示范教案（132奇偶性）

1 3 2 奇偶性奇偶性 整体设计整体设计 教学分析教学分析 本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的 教材沿用了处理函数单调性的方法 即先给 出几个特殊函数的图象 让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识 然后利用表格探究 数量变化特征 通过代数运算 验证发现的数量特征对定义域中的 任意 值都成立 最后 在这个基础上建立了奇 偶 函数的概念 因此教学时 充分利用信息技术创设教学情景 会使数与形的结合更加自然 值得注意的问题 对于奇函数 教材在给出的表格中留出大部分空格 旨在让学生自己动 手计算填写数据 仿照偶函数概念建立的过程 独立地去经历发现 猜想与证明的全过程 从而建立奇函数的概念 教学时 可以通过具体例子引导学生认识 并不是所有的函数都具 有奇偶性 如函数 y x 与 y 2x 1 既不是奇函数也不是偶函数 可以通过图象看出也可以用 定义去说明 三维目标三维目标 1 理解函数的奇偶性及其几何意义 培养学生观察 抽象的能力 以及从特殊到一般的概 括 归纳问题的能力 2 学会运用函数图象理解和研究函数的性质 掌握判断函数的奇偶性的方法 渗透数形结 合的数学思想 重点难点重点难点 教学重点 函数的奇偶性及其几何意义 教学难点 判断函数的奇偶性的方法与格式 课时安排课时安排 1 课时 教学过程教学过程 导入新课导入新课 思路思路 1 同学们 我们生活在美的世界中 有过许多对美的感受 请大家想一下有哪些美呢 学生回答可能有和谐美 自然美 对称美 今天 我们就来讨论对称美 请大家想 一下哪些事物给过你对称美的感觉呢 学生举例 再在屏幕上给出一组图片 喜字 蝴 蝶 建筑物 麦当劳的标志 生活中的美引入我们的数学领域中 它又是怎样的情况呢 下面 我们以麦当劳的标志为例 给它适当地建立直角坐标系 那么大家发现了什么特点 呢 学生发现 图象关于 y 轴对称 数学中对称的形式也很多 这节课我们就同学们谈 到的与 y 轴对称的函数展开研究 思路思路 2 结合轴对称与中心对称图形的定义 请同学们观察图形 说出函数 y x2和 y x3的 图象各有怎样的对称性 引出课题 函数的奇偶性 推进新课推进新课 新知探究新知探究 提出问题提出问题 如图 1 3 2 1 所示 观察下列函数的图象 总结各函数之间的共性 图 1 3 2 1 那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于 y 轴对称呢 填写表 1 和表 2 你发现 这两个函数的解析式具有什么共同特征 x 3 2 10123 f x x2 表表 1 x 3 2 10123 f x x 表表 2 请给出偶函数的定义 偶函数的图象有什么特征 函数 f x x2 x 1 2 是偶函数吗 偶函数的定义域有什么特征 观察函数 f x x 和 f x 的图象 类比偶函数的推导过程 给出奇函数的定义和性质 x 1 活动 活动 教师从以下几点引导学生 观察图象的对称性 学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后 教师指出 这样的函数称为偶函数 利用函数的解析式来描述 偶函数的性质 图象关于 y 轴对称 函数 f x x2 x 1 2 的图象关于 y 轴不对称 对定义域 1 2 内 x 2 f 2 不存在 即其函数的定义域中任意一个 x 的相反数 x 不一定也在定义域内 即 f x f x 不恒成立 偶函数的定义域中任意一个 x 的相反数 x 一定也在定义域内 此时称函数的定义域关于 原点对称 先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称 再列表格观察自变量互为相反数时 函 数值的变化情况 进而抽象出奇函数的概念 再讨论奇函数的性质 给出偶函数和奇函数的定义后 要指明 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数的整体性质 2 由函数的奇偶性定义 可知函数具有奇偶性的一个 必要条件是 对于定义域内的任意一个 x 则 x 也一定是定义域内的一个自变量 即定义 域关于原点对称 3 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称 奇 函数的图象关于原点对称 4 可以利用图象判断函数的奇偶性 这种方法称为图象法 也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性 这种方法称为定义法 5 函数的奇偶性 是函数在定义域上的性质是 整体 性质 而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质 是 局部 性质 讨论结果 这两个函数之间的图象都关于 y 轴对称 x 3 2 10123 f x x29410149 表表 1 x 3 2 10123 f x x 3210123 表表 2 这两个函数的解析式都满足 f 3 f 3 f 2 f 2 f 1 f 1 可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数 它们对应的函数值相等 也就是说对于函 数定义域内一个 x 都有 f x f x 一般地 对于函数 f x 的定义域内的任意一个 x 都有 f x f x 那么 f x 就叫做偶函数 偶函数的图象关于 y 轴对称 不是偶函数 偶函数的定义域关于原点轴对称 一般地 对于函数 f x 的定义域内的任意一个 x 都有 f x f x 那么 f x 就叫做奇函 数 奇函数的图象关于原点中心对称 其定义域关于原点轴对称 应用示例应用示例 思路思路 1 例例 1 判断下列函数的奇偶性 1 f x x4 2 f x x5 3 f x x x 1 4 f x 2 1 x 活动 活动 学生思考奇偶函数的定义 利用定义来判断其奇偶性 先求函数的定义域 并判断定 义域是否关于原点对称 如果定义域关于原点对称 那么再判断 f x f x 或 f x f x 解 解 1 函数的定义域是 R 对定义域内任意一个 x 都有 f x x 4 x4 f x 所以函数 f x x4是偶函数 2 函数的定义域是 R 对定义域内任意一个 x 都有 f x x 5 x5 f x 所以函数 f x x4是奇函数 3 函数的定义域是 0 0 对定义域内任意一个 x 都有 f x x x x 1 x 1 f x 所以函数 f x x 是奇函数 x 1 4 函数的定义域是 0 0 对定义域内任意一个 x 都有 f x f x 1 2 x 2 1 x 所以函数 f x 是偶函数 2 1 x 点评 点评 本题主要考查函数的奇偶性 函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围 对 定义域内任意 x 其相反数 x 也在函数的定义域内 此时称为定义域关于原点对称 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 首先确定函数的定义域 并判断其定义域是否关于原点对称 确定 f x 与 f x 的关系 作出相应结论 若 f x f x 或 f x f x 0 则 f x 是偶函数 若 f x f x 或 f x f x 0 则 f x 是奇函数 变式训练变式训练 2006 辽宁高考 理 2 设 f x 是 R 上的任意函数 则下列叙述正确的是 A f x f x 是奇函数 B f x f x 是奇函数 C f x f x 是偶函数 D f x f x 是偶函数 分析 A 中设 F x f x f x 则 F x f x f x F x 即函数 F x f x f x 为偶函数 B 中设 F x f x f x F x f x f x 此时 F x 与 F x 的关系不能确定 即函数 F x f x f x 的奇偶性不确定 C 中设 F x f x f x F x f x f x F x 即函数 F x f x f x 为奇函数 D 中设 F x f x f x F x f x f x F x 即函数 F x f x f x 为偶函数 答案 答案 D 例例 22006 上海春季高考 6 已知函数 f x 是定义在 上的偶函数 当 x 0 时 f x x x4 则当 x 0 时 f x 活动 活动 学生思考偶函数的解析式的性质 考虑如何将在区间 0 上的自变量对应的函数 值 转化为区间 0 上的自变量对应的函数值 利用偶函数的性质 f x f x 将在区间 0 上的自变量对应的函数值 转化为区间 0 上的自变量对应的函数值 分析 当 x 0 时 则 x0 时 f x x2 求 f x 3 x 解 解 当 x 0 时 f 0 f 0 则 f 0 0 当 x0 由于函数 f x 是奇函数 则 f x f x x 2 x2 3 x 3 x 综上所得 f x 0 0 0 0 32 32 xxx x xxx 思路思路 2 例例 1 判断下列函数的奇偶性 1 f x x2 x 1 2 2 f x 1 22 x xx 3 f x 4 2 x 2 4x 4 f x 11 11 2 2 xx xx 活动 活动 学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法 先判断函数的定义域是否关于原点 对称 再判断 f x 与 f x 的关系 在 4 中注意定义域的求法 对任意 x R 有 2 x1 x x 则 x 0 则函数的定义域是 R 2 x 2 x1 解 解 1 因为它的定义域关于原点不对称 函数 f x x2 x 1 2 既不是奇函数又不是偶 函数 2 因为它的定义域为 x x R 且 x 1 并不关于原点对称 函数 f x 既不是奇 1 22 x xx 函数又不是偶函数 3 x2 4 0 且 4 x2 0 x 2 即 f x 的定义域是 2 2 f 2 0 f 2 0 f 2 f 2 f 2 f 2 f x f x 且 f x f x f x 既是奇函数也是偶函数 4 函数的定义域是 R f x f x 11 11 11 11 2 2 2 2 xx xx xx xx 11 11 1 1 1 1 22 2222 xxxx xxxx 11 11 121121 22 2222 xxxx xxxxxx 0 f x f x f x 是奇函数 点评 点评 本题主要考查函数的奇偶性 定义法判断函数奇偶性的步骤是 1 求函数的定义域 当定义域关于原点不对称时 则此 函数既不是奇函数也不是偶函数 当定义域关于原点对称时 判断 f x 与 f x 或 f x 是否 相等 2 当 f x f x 时 此函数是偶函数 当 f x f x 时 此函数是奇函数 3 当 f x f x 且 f x f x 时 此函数既是奇函数又是偶函数 4 当 f x f x 且 f x f x 时 此函数既不是奇函数也不是偶函数 判断解析式复杂的函数的奇偶性时 如果定义域关于原点对称时 通常化简 f x f x 来判 断 f x f x 或 f x f x 是否成立 变式训练变式训练 2007 河南开封一模 文 10 函数 f x x2 2ax a 在区间 1 上有最小值 则函数 g x 在区间 1 上一定 x xf A 有最小值 B 有最大值 C 是减函数 D 是增函数 分析 分析 函数 f x x2 2ax a 的对称轴是直线 x a 由于函数 f x 在开区间 1 上有最小值 所以直线 x a 位于区间 1 内 即 a 1 g x x 2 x xf x a 下面用定义法判断函数 g x 在区间 1 上的单调性 设 1 x1 x2 则 g x1 g x2 x1 2 x2 2 x1 x2 1 x a 2 x a 1 x a 2 x a x1 x2 1 21x x a x1 x2 21 21 xx axx 1 x1 x2 x1 x21 0 又 aa x1x2 a 0 g x1 g x2 0 g x1 1 时 f x 0 f 2 1 1 求证 f x 是偶函数 2 求证 f x 在 0 上是增函数 3 试比较 f 与 f 的大小 2 5 4 7 活动 活动 1 转化为证明 f x f x 利用赋值法证明 f x f x 2 利用定义法证明单调 性 证明函数单调性的步骤是 去比赛 3 利用函数的单调性比较它们的大小 利用函 数的奇偶性 将函数值 f 和 f 转化为同一个单调区间上的函数值 2 5 4 7 解 解 1 令 x1 x2 1 得 f 1 2f 1 f 1 0 令 x1 x2 1 得 f 1 f 1 1 f 1 f 1 2f 1 0 f 1 0 f x f 1 x f 1 f x f x f x 是偶函数 2 设 x2 x1 0 则 f x2 f x1 f x1 f x1 f x1 f f x1 f 1 2 x x 1 2 x x 1 2 x x x2 x1 0 1 f 0 即 f x2 f x1 0 1 2 x x 1 2 x x f x2 f x1 f x 在 0 上是增函数 3 由 1 知 f x 是偶函数 则有 f f 2 5 2 5 由 2 知 f x 在 0 上是增函数 则 f f f f 2 5 4 7 2 5 4 7 点评 点评 本题是抽象函数问题 主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用 判断抽象函数 的奇偶性和单调性通常应用定义法 比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来 比较 其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值 变式训练变式训练 2007 广东中山高三期末统考 理 19 已知 f x 是定义在 上的不恒为零的函数 且对 定义域内的任意 x y f x 都满足 f xy yf x xf y 1 求 f 1 f 1 的值 2 判断 f x 的奇偶性 并说明理由 分析 分析 1 利用赋值法 令 x y 1 得 f 1 的值 令 x y 1 得 f 1 的值 2 利用定 义法证明 f x 是奇函数 要借助于赋值法得 f x f x 解 解 1 f x 对任意 x y 都有 f x y yf x xf y 令 x y 1 时 有 f 1 1 1 f 1 1 f 1 f 1 0 令 x y 1 时 有 f 1 1 1 f 1 1 f 1 f 1 0 2 是奇函数 f x 对任意 x y 都有 f x y yf x xf y 令 y 1 有 f x f x xf 1 将 f 1 0 代入得 f x f x 函数 f x 是 上的奇函数 知能训练知能训练 课本 P36练习 1 2 补充练习 1 2007 上海春季高考 5 设函数 y f x 是奇函数 若 f 2 f 1 3 f 1 f 2 3 则 f 1 f 2 分析 分析 函数 y f x 是奇函数 f 2 f 2 f 1 f 1 f 2 f 1 3 f 1 f 2 3 2 f 1 f 2 6 f 1 f 2 3 答案 答案 3 2 f x ax2 bx 3a b 是偶函数 定义域为 a 1 2a 则 a b 分析 分析 偶函数定义域关于原点对称 a 1 2a 0 a 3 1 f x x2 bx 1 b 又 f x 是偶函数 b 0 3 1 答案 答案 0 3 1 3 2006 山东高考 理 6 已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足 f x 2 f x 则 f 6 的值为 A 1 B 0 C 1 D 2 分析 f 6 f 4 2 f 4 f 2 2 f 2 f 2 0 f 0 又 f x 是定义在 R 上的奇函数 f 0 0 f 6 0 故选 B 答案 答案 B 拓展提升拓展提升 问题 基本初等函数的奇偶性 探究 利用判断函数的奇偶性的方法 定义法和图象法 可得 正比例函数 y kx k 0 是奇函数 反比例函数 y k 0 是奇函数 x k 一次函数 y kx b k 0 当 b 0 时是奇函数 当 b 0 时既不是奇函数也不是偶函数 二次函数 y ax2 bx c a 0 当 b 0 时是偶函数 当 b 0 时既不是奇函数也不是偶函数 课堂小结课堂小结 本节主要学习了函数的奇偶性 判断函数的奇偶性通常有两种方法 即定义法和图象法 用定义法判断函数的奇偶性时 必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称 作业作业 课本 P39习题 1 3A 组 6 B 组 3 设计感想设计感想 单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点 而本节设计的题目不多 因此 在实际教 学中 教师可以利用课余时间补充 让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这 两个性质 在教学设计中 注意培养学生的综合应用能力 以便满足高考要求 习题详解习题详解 课本 P32页练习 1 从生产效率与生产线上工人数量的关系看 在生产劳动力较少的情况下 随人数的增加 效率随着增大 但是到了一定数量后 人数再增多效率反而降低了 这说明劳动力可能过剩 出现了怠工等现象 2 图象如图 1 3 2 2 所示 图 1 3 2 2 函数的单调增区间为 8 12 13 18 函数的单调减区间为 12 13 18 20 3 函数的单调区间是 1 0 0 2 2 4 4 5 在区间 1 0 2 4 上是减函数 在区间 0 2 4 5 上是增函数 4 证明 设 x1 x2 R 且 x1 x2 则 f x1 f x2 2x1 1 2x2 1 2 x2 x1 x10 f x1 f x2 函数 f x 2x 1 在 R 上是减函数 5 如图 1 3 2 3 所示 图 1 3 2 3 从图象上可以发现 f 2 是函数的一个最小值 课本 P36练习 1 1 对于函数 f x 2x4 3x2 其定义域为 因为对定义域内的每一个 x 都有 f x 2 x 4 3 x 2 2x4 3x2 f x 所以函数 f x 2x4 3x2为偶函数 2 对于函数 f x x3 2x 其定义域为 因为对定义域内的每一个 x 都有 f x x 3 2 x x3 2x x3 2x f x 所以函数 f x x3 2x 为奇函数 3 对于函数 f x 其定义域为 0 0 x x1 2 因为对定义域内的每一个 x 都有 f x f x x x 1 2 x x1 2 所以函数 f x 为奇函数 x x1 2 4 对于函数 f x x2 1 其定义域为 因为对定义域内的每一个 x 都有 f x x 2 1 x2 1 f x 所以函数 f x x2 1 为偶函数 2 f x 的图象如图 1 3 2 4 所示 g x 的图象如图 1 3 2 5 所示 图 1 3 2 4 图 1 3 2 5 课本 P39习题 1 3 A 组组 1 1 函数的单调区间是 函数 y f x 在区间 上是减函数 在区间 2 5 2 5 2 5 上是增函数 2 5 2 函数的单调区间是 0 0 函数 y f x 在区间 0 上是减函数 在区间 0 上是增函数 图略 2 1 设 0 x1 x2 则有 f x1 f x2 x12 1 x22 1 x12 x22 x1 x2 x1 x2 0 x1 x2 x1 x2 0 x1 x2f x2 函数 f x 在 0 上是减函数 2 设 0 x1 x2 则有 f x1 f x2 1 1 1 1 x 2 1 x 2 1 x 1 1 x 21 21 xx xx 0 x1 x2 x1 x20 f x1 f x2 函数 f x 在 0 上是增函数 3 设 x1 x2是 上任意两个实数 且 x1 x2 则 y1 y2 mx1 b mx2 b m x1 x2 x1 x2 x1 x2 0 当 m 0 时 y1 y2 0 即 y1 y2 此时一次函数 y mx b m 0 在 上是减函数 同理可证一次函数 y mx b m 0 在 上是增函数 综上所得 当 m 0 时 一次函数 y mx b 是减函数 当 m 0 时 一次函数 y mx b 是增函数 4 心率关于时间的一个可能的图象 如图 1 3 2 6 所示 图 1 3 2 6 5 y 162x 2100 x2 8100 x 2100 x 4050 2 307 050 50 2 x 50 1 50 1 由二次函数的知识 可得当月租金为 4 050 元时 租赁公司的月收入最大 最大收益为 307 050 元 6 图略 函数 f x 的解析式为 0 1 0 1 xxx xxx B 组组 1 1 函数 f x 在 1 上为减函数 在 1 上为增函数 函数 g x 在 2 4 上为增函 数 2 函数 f x 的最小值为 1 函数 g x 的最小值为 0 2 设矩形熊猫居室的宽为 x m 面积为 y m2 则长为m 那么 y x 2 330 x 2 330 x 30 x 3x2 x 5 2 2 1 2 3 2 75 所以当 x 5 时 y 有最大值 2 75 即宽 x 为 5 m 时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大 最大面积是m2 2 75 3 函数 f x 在 0 上是增函数 证明 设 x1 x2 x2 0 函数 f x 在 0 上是减函数 f x1 f x2 函数 f x 是偶函数 f x f x f x1 1 P x x2 6x 9 0 则下列关系中正确的 是 A M P B PM C MP D M P R 分析 分析 P 3 3 1 3 M PM 答案 答案 B 2 2007 河南周口高三期末调研 理 6 定义集合 A 与 B 的运算 A B x x A 或 x B 且 xA B 则 A B A 等于 A A B B A B C A D B 分析 分析 设 A 1 2 3 4 B 1 2 5 6 7 则 A B 3 4 5 6 7 于是 A B A 1 2 5 6 7 B 答案 答案 D 点评 解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质 本题 A B 的本质就是集 合 A 与 B 的并集中除去它们公共元素组成的集合 例例 2 求函数 y x2 1 的最小值 分析 分析 思路一 利用实数运算的性质 x2 0 结合不等式的性质得函数的最小值 思路二 直接利用二次函数的最值公式 写出此函数的最小值 解 方法一 观察法 函数 y x2 1 的定义域是 R 观察到 x2 0 x2 1 1 函数 y x2 1 的最小值是 1 方法二 公式法 函数 y x2 1 是二次函数 其定义域是 x R 则函数 y x2 1 的最小值 是 f 0 1 点评 求函数最值的方法 观察法 当函数的解析式中仅含有 x2或 x 或时 通常利用常见的结论x x2 0 x 0 0 等 直接观察写出函数的最值 x 公式法 求基本初等函数 正 反比例函数 一次 二次函数 的最值时 应用基本初等 函数的最值结论 看成最值公式 直接写出其最值 例例 3 求函数 y 的最大值和最小值 4 3 2 x x 分析 分析 把变量 y 看成常数 则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于 x 的方程 利用 判别式的符号得关于 y 的不等式 解不等式得 y 的取值范围 从而得函数的最值 解 判别式法 由 y 得 yx2 3x 4y 0 4 3 2 x x x R 关于 x 的方程 yx2 3x 4y 0 必有实数根 当 y 0 时 则 x 0 故 y 0 是一个函数值 当 y 0 时 则关于 x 的方程 yx2 3x 4y 0 是一元二次方程 则有 3 2 4 4y2 0 0 y2 y 0 或 0 y 16 9 4 3 4 3 综上所得 y 4 3 4 3 函数 y 的最小值是 最大值是 4 3 2 x x 4 3 4 3 点评 形如函数 y d 0 当函数的定义域是 R 此时 e2 4df 0 时 常用判 fcxdx cbxax 2 2 别式法求最值 其步骤是 把 y 看成常数 将函数解析式整理为关于 x 的方程的形式 mx2 nx k 0 分类讨论 m 0 是否符合题意 当 m 0 时 关于 x 的方程 mx2 nx k 0 中有 x R 则此一元二次方程必有实数根 得 n2 4mk 0 即关于 y 的不等式 解不等式组 此不等式组的解集与 中 y 的值取并集得函数的值域 从而得函数的最大 0 04 2 m mkn 值和最小值 例例 42007 河南开封一模 文 10 函数 f x x2 2ax a 在区间 1 上有最小值 则函数 g x 在区间 1 上一定 x xf A 有最小值 B 有最大值 C 是减函数 D 是增函数 分析 分析 函数 f x x2 2ax a 的对称轴是直线 x a 由于函数 f x 在开区间 1 上有最小 值 所以直线 x a 位于区间 1 内 即 a 1 g x 下面用定义法 x xf 2 x a x 判断函数 g x 在区间 1 上的单调性 设 1 x1 x2 则 g x1 g x2 x1 2 x2 2 1 x a 2 x a x1 x2 x1 x2 1 x1 x2 1 x a 2 x a 21x x a 21 21 xx axx 1 x1 x2 x1 x21 0 又 aa x1x2 a 0 g x1 g x2 0 g x1 2p 1 解得 p 2 当 B 时 则有解得 2 p 3 5 12 21 121 p p pp 综上所得实数 p 的取值范围是 p 2 或 2 p 3 即 3 点评 本题是已知集合运算的结果 求参数的值 解决此类问题的关键是依据集合运算的 含义 观察明确各集合中的元素 要注意集合元素的互异性在解决含参数集合问题中的作 用 空集是一个特殊的集合 是任何集合的子集 求解有关集合间的关系问题时一定要首 先考虑空集 要重视常见结论 A B BA B ABA 的应用 此时通常要分类讨论解决集合问题 分类讨论时要考虑全面 做到不重不漏 例例 2 求函数 y x 2 x 2 的最小值 分析 分析 思路一 画出函数的图象 利用函数最小值的几何意义 写出函数的最小值 思路二 利用绝对值的几何意义 转化为数轴上的几何问题 数轴上到 2 两点的距离和的 最小值 解 方法一 图象法 y x 2 x 2 4 2x 4 x 2 2 x0 求证 f x 在 1 1 上是减函数 分析 分析 1 定义法证明 利用赋值法获得 f 0 的值进而取 x y 是解题关键 2 定义法 证明 其中判定的范围是关键 21 12 1xx xx 解 1 函数 f x 的定义域是 1 1 由 f x f y f 令 x y 0 得 f 0 f 0 f f 0 0 xy yx 101 00 令 y x 得 f x f x f f 0 0 2 1x xx f x f x f x 为奇函数 2 先证 f x 在 0 1 上单调递减 令 0 x1 x2 1 则 f x1 f x2 f x1 f x2 f f 21 21 1xx xx 21 12 1xx xx 0 x1 x20 1 x1x2 0 0 21 12 1xx xx 又 x2 x1 1 x1x2 x2 1 x1 1 0 0 x2 x1 1 x1x2 1 0 由题意知 f 0 21 12 1xx xx 21 12 1xx xx f x1 f x2 f x 在 0 1 上为减函数 又 f x 为奇函数 f x 在 1 1 上也是减函数 点评 对于抽象函数的单调性和奇偶性问题时 必用单调性和奇偶性的定义来解决 即定 义法是解决抽象函数单调性和奇偶性问题的通法 判断抽象函数的奇偶性与单调性时 在 依托定义的基础上 用好赋值法 注意赋值的科学性 合理性 知能训练知能训练 1 2006 陕西高考 文 1 已知集合 P x N 1 x 10 集合 Q x R x2 x 6 0 则 P Q 等于 A 1 2 3 B 2 3 C 1 2 D 2 分析 分析 明确集合 P Q 的运算 依据交集的定义求 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q 3 2 则 P Q 2 答案 答案 D 点评 解决本题关键是集合 P 是大于等于 1 且小于等于 10 的自然数组成的集合 集合 Q 是方程 x2 x 6 0 的解集 将这两个集合化简后再运算 2 2006 安徽高考 文 1 设全集 U 1 2 3 4 5 6 7 8 集合 S 1 3 5 T 3 6 则 S T 等于 A B 2 4 7 8 C 1 3 5 6 D 2 4 6 8 分析 分析 直接观察 或画出 Venn 图 得 S T 1 3 5 6 则 S T 2 4 7 8 答案 答案 B 点评 求解用列举法表示的数集运算时 首先看清集合元素的特征 理解并确定集合中的 元素 最后通过观察或借助于数轴 Venn 图写出运算结果 3 已知二次函数 f x 满足条件 f 0 1 和 f x 1 f x 2x 1 求 f x 2 求 f x 在区间 1 1 上的最大值和最小值 分析 分析 1 由于已知 f x 是二次函数 用待定系数法求 f x 2 结合二次函数的 图象 写出最值 解 1 设 f x ax2 bx c 由 f 0 1 可知 c 1 而 f x 1 f x a x 1 2 b x 1 c ax2 bx c 2ax a b 由 f x 1 f x 2x 可得 2a 2 a b 0 因而 a 1 b 1 故 f x x2 x 1 2 f x x2 x 1 x 2 2 1 4 3 当 x 1 1 时 f x 的最小值是 f f x 的最大值是 f 1 3 2 1 4 3 拓展提升拓展提升 问题 某人定制了一批地砖 每块地砖 如图 14 所示 是边长为 0 4 米的正方形 ABCD 点 E F 分别在边 BC 和 CD 上 CFE ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成 制成 CFE ABE 和四边形 AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为 3 2 1 若将此种地 砖按图 15 所示的形式铺设 能使中间的深色阴影部分成四边形 EFGH 1 求证 四边形 EFGH 是正方形 2 E F 在什么位置时 定制这批地砖所需的材料费用最省 图 1 4 图 1 5 思路分析 思路分析 1 由于四块地砖拼出了四边形 EFGH 只需证明 CFE CFG CGH CEH 为等腰直角三角形即可 2 建立数学模型 转化为数学问题 设 CE x 每块地砖的费用为 W 求出函数 W f x 的解析式 转化为讨论求函数的最小值问题 解 1 图 1 5 可以看成是由四块如图 1 4 所示地砖绕点 C 按顺时针旋转 90 后得到 则有 CE CF ECF 90 CFE 为等腰直角三角形 同理可得 CFG CGH CEH 为等腰直角三角形 四边形 EFGH 是正方形 2 设 CE x 则 BE 0 4 x 每块地砖的费用为 W 设制成 CFE ABE 和四边形 AEFD 三种材料的每平方米价格依次为 3a 2a a 元 W x2 3a 0 4 0 4 x 2a 0 16 x2 0 4 0 4 x a 2 1 2 1 2 1 2 1 a x2 0 2x 0 24 a x 0 1 2 0 23 0 x0 则当 x 0 1 时 W 有最小值 即总费用为最省 即当 CE CF 0 1 米时 总费用最省 课堂小结课堂小结 本节课学习了 总结了第一章的基本知识并形成知识网络 归纳了常见的解题方法 作业作业 复习参考题任选两题 设计感想设计感想 本节在设计过程中 注重了两点 一是体现学生的主体地位 注重引导学生思考 让学生 学会学习 二是为了满足高考的要求 对课本内容适当拓展 例如关于函数值域的求法 课本中没有专题学习 本节课对此进行了归纳和总结 备课资料备课资料 知识点总结 函数概念及性质 1 函数的概念 设 A B 是非空的数集 如果按照某个确定的对应关系 f 使对于集合 A 中 的任意一个数 x 在集合 B 中都有唯一确定的数 f x 和它对应 那么就称 f A B 为从集 合 A 到集合 B 的一个函数 记作 y f x x A 其中 x 叫做自变量 x 的取值范围 A 叫做 函数的定义域 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值 函数值的集合 f x x A 叫做函数的 值域 如果只给出解析式 y f x 而没有指明它的定义域 则函数的定义域即是指能使这个式子 有意义的实数的集合 函数的定义域 值域要写成集合或区间的形式 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域 求函数的定义域时列不等式组的主 要依据是 分式的分母不等于零 偶次方根的被开方数不小于零 对数式的真数必须大于 零 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 那么它的定义域是使各部分都 有意义的 x 的值组成的集合 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 求出不 等式组的解集即为函数的定义域 2 构成函数的三要素 定义域 对应关系和值域 构成函数的三个要素是定义域 对应关系和值域 由于值域是由定义域和对应关系决定的 所以 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致 即称这两个函数相等 或为同一函数 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致 而与表示自变量和函数值的字 母无关 相同函数的判断方法 表达式相同 定义域一致 两点必须同时具备 函数的值域取决于定义域和对应法则 不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义 域 应熟悉掌握一次函数 二次函数 它是求解复杂函数值域的基础 求函数值域的常用 方法有 直接法 换元法 配方法 判别式法 单调性法等 3 函数图象知识归纳 定义 在平面直角坐标系中 以函数 y f x x A 中的 x 为横坐标 函数值 y 为纵坐标的 点 P x y 的集合 C 叫做函数 y f x x A 的图象 C 上每一点的坐标 x y 均满足函数关 系 y f x 反过来 以满足 y f x 的每一组有序实数对 x y 为坐标的点 x y 均在 C 上 即记为 C P x y y f x x A 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线 或直线 也可能是 由与任意平行于 y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成 画法 描点法 根据函数解析式和定义域 求出 x y 的一些对应值并列表 以 x y 为坐 标在坐标系内描出相应的点 P x y 最后用平滑的曲线将这些点连结起来 图象变换法 常用变换方法有三种 即平移变换 伸缩变换和对称变换 作用 直观地看出函数的性质 利用数形结合的方法分析解题的思路 提高解题的速度 发现解题中的错误 4 区间的概念 区间的分类 开区间 闭区间 半开半闭区间 无穷区间 区间的数轴表示 5 映射 一般地 设 A B 是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应法则 f 使对于集合 A 中 的任意一个元素 x 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应 那么就称对应 f A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 记作 f A B 给定一个集合 A 到 B 的映射 如果 a A b B 且元素 a 和元素 b 对应 那么 我们把元素 b 叫做元素 a 的象 元素 a 叫做元 素 b 的原象 说明 函数是一种特殊的映射 映射是一种特殊的对应 集合 A B 及对应法则 f 是确 定的 对应法则有 方向性 即强调从集合 A 到集合 B 的对应 它与从 B 到 A 的对应 关系一般是不同的 对于映射 f A B 来说 则应满足 1 集合 A 中的每一个元素 在集合 B 中都有象 并且象是唯一的 2 集合 A 中不同的元素 在集合 B 中对应的象可 以是同一个 3 不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象 6 函数的表示法 函数图象既可以是连续的曲线 也可以是直线 折线 离散的点等等 注意判断一个图形 是否是函数图象的依据 解析法 必须注明函数的定义域 图象法 描点法作图要注意 确定函数的定义域 化简函数的解析式 观察函数的特征 列表法 选取的自变量要有代 表性 应能反映定义域的特征 解析法便于算出函数值 列表法便于查出函数值 图象法便 于量出函数值 分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数 在不同的范围里求函数值 时必须把自变量代入相应的表达式 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程 而应写成 函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来 并分别注明各部分的自变量的取值情 况 分段函数是一个函数 不要把它误认为是几个函数 分段函数的定义域是各段定义域的 并集 值域是各段值域的并集 复合函数 如果 y f u u M u g x x A 则 y f g x F x x A 称