2015高考数学一轮题组训练：12-2合情推理与演绎推理

1 第 2 讲 合情推理与演绎推理 基础巩固题组 建议用时 40 分钟 一 填空题 1 正弦函数是奇函数 f x sin x2 1 是正弦函数 因此 f x sin x2 1 是奇 函数 以上推理 结论正确 大前提不正确 小前提不正确 全不正确 解析 f x sin x2 1 不是正弦函数而是复合函数 所以小前提不正确 答案 2 2014 西安五校联考 观察下式 1 12 2 3 4 32 3 4 5 6 7 52 4 5 6 7 8 9 10 72 则得出第 n 个式子的结论 解析 各等式的左边是第 n 个自然数到第 3n 2 个连续自然数的和 右边是 中间奇数的平方 故得出结论 n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 答案 n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 3 若等差数列 an 的首项为 a1 公差为 d 前 n 项的和为 Sn 则数列为等 Sn n 差数列 且通项为 a1 n 1 类似地 请完成下列命题 若各项均 Sn n d 2 为正数的等比数列 bn 的首项为 b1 公比为 q 前 n 项的积为 Tn 则 答案 数列 为等比数列 且通项为 b1 n 1 n Tn n Tnq 4 观察 x2 2x x4 4x3 cos x sin x 由归纳推理得 若定义在 R 上的函数 f x 满足 f x f x 记 g x 为 f x 的导函数 则 g x 解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数 故 g x g x 答案 g x 5 2012 江西卷改编 观察下列各式 2 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 则 a10 b10 等于 解析 从给出的式子特点观察可推知 等式右端的值 从第三项开始 后一 个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和 照此规律 则 a10 b10 123 答案 123 6 2014 长春调研 类比 两角和与差的正弦公式 的形式 对于给定的两个函 数 S x ax a x C x ax a x 其中 a 0 且 a 1 下面正确的运算 公式是 S x y S x C y C x S y S x y S x C y C x S y 2S x y S x C y C x S y 2S x y S x C y C x S y 解析 经验证易知 错误 依题意 注意到 2S x y 2 ax y a x y S x C y C x S y 2 ax y a x y 因此有 2S x y S x C y C x S y 同理有 2S x y S x C y C x S y 答案 7 由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则 mn nm 类比得到 a b b a m n t mt nt 类比得到 a b c a c b c m n t m n t 类比得到 a b c a b c t 0 mt xt m x 类比得到 p 0 a p x p a x m n m n 类比得到 a b a b 类比得到 ac bc a b a c b c a b 以上式子中 类比得到的结论正确的是 解析 正确 错误 答案 8 2014 南京一模 给出下列等式 2cos 2cos 2 4 2 2 3 2cos 请从中归纳出第 n 个等式 8 2 2 2 16 答案 2cos 2n 1 二 解答题 9 给出下面的数表序列 其中表 n n 1 2 3 有 n 行 第 1 行的 n 个数是 1 3 5 2n 1 从 第 2 行起 每行中的每个数都等于它肩上的两数之和 写出表 4 验证表 4 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列 并将结论推广到表 n n 3 不要求证明 解 表 4 为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32 它的第 1 2 3 4 行中的数的平均数分别是 4 8 16 32 它们构成首项为 4 公比 为 2 的等比数列 将这一结论推广到表 n n 3 即表 n n 3 各行中的数的平均数按从上到下 的顺序构成首项为 n 公比为 2 的等比数列 10 f x 先分别求 f 0 f 1 f 1 f 2 f 2 f 3 然后归纳猜 1 3x 3 想一般性结论 并给出证明 解 f 0 f 1 1 30 3 1 31 3 1 1 3 1 3 1 3 3 3 1 3 1 3 1 3 3 3 4 同理可得 f 1 f 2 f 2 f 3 3 3 3 3 由此猜想 f x f 1 x 3 3 证明 f x f 1 x 1 3x 3 1 31 x 3 1 3x 3 3x 3 3 3x 1 3x 3 3x 3 3 3x 3 3x 3 3 3x 3 3 能力提升题组 建议用时 25 分钟 一 填空题 1 2012 江西卷改编 观察下列事实 x y 1 的不同整数解 x y 的个数为 4 x y 2 的不同整数解 x y 的个数为 8 x y 3 的不同整数解 x y 的 个数为 12 则 x y 20 的不同整数解 x y 的个数为 解析 由 x y 1 的不同整数解的个数为 4 x y 2 的不同整数解的个 数为 8 x y 3 的不同整数解的个数为 12 归纳推理得 x y n 的不同 整数解的个数为 4n 故 x y 20 的不同整数解的个数为 80 答案 80 2 观察下列各式 9 1 8 16 4 12 25 9 16 36 16 20 这些等式反 映了自然数间的某种规律 设 n 表示自然数 用关于 n 的等式表示为 解析 9 1 1 2 2 12 4 1 1 16 4 2 2 2 22 4 2 1 25 9 3 2 2 32 4 4 1 36 16 4 2 2 42 4 5 1 一般 地 有 n 2 2 n2 4 n 1 n N 答案 n 2 2 n2 4 n 1 n N 3 2013 湖北卷 在平面直角坐标系中 若点 P x y 的坐标 x y 均为整数 则 称点 P 为格点 若一个多边形的顶点全是格点 则称 该多边形为格点多边形 格点多边形的面积记为 S 其 5 内部的格点数记为 N 边界上的格点数记为 L 例如图中 ABC 是格点三角 形 对应的 S 1 N 0 L 4 1 图中格点四边形 DEFG 对应的 S N L 分别是 2 已知格点多边形的面积可表示为 S aN bL c 其中 a b c 为常 数 若某格点多边形对应的 N 71 L 18 则 S 用数值作答 解析 1 四边形 DEFG 是一个直角梯形 观察图形可知 S 2 22 3 N 1 L 6 2 1 2 2 由 1 知 S四边形 DEFG a 6b c 3 S ABC 4b c 1 在平面直角坐标系中 取一 田 字型四边形 构成边长为 2 的正方形 该 正方形中 S 4 N 1 L 8 则 S a 8b c 4 联立解得 a 1 b c 1 1 2 S N L 1 若某格点多边形对应的 N 71 L 18 则 1 2 S 71 18 1 79 1 2 答案 1 3 1 6 2 79 二 解答题 4 2012 福建卷 某同学在一次研究性学习中发现 以下五个式子的值都等于同 一个常数 sin213 cos217 sin 13 cos 17 sin215 cos215 sin 15 cos 15 sin218 cos212 sin 18 cos 12 sin2 18 cos248 sin 18 cos 48 sin2 25 cos255 sin 25 cos 55 1 试从上述五个式子中选择一个 求出这个常数 2 根据 1 的计算结果 将该同学的发现推广为三角恒等式 并证明你的结 论 6 解 1 选择 式 计算如下 sin215 cos215 sin 15 cos 15 1 sin 30 1 2 1 1 4 3 4 2 三角恒等式为 sin2 cos2 30 sin c