 xx 练习 3 已知是一元二次方程的两个实数根 12 x x 2 4410kxkxk 1 是否存在实数 使成立 若存在 求出的值 若不存在 k 1212 3 2 2 2 xxxx k 请您说明理由 2 求使的值为整数的实数的整数值 12 21 2 xx xx k 4 韦达定理相关知识 韦达定理相关知识 1 若一元二次方程有两个实数根 那么 0 0 2 acbxax 21 xx 和 21 xx 我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系 简称韦达定理 21 xx 2 如果一元二次方程的两个根是 则 0 2 qpxx 21 xx 和 21 xx 21 xx 3 以为根的一元二次方程 二次项系数为 1 是 21 xx 和0 2121 2 xxxxxx 4 在一元二次方程中 有一根为 0 则 有一根为 1 则 0 0 2 acbxax c 有一根为 则 若两根互为倒数 则 若两根互 cba1 cba c 为相反数 则 b 5 二次三项式的因式分解 公式法 在分解