高考数学总复习8.5直线、平面垂直的判定与性质课件文新人教B版.ppt

8 5直线 平面垂直的判定与性质 考纲要求 1 能以立体几何中的定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理 2 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题 1 直线与平面垂直 1 直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面 内的 直线都垂直 就说直线l与平面 互相垂直 任意 2 判定定理与性质定理 2 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的定义两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 直二面角 2 判定定理与性质定理 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 直线l与平面 内的无数条直线都垂直 则l 2 若直线a 平面 直线b 则直线a与b垂直 3 直线a b 则a b 4 若 a a 5 a a 6 若两平面垂直 则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 答案 1 2 3 4 5 6 1 教材改编 下列条件中 能判定直线l 平面 的是 A l与平面 内的两条直线垂直B l与平面 内无数条直线垂直C l与平面 内的某一条直线垂直D l与平面 内任意一条直线垂直 解析 由直线与平面垂直的定义 可知D正确 答案 D 2 设平面 与平面 相交于直线m 直线a在平面 内 直线b在平面 内 且b m 则 是 a b 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 解析 若 因为 m b b m 所以根据两个平面垂直的性质定理可得b 又a 所以a b 反过来 当a m时 因为b m 且a m共面 一定有b a 但不能保证b 所以不能推出 答案 A 3 2017 上海六校联考 已知m和n是两条不同的直线 和 是两个不重合的平面 下面给出的条件中一定能推出m 的是 A 且m B 且m C m n且n D m n n 且 解析 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理 可知C正确 答案 C 4 教材改编 PD垂直于正方形ABCD所在的平面 连接PB PC PA AC BD 则一定互相垂直的平面有 对 解析 由于PD 平面ABCD 故平面PAD 平面ABCD 平面PDB 平面ABCD 平面PDC 平面ABCD 平面PDA 平面PDC 平面PAC 平面PDB 平面PAB 平面PAD 平面PBC 平面PDC 共7对 答案 7 5 教材改编 在三棱锥P ABC中 点P在平面ABC中的射影为点O 1 若PA PB PC 则点O是 ABC的 心 2 若PA PB PB PC PC PA 则点O是 ABC的 心 解析 1 如图1 连接OA OB OC OP 在Rt POA Rt POB和Rt POC中 PA PC PB 所以OA OB OC 即O为 ABC的外心 2 如图2 PC PA PB PC PA PB P PC 平面PAB AB 平面PAB PC AB 又AB PO PO PC P AB 平面PGC 又CG 平面PGC AB CG 即CG为 ABC边AB的高 同理可证BD AH为 ABC底边上的高 即O为 ABC的垂心 答案 1 外 2 垂 题型一直线与平面垂直的判定与性质 例1 1 2017 武汉调研 如图所示 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD为矩形 PA 平面ABCD 点E在线段PC上 PC 平面BDE 证明 BD 平面PAC 证明 PA 平面ABCD BD 平面ABCD PA BD PC 平面BDE BD 平面BDE PC BD 又 PA PC P BD 平面PAC 所以CD2 DB2 BC2 即CD AO 因为PD 平面ABC CD 平面ABC 所以PD CD 由PD AO D得 CD 平面PAB 又PA 平面PAB 所以PA CD 方法规律 1 证明直线和平面垂直的常用方法 判定定理 垂直于平面的传递性 a b a b 面面平行的性质 a a 面面垂直的性质 2 证明线面垂直的核心是证线线垂直 而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 因此 判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 3 线面垂直的性质 常用来证明线线垂直 跟踪训练1 2017 淄博模拟 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是矩形 侧棱PD 底面ABCD PD DC E是PC的中点 作EF PB交PB于点F 1 证明 PA 平面EDB 2 证明 PB 平面EFD 证明 1 连接AC交BD于O 连接EO 底面ABCD是矩形 点O是AC的中点 又 E是PC的中点 在 PAC中 EO为中位线 PA EO 而EO 平面EDB PA 平面EDB PA 平面EDB 2 由PD 底面ABCD 得PD BC 底面ABCD是矩形 DC BC 且PD CD D BC 平面PDC 而DE 平面PDC BC DE PD DC E是PC的中点 PDC是等腰三角形 故DE PC 由 和 及BC PC C 得DE 平面PBC 而PB 平面PBC DE PB 又EF PB且DE EF E PB 平面EFD 题型二平面与平面垂直的判定与性质 例2 1 2017 济宁模拟 如图1 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD 平面ABCD为正方形 E为侧棱PD上一点 F为AB上一点 该四棱锥的正 主 视图和侧 左 视图如图2所示 求四面体PBFC的体积 证明 AE 平面PFC 证明 平面PFC 平面PCD 证明 PA 平面ABCD PA CD 平面ABCD为正方形 AD CD CD 平面PAD AE 平面PAD CD AE PA AD E为PD中点 AE PD CD PD D AE 平面PCD AE FQ FQ 平面PCD PQ 平面PFC 平面PFC 平面PCD 2 2017 云南名校联考 如图 AB为圆O的直径 点E F在圆O上 且AB EF 矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直 且AD EF AF 1 AB 2 求证 平面AFC 平面CBF 在线段CF上是否存在一点M 使得OM 平面DAF 并说明理由 解析 证明 平面ABCD 平面ABEF CB AB 平面ABCD 平面ABEF AB CB 平面ABEF AF 平面ABEF AF CB 又 AB为圆O的直径 AF BF CB BF B AF 平面CBF AF 平面AFC 平面AFC 平面CBF MNAO为平行四边形 OM AN 又AN 平面DAF OM 平面DAF OM 平面DAF 即存在一点M为CF的中点 使得OM 平面DAF 方法规律 面面垂直的性质应用技巧 1 两平面垂直 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 这是把面面垂直转化为线面垂直的依据 运用时要注意 平面内的直线 2 两个相交平面同时垂直于第三个平面 那么它们的交线也垂直于第三个平面 此性质在不是很复杂的题目中 要对此进行证明 跟踪训练2 2016 北京 如图 在四棱锥P ABCD中 PC 平面ABCD AB DC DC AC 1 求证 DC 平面PAC 2 求证 平面PAB 平面PAC 3 设点E为AB的中点 在棱PB上是否存在点F 使得PA 平面CEF 说明理由 解析 1 证明因为PC 平面ABCD 所以PC DC 又因为DC AC PC AC C 所以DC 平面PAC 2 证明因为AB DC DC AC 所以AB AC 因为PC 平面ABCD 所以PC AB 所以AB 平面PAC 所以平面PAB 平面PAC 3 棱PB上存在点F 使得PA 平面CEF 证明如下 取PB的中点F 连接EF CE CF 因为E为AB的中点 所以EF PA 又因为PA 平面CEF 所以PA 平面CEF 题型三线面角 二面角的求法 例3 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E是PC的中点 1 求PB和平面PAD所成的角的大小 2 证明 AE 平面PCD 3 求二面角A PD C的正弦值 解析 1 在四棱锥P ABCD中 因为PA 底面ABCD AB 平面ABCD 故PA AB 又AB AD PA AD A 从而AB 平面PAD 故PB在平面PAD内的射影为PA 从而 APB为PB和平面PAD所成的角 在Rt PAB中 AB PA 故 APB 45 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45 2 证明在四棱锥P ABCD中 因为PA 底面ABCD CD 平面ABCD 故CD PA 由条件CD AC PA AC A CD 平面PAC 又AE 平面PAC AE CD 由PA AB BC ABC 60 可得AC PA E是PC的中点 AE PC 又PC CD C 综上得AE 平面PCD 3 过点E作EM PD 垂足为M 连接AM 如图所示 由 2 知 AE 平面PCD AM在平面PCD内的射影是EM 则可证得AM PD 因此 AME是二面角A PD C的平面角 由已知 可得 CAD 30 设AC a 可得 方法规律 求线面角 二面角的常用方法 1 线面角的求法 找出斜线在平面上的射影 关键是作垂线 找垂足 要把线面角转化到一个三角形中求解 2 二面角的大小求法 二面角的大小用它的平面角来度量 平面角的作法常见的有 定义法 垂面法 注意利用等腰 等边三角形的性质 又因为FG 平面BED OE 平面BED 所以FG 平面BED 3 因为EF AB 所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所成的角 过点A作AH DE于点H 连接BH 又因为平面BED 平面AED ED 由 2 知AH 平面BED 所以直线AB与平面BED所成的角即为 ABH 所以CM 平面PAB 说明 取棱PD的中点N 则所找的点可以是直线MN上任意一点 6分 温馨提醒 1 线面平行 垂直关系的证明问题的指导思想是线线 线面 面面关系的相互转化 交替使用平行 垂直的判定定理和性质定理 2 线线关系是线面关系 面面关系的基础 证明过程中要注意利用平面几何中的结论 如证明平行时常用的中位线 平行线分线段成比例 证明垂直时常用的等腰三角形的中线等 3 证明过程一定要严谨 使用定理时要对照条件 步骤书写要规范 方法与技巧1 三类论证 1 证明线线垂直的方法 定义 两条直线所成的角为90 平面几何中证明线线垂直的方法 线面垂直的性质 a b a b 线面垂直的性质 a b a b 3 证明面面垂直的方法