【优化方案】浙江省高三数学专题复习攻略 第一部分专题四第三讲 空间向量与立体几何专题针对训练 理 新人教版

用心 爱心 专心1 优化方案优化方案 高三专题复习攻略 新课标 数学浙江理科第一高三专题复习攻略 新课标 数学浙江理科第一 部分专题四第一讲部分专题四第一讲 空间几何体专题针对训练空间几何体专题针对训练 一 选择题 1 若不同直线l1 l2的方向向量分别为 v v 则下列直线l1 l2中既不平行也不垂 直的是 A 1 2 1 v v 0 2 4 B 3 0 1 v v 0 0 2 C 0 2 3 v v 0 2 3 D 1 6 0 v v 0 0 4 解析 选 B A 项中 v v 0 4 4 0 l1 l2 C 项中 v v v v共线 故l1 l2 D 项中 v v 0 0 0 0 l1 l2 故选 B 2 设A B C D是空间不共面的四个点 且满 足 0 0 0 则 BCD的形状是 AB AC AD AC AD AB A 钝角三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 无法确定 解析 选 C BC BD AC AB AD AB 2 2 0 AC AD AC AB AB AD AB AB 同理 0 0 DB DC CB CD BCD是锐角三角形 故选 C 3 如图所示 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AA1 1 则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为 A B 2 2 3 2 3 C D 2 4 1 3 解析 选 D 如图所示 连接A1C1 AA1 平面A1B1C1D1 AC1A1就是直线AC1与平面A1B1C1D1所成角的平面角 而AC1 3 22 22 1 sin AC1A1 AA1 AC1 1 3 4 2011 年高考辽宁卷 如图 四棱锥S ABCD的底面为正方形 SD 底面ABCD 则下列结论中不正确的是 A AC SB B AB 平面SCD C SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 解析 选 D 易证AC 平面SBD 因而AC SB A 正确 AB DC DC 平面SCD 故 AB 平面SCD B 正确 由于SA SC与平面SBD的相对位置一样 因而所成的角相同 5 菱形ABCD中 对角线AC BD交于点O AB 2 BCD 60 现将其沿对角线BD折成直二面角A BD C 如图 则异面直线AB与CD 所成角的余弦值为 用心 爱心 专心2 A B 15 5 10 5 C D 1 4 3 4 解析 选 C AB CD AO OB CO OD 0 0 0 1 1 而 2 AB CD cos AB CD 1 4 1 4 故异面直线AB与CD所成角的余弦值为 故选 C 1 4 二 填空题 6 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 点E F分别是底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心 若 0 则 EF A1D 解析 连接A1D C1D A1C1 则EF綊A1D 故 即 1 2 EF 1 2A1D 1 2 答案 1 2 7 如图所示 已知直三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都相等 D 是A1C1的中点 则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为 解析 不妨设三棱柱ABC A1B1C1的棱长为 2 建立如图所示空间 直角坐标系 则C 0 0 0 A 1 0 B1 1 2 33 D 3 2 1 2 2 则 1 2 CD 3 2 1 2 2 CB1 3 设平面B1DC的法向量为n n x y 1 由Error 解得n n 1 1 3 又 DA 3 2 1 2 2 sin cos n n DA 4 5 答案 4 5 8 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 点P在线段BD1上 当 APC最大时 三棱 锥P ABC的体积为 解析 如图 以B为坐标原点 BA为x轴 BC为y轴 BB1为z 轴建立空间直角坐标系 设 1 0 1 可得P BP BD 再由 cos APC 可求得当 时 APC最大 PA PC PA PC 1 3 故VP ABC 1 1 故填 1 3 1 2 1 3 1 18 1 18 用心 爱心 专心3 答案 1 18 三 解答题 9 如图 AC是圆O的直径 点B在圆O上 BAC 30 BM AC交AC于点M EA 平面ABC FC EA AC 4 EA 3 FC 1 1 证明 EM BF 2 求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值 解 1 证明 因为AC是圆O的直径 所以 ABC 90 又 BAC 30 AC 4 所以AB 2 而BM AC 易得AM 3 BM 33 如图 以A为坐标原点 垂直于AC的直线 AC AE所在的直线 为x y z轴建立空间直角坐标系 由已知条件得A 0 0 0 M 0 3 0 E 0 0 3 B 3 0 F 0 4 1 3 0 3 3 1 1 ME BF 3 由 0 3 3 1 1 0 ME BF 3 得 EM BF ME BF 2 由 1 知 3 3 1 1 BE 3 BF 3 设平面BEF的法向量为n n x y z 由n n 0 n n 0 得Error BE BF 令x 得y 1 z 2 n n 1 2 33 由已知EA 平面ABC 所以平面ABC的一个法向量为 0 0 3 AE 设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为 则 cos cos n n AE 3 0 1 0 2 3 3 2 2 2 2 故平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为 2 2 10 已知四棱锥P ABCD 底面ABCD为矩形 侧棱PA 底面 ABCD 其中BC 2AB 2PA 6 M N为侧棱PC上的两个三等分点 如图所示 1 求证 AN 平面MBD 2 求异面直线AN与PD所成角的余弦值 3 求二面角M BD C的余弦值 解 1 证明 连结AC交BD于点O 连结OM 底面ABCD为矩形 O为AC的中点 M N为侧棱PC的三等分点 CM MN OM AN OM 平面MBD AN 平面MBD AN 平面MBD 2 如图所示 以A点为原点 建立空间直角坐标系A xyz 则A 0 0 0 B 3 0 0 C 3 6 0 D 0 6 0 P 0 0 3 M 2 4 1 N 1 2 2 1 2 2 0 6 3 AN PD 用心 爱心 专心4 cos AN PD AN PD AN PD 0 12 6 3 3 5 2 5 15 异面直线AN与PD所成角的余弦值为 2 5 15 3 侧棱PA 底面ABCD 平面BCD的一个法向量为 0 0 3 AP 设平面MBD的法向量为m m x y z 3 6 0 1 4 1 BD BM 并且m m m m BD BM Error 令y 1 得x 2 z 2 平面MBD的一个法向量为m m 2 1 2 cos m m AP AP m m AP m m 2 3 由图可知二面角M BD C是锐角 二面角M BD C的余弦值为 2 3 11 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E是棱DD1的中点 1 求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值 2 在棱C1D1上是否存在一点F 使B1F 平面A1BE 证明你的结 论 解 设正方体的棱长为 1 如图所示 以 为单位正交 AB AD AA1 基底建立空间直角坐标系 1 依题意 得B 1 0 0 E 0 1 A 0 0 0 D 0 1 0 所以 1 1 1 2 BE 1 2 0 1 0 AD 在正方体ABCD A1B1C1D1中 因为AD 平面ABB1A1 所以是平面ABB1A1的一个法向 AD 量 设直线BE和平面ABB1A1所成的角为 则 sin BE AD BE AD 1 3 2 1 2 3 即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为 2 3 2 在棱C1D1上存在点F 使B1F 平面A1BE 证明如下 依题意 得A1 0 0 1 1 0 1 1 1 BA1 BE 1 2 设n n x y z 是平面A1BE的一个法向量 则由n n 0 n n 0 BA1 BE 得Error 所以Error 取z 2 得n n 2 1 2 用