立体几何知识点总结完整版

师大教育 助你成功 立体几何知识点总结完整版立体几何知识点总结完整版 2013 考纲解读考纲解读 1 平面的概念及平面的表示法 理解三个公理及三个推论的内容及作用 初步掌握 性质与推论的简单应用 2 空间两条直线的三种位置关系 并会判定 3 平行公理 等角定理及其推论 了解它们的作用 会用它们来证明简单的几何问题 掌握证明空间两直线平行及角相等的方法 4 异面直线所成角的定义 异面直线垂直的概念 会用图形来表示两条异面直线 掌 握异面直线所成角的范围 会求异面直线的所成角 5 理解空间向量的概念 掌握空间向量的加法 减法和数乘 了解空间向量的基本定理 理解空间向量坐标的概念 掌握空间向量的坐标运算 掌握空间向量的数量积的定义及其性 质 掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式 6 了解多面体 凸多面体 正多面体 棱柱 棱锥 球的概念 掌握棱柱 棱锥的性质 并 会灵活应用 掌握球的表面积 体积公式 能画出简单空间图形的三视图 能识别上述的三视 图所表示的立体模型 会用斜二测法画出它们的直观图 7 空间平行与垂直关系的论证 8 掌握直线与平面所成角 二面角的计算方法 掌握三垂线定理及其逆定理 并能熟 练解决有关问题 进一步掌握异面直线所成角的求解方法 熟练解决有关问题 9 理解点到平面 直线和直线 直线和平面 平面和平面距离的概念会用求距离的常 用方法 如 直接法 转化法 向量法 对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段 或用向量表示的情况 和距离公式计算距离 知识络构建知识络构建 师大教育 助你成功 重点知识整合重点知识整合 1 空间几何体的三视图 1 正视图 光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图 2 侧视图 光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图 3 俯视图 光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图 几何体的正视图 侧视图和俯视图统称为几何体的三视图 2 斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤 1 建立直角坐标系 在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 Ox Oy 建立直角 坐标系 2 画出斜坐标系 在画直观图的纸上 平面上 画出对应的 Ox Oy 使 x Oy 45 或 135 它们确定的平面表示水平平面 3 画对应图形 在已知图形中平行于 x 轴的线段 在直观图中画成平行于 x 轴 且长 度保持不变 在已知图形中平行于 y 轴的线段 在直观图中画成平行于 y 轴 且长度变为 原来的一半 4 擦去辅助线 图画好后 要擦去 x 轴 y 轴及为画图添加的辅助线 虚线 3 体积与表面积公式 1 柱体的体积公式 V 柱 Sh 锥体的体积公式 V 锥 1 3 Sh 台体的体积公式 V 棱台 1 3 h SSSS 球的体积公式 V 球 3 4 3 r 2 球的表面积公式 2 4SR 球 高频考点突破高频考点突破 师大教育 助你成功 考点一考点一 空间几何体与三视图空间几何体与三视图 1 一个物体的三视图的排列规则是 俯视图放在正视图的 下面 长度与正视图的长度一样 侧视图放在正视图的右面 高度与正视图的高度一 样 宽度与俯视图的宽度一样 即 长对正 高平齐 宽相等 2 画直观图时 与坐标轴平行的线段仍平行 与 x 轴 z 轴 平行的线段长度不变 与 y 轴平行的线段长度减半 例 1 将长方体截去一个四棱锥 得到的几何体如图所示 则该几何体的侧视图为 解析 如图所示 点 D1的投影为点 C1 点 D 的投影为点 C 点 A 的投影为点 B 答案 D 方法技巧 该类问题主要有两种类型 一是由几何体确定三视图 二是由三视图还 原成几何体 解决该类问题的关键是找准投影面及三个视图之间的关系 抓住 正侧一样高 正俯一样长 俯侧一样宽 的特点作出判断 考点二考点二 空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积 常见的一些简单几何体的表面积和体积公式 圆柱的表面积公式 S 2 r2 2 rl 2 r r l 其中 r 为底面半径 l 为圆柱的高 圆锥的表面积公式 S r2 rl r r l 其中 r 为底面半径 l 为母线长 圆台的表面积公式 S r 2 r2 r l rl 其中 r 和 r 分别为圆台的上 下底面半径 l 为母线长 师大教育 助你成功 柱体的体积公式 V Sh S 为底面面积 h 为高 锥体的体积公式 V Sh S 为底面面积 h 为高 1 3 台体的体积公式 V S S h S S 分别为上 下底面面积 h 为高 1 3S S 球的表面积和体积公式 S 4 R2 V R3 R 为球的半径 4 3 例 2 如图所示 某几何体的正视图是平行四边形 侧视图和俯视图都是矩形 则该 几何体的体积为 A 6 B 9 33 C 12 D 18 33 解析 由三视图可还原几何体的直观图如图所示 此几何体可通过分割和补形的方法 拼凑成一个长和宽均为 3 高为的长方体 所求体积 V 3 3 9 333 答案 B 方法技巧 1 求三棱锥体积时 可多角度地选择方法 如体积分割 体积差 等积转化法是常用 的方法 2 与三视图相结合考查面积或体积的计算时 解决时先还原几何体 计算时要结合平 面图形 不要弄错相关数量 师大教育 助你成功 3 求不规则几何体的体积常用分割或补形的思想将不规则几何体转化为规则几何体以 易于求解 4 对于组合体的表面积要注意其衔接部分的处理 考点三考点三 球与空间几何体的球与空间几何体的 切切 接接 问题问题 1 长方体 正方体的外接球其体对角线长为该球的直径 2 正方体的内切球其棱长为球的直径 3 正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点 球心及底面正三角形中心共线 4 正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3 1 例 3 一个棱锥的三视图如图 则该棱锥的外接球的表面积为 方法技巧 1 涉及球与棱柱 棱锥的切 接问题时 一般过球心及多面体中的特殊点或 线作截面 把空间问题化归为平面问题 2 若球面上四点 P A B C 构成的线段 PA PB PC 两两垂直 且 PA a PB b PC c 则 4R2 a2 b2 c2 R 为球半径 可采用 补形 法 构造长方体 或正方体的外接球去处理 师大教育 助你成功 考点四考点四 空间线线 线面位置关系空间线线 线面位置关系 1 线面平行的判定定理 a b a b a 2 线面平行的性质定理 a a b a b 3 线面垂直的判定定理 m n m n P l m l n l 4 线面垂直的性质定理 a b a b 例 4 如图 在四面体 PABC 中 PC AB PA BC 点 D E F G 分别是 棱 AP AC BC PB 的中点 1 求证 DE 平面 BCP 2 求证 四边形 DEFG 为矩形 3 是否存在点 Q 到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等 说明理由 解 1 证明 因为 D E 分别为 AP AC 的中点 所以 DE PC 又因为 DE 平面 BCP 所以 DE 平面 BCP 2 证明 因为 D E F G 分别为 AP AC BC PB 的中点 所以 DE PC FG DG AB EF 所以四边形 DEFG 为平行四边形 又因为 PC AB 所以 DE DG 所以四边形 DEFG 为矩形 3 存在点 Q 满足条件 理由如下 连接 DF EG 设 Q 为 EG 的中点 师大教育 助你成功 由 2 知 DF EG Q 且 QD QE QF QG EG 1 2 分别取 PC AB 的中点 M N 连接 ME EN NG MG MN 与 2 同理 可证四边形 MENG 为矩形 其对角线交点为 EG 的中点 Q 且 QM QN EG 1 2 所以 Q 为满足条件的点 方法技巧 1 证明线线平行常用的两种方法 1 构造平行四边形 2 构造三角形的中位线 2 证明线面平行常用的两种方法 1 转化为线线平行 2 转化为面面平行 3 证明直线与平面垂直往往转化为证明直线与直线垂直 而证明直线与直线垂直又 需要转化为证明直线与平面垂直 考点五考点五 空间面面位置关系空间面面位置关系 1 面面垂直的判定定理 a a 2 面面垂直的性质定理 l a a l a 3 面面平行的判定定理 a b a b A a b 4 面面平行的性质定理 a b a b 5 面面平行的证明还有其它方法 Error 2 a a 例 5 如图 在四棱锥 P ABCD 中 平面 PAD 平面 ABCD AB AD BAD 60 E F 分别是 AP AD 的中点 求证 师大教育 助你成功 1 直线 EF 平面 PCD 2 平面 BEF 平面 PAD 证明 1 如图 在 PAD 中 因为 E F 分别为 AP AD 的中点 方法技巧 1 垂直问题的转化方向 面面垂直 线面垂直 线线垂直 主要依据有关定义及判定定理和性质定理证明 具 师大教育 助你成功 体如下 1 证明线线垂直 线线垂直的定义 线面垂直的定义 勾股定理等平面几何中 的有关定理 2 证明线面垂直 线面垂直的判定定理 线面垂直的性质定理 面面垂直的性 质定理 3 证明面面垂直 面面垂直的定义 面面垂直的判定定理 2 证明面面平行的常用的方法是利用判定定理 其关键是结合图形与条件在平面内寻 找两相交直线分别平行于另一平面 例 6 如图 平面 PAC 平面 ABC ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形 E F O 分别为 PA PB AC 的中点 AC 16 PA PC 10 1 设 G 是 OC 的中点 证明 FG 平面 BOE 2 证明 在 ABO 内存在一点 M 使 FM 平面 BOE 证明 1 如图 连接 OP 以点 O 为坐标原点 OB OC OP 所在直线为 x 轴 y 轴 z 轴 师大教育 助你成功 建立空间直角坐标系 O xyz 则 O 0 0 0 A 0 8 0 B 8 0 0 C 0 8 0 P 0 0 6 E 0 4 3 F 4 0 3 方法技巧 1 用向量法来证明平行与垂直 避免了繁杂的推理论证而直接计算就行了 把几何问 题代数化 尤其是正方体 长方体 直四棱柱中相关问题证明用向量法更简捷 但是向量 法要求计算必须准确无误 2 利用向量法的关键是正确求平面的法向量 赋值时注意其灵活性 注意 0 0 0 不能 作为法向量 考点七考点七 利用空间向量求角利用空间向量求角 1 向量法求异面直线所成的角 若异面直线 a b 的方向向量分别为 a b 异面直线所成的角为 则 cos cos a b a b a b 2 向量法求线面所成的角 求出平面的法向量 n 直线的方向向量 a 设线面所成的角为 则 sin cos n a n a n a 师大教育 助你成功 3 向量法求二面角 求出二面角 l 的两个半平面 与 的法向量 n1 n2 若二面角 l 所成的角 为锐角 则 cos cos n1 n2 n1 n2 n1 n2 若二面角 l 所成的角 为钝角 则 cos cos n1 n2 n1 n2 n1 n2 例 7 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PA 平面 ABCD 底面 ABCD 是菱形 AB 2 BAD 60 1 求证 BD 平面 PAC 2 若 PA AB 求 PB 与 AC 所成角的余弦值 3 当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时 求 PA 的长 3 由 2 知 1 0 3 设 P 0 t t 0 3 师大教育 助你成功 则 1 t 3 设平面 PBC 的一个法向量 m x y z 考点八考点八 利用空间向量解决探索性问题利用空间向量解决探索性问题 利用空间向量解决探索性问题 它无需进行复杂繁难的作图 论证 推理 只须通过 坐标运算进行判断 在解题过程中 往往把 是否存在 问题 转化为 点的坐标是否有解 是否有规定范围的解 等 可以使问题的解决更简单 有效 应善于运用这一方法 例 8 如图 在三棱锥 P ABC 中 AB AC D 为 BC 的中点 PO 平面 ABC 垂 足 O 落在线段 AD 上 已知 BC 8 PO 4 AO 3 OD 2 1 证明 AP BC 2 在线段 AP 上是否存在点 M 使得二面角 A MC B 为直二面角 若存在 求出 AM 的长 若不存在 请说明理由 解 1 证明 如图 以 O 为原点 以射线 OP 为 z 轴的正半轴 建立空间直角坐标系 师大教育 助你成功 O xyz 即Error 可取 n1 0 1 2 3 4 4 由Error 即Error 得Error 可取 n2 5 4 3 由 n1 n2 0 得 4 3 0 2 3 4 4 解得 故 AM 3 2 5 综上所述 存在点 M 符合题意 AM 3 难点探究难点探究 师大教育 助你成功 难点一难点一 空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积 例 1 1 一个空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 A 48 B 32 8 17 C 48 8 D 80 17 2 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 12 B 18 9 2 9 2 C 9 42 D 36 18 答案 1 C 2 B 解析 1 由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱 如图 所示 所以该直四棱柱的表面积为 S 2 2 4 4 4 4 2 4 2 4 48 8 1 21 1617 2 由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为 3 的球 下面是一个长 宽都为 3 高为 2 的长方体所构成的几何体 则其体积为 师大教育 助你成功 V V1 V2 3 3 3 2 18 故选 B 4 3 3 2 9 2 难点二难点二 球与多面体球与多面体 例 2 已知球的直径 SC 4 A B 是该球球面上的两点 AB ASC BSC 30 则棱锥 S ABC 的体积为 3 A 3 B 2 C D 1 333 解题规律与技巧解题规律与技巧 1 真实图形中和两坐标轴平行的线段在直观图中仍然和两坐标轴平行 在真实图形中 与 x 轴平行的线段在直观图中长度不变 在真实图形中和 y 轴平行的线段在直观图中变为 原来的一半 这种画法蕴含着一个一般的规律 在斜二测画法中 真实图形的面积和直观 图的面积之比是 2 2 2 空间几何体的面积有侧面积和表面积之分 表面积就是全面积 是一个空间几何体 中 暴露 在外的所有面的面积 在计算时要注意区分 是侧面积还是表面积 多面体的表 面积就是其所有面的面积之和 旋转体的表面积除了球之外 都是其侧面积和底面面积之 和 3 实际问题中的几何体往往不是单纯的柱 锥 台 球 往往是由柱 锥 台 球或 师大教育 助你成功 其一部分组成的组合体 解决这类组合体体积的基本方法就是 分解 将组合体 分解成若 干部分 每部分是柱 锥 台 球或其一个部分 分别计算其体积 然后根据组合体的结 构 将整个的体积转化为这些 部分体积 的和或差 历届高考真题历届高考真题 2012 年高考试题年高考试题 一 选择题 1 2012 高考真题新课标理 7 如图 格纸上小正方形的边长为1 粗线画出的 是某几何体的三视图 则此几何体的体积为 A6 B 9 C D 2 2012 高考真题浙江理 10 已知矩形 ABCD AB 1 BC 2 将 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折 在翻折过程中 A 存在某个位置 使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B 存在某个位置 使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C 存在某个位置 使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D 对任意位置 三对直线 AC 与 BD AB 与 CD AD 与 BC 均不垂直 答案 C 解析 最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着 观察在翻着过程 即 可知选项 C 是正确的 师大教育 助你成功 3 2012 高考真题新课标理 11 已知三棱锥SABC 的所有顶点都在球O的求面上 ABC 是边长为1的正三角形 SC为球O的直径 且2SC 则此棱锥的体积为 A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 4 2012 高考真题四川理 6 下列命题正确的是 A 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行 B 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行 C 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行 D 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 5 2012 高考真题四川理 10 如图 半径为R的半球O的底面圆O在平面 内 过点 O作平面 的垂线交半球面于点A 过圆O的直径CD作平面 成45 角的平面与半球面 相交 所得交线上到平面 的距离最大的点为B 该交线上的一点P满足60BOP 则A P两点间的球面距离为 C A O D B P A 2 arccos 4 R B 4 R C 3 arccos 3 R D 3 R 师大教育 助你成功 6 2012 高考真题陕西理 5 如图 在空间直角坐标系中有直三棱柱 111 ABCABC 1 2CACCCB 则直线 1 BC与直线 1 AB夹角的余弦值为 A 5 5 B 5 3 C 2 5 5 D 3 5 答案 A 解析 设aCB 则aCCCA2 1 2 0 0 2 0 0 0 0 0 2 11 aaBaCaBaA 2 0 2 2 11 aaBCaaaAB 5 5 cos 11 11 11 BCAB BCAB BCAB 故选 A 7 2012 高考真题湖南理 3 某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示 则该几何体 的俯视图不可能是 师大教育 助你成功 9 2012 高考真题广东理 6 某几何体的三视图如图所示 它的体积为 A 12 B 45 C 57 D 81 答案 C 解析 该几何体的上部是一个圆锥 下部是一个圆柱 根据三视图中的数量关系 可得 57533 53 3 1 2222 圆柱圆锥 VVV 故选 C 10 2012 高考真题福建理 4 一个几何体的三视图形状都相同 大小均相等 那么这 个几何体不可以是 A 球 B 三棱柱 C 正方形 D 圆柱 师大教育 助你成功 11 2012 高考真题重庆理 9 设四面体的六条棱的长分别为 1 1 1 1 2和a 且长 为a的棱与长为2的棱异面 则a的取值范围是 A 0 2 B 0 3 C 1 2 D 1 3 答案 A 解析 因为 2 2 2 1 1 2 2 1 2 BE则BEBF 222 BEBFAB 选 A 12 2012 高考真题北京理 7 某三棱锥的三视图如图所示 该三梭锥的表面积是 A 28 65 B 30 65 C 56 125 D 60 125 答案 B 解析 从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥 如图所示 图中蓝色数字所表 示的为直接从题目所给三视图中读出的长度 黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边 长 本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和 利用垂直关系和三角形面积公式 可 师大教育 助你成功 得 10 底 S 10 后 S 10 右 S 56 左 S 因此该几何体表面积 5630 左右后底 SSSSS 故选 B 13 2012 高考真题全国卷理 4 已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AB 2 CC1 2 2 E 为 CC1的中点 则直线 AC1与平面 BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 二 填空 14 2012 高考真题浙江理 11 已知某三棱锥的三视图 单位 cm 如图所示 则该 三棱锥的体积等于 cm3 师大教育 助你成功 答案 1 解析 观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形 右侧面也是一直角三角 形 故体积等于 11 3 1 21 23 15 2012 高考真题四川理 14 如图 在正方体 1111 ABCDABC D 中 M N分别 是CD 1 CC的中点 则异面直线 1 AM与DN所成角的大小是 N M B1 A1 C1 D1 B D C A 16 2012 高考真题辽宁理 13 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 答案答案 38 师大教育 助你成功 解析解析 由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱 其中长 方体的长 宽 高分别为 4 3 1 圆柱的底面直径为 2 所以该几何体的表面积为长方体 的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积 即为 2 3 44 1 3 1 21 1238 17 2012 高考真题山东理 14 如图 正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 1 E F分 别为线段 11 AA BC上的点 则三棱锥 1 DEDF 的体积为 18 2012 高考真题辽宁理 16 已知正三棱锥P ABC 点 P A B C 都在半径为3的 求面上 若 PA PB PC 两两互相垂直 则球心到截面 ABC 的距离为 答案答案 3 3 解析解析 因为在正三棱锥P ABC 中 PA PB PC 两两互相垂直 所以可以把该正 三棱锥看作为一个正方体的一部分 如图所示 此正方体内接于球 正方体的体对角线 为球的直径 球心为正方体对角线的中点 球心到截面 ABC 的距离为球的半径减去正三棱 师大教育 助你成功 锥P ABC 在面 ABC 上的高 已知球的半径为3 所以正方体的棱长为 2 可求得正三棱锥P ABC 在面 ABC 上的高为 2 3 3 所以球心到截面 ABC 的距离为 2 33 3 33 19 2012 高考真题上海理 8 若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2的半圆面 则该 圆锥的体积为 20 2012 高考真题上海理 14 如图 AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱 2 BC 若cAD2 且aCDACBDAB2 其中a c为常数 则四面体 ABCD的体积的最 大值是 答案 1 3 2 22 cac 解析 过点 A 做 AE BC 垂足为 E 连接 DE 由 AD BC 可知 BC 平面 ADE 所以BCSVVV ADEADECADEB 3 1 ADE S 3 2 当 AB BD AC DC a 时 四面体 ABCD 的体积最大 过 E 做 EF DA 垂足为点 F 已知 EA ED 所以 ADE 为等腰三角形 所以点 E 师大教育 助你成功 为 AD 的中点 又1 2222 aBEABAE EF 1 2222 caAFAE ADE S EFAD 2 1 1 22 cac 四面体 ABCD 体积的最大值 max V ADE S 3 2 1 3 2 22 cac 21 2012 高考江苏 7 5 分 分 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 3cmABAD 1 2cmAA 则四棱锥 11 ABB D D 的体积为 cm3 22 2012 高考真题安徽理 12 某几何体的三视图如图所示 该几何体的表面积 是 答案 92 解析 该几何体是底面是直角梯形 高为4的直四棱柱 几何体的表面积是 22 1 2 25 4 2544 52 492 2 S 23 2012 高考真题天津理 10 一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何 师大教育 助你成功 体的体积为 m3 3 1 36 3 22 3 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 24 2012 高考真题全国卷理 16 三菱柱 ABC A1B1C1中 底面边长和侧棱长都相等 BAA1 CAA1 60 则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 答案 3 6 解析 如图设 1 cACbABaAA 设棱长为 1 则 1 baAB bcaBCaBC 1 因为底面边长和侧棱长都相等 且 0 11 60 CAABAA所以 2 1 cbcaba 所以3 2 1 baAB 2 2 1 bcaBC 2 11 bcabaBCAB 设异面直线的夹角 为 所以 3 6 32 2 cos 11 11 BCAB BCAB 三 解答题 27 2012 高考真题湖北理 19 本小题满分 12 分 师大教育 助你成功 如图 1 45ACB 3BC 过动点 A 作ADBC 垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B 连接 AB 沿 AD将 ABD折起 使90BDC 如图 2 所示 当BD的长为多少时 三棱锥ABCD 的体积最大 当三棱锥ABCD 的体积最大时 设点E M分别为棱BC AC的中点 试 在 棱CD上确定一点N 使得EN BM 并求EN与平面BMN所成角的大小 第 19 题图 解法 2 同解法 1 得 32 1111 3 3 69 3326 A BCDBCD VAD Sxxxxxx 令 32 1 69 6 f xxxx 由 1 1 3 0 2 fxxx 且03x 解 得1x Z xx k Com D A BC A C D B 图 2 图 1 M E 师大教育 助你成功 当 0 1 x 时 0fx 当 1 3 x 时 0fx 所以当1x 时 f x取得最大值 故当1BD 时 三棱锥ABCD 的体积最大 师大教育 助你成功 故EN与平面BMN所成角的大小为60 解法 2 由 知 当三棱锥ABCD 的体积最大时 1BD 2ADCD 如图 b 取CD的中点F 连结MF BF EF 则MF AD 由 知AD 平面BCD 所以MF 平面BCD 如图 c 延长FE至 P 点使得FPDB 连BP DP 则四边形DBPF为正方 形 所以DPBF 取DF的中点N 连结EN 又E为FP的中点 则 EN DP 所以ENBF 因为MF 平面BCD 又EN 面BCD 所以MFEN 又MFBFF 所以EN 面BMF 又BM 面BMF 所以ENBM 因为ENBM 当且仅当ENBF 而点 F 是唯一的 所以点N是唯一的 即当 1 2 DN 即N是CD的靠近点D的一个四等分点 ENBM 连接MN ME 由计算得 5 2 NBNMEBEM 所以 NMB与 EMB是两个共底边的全等的等腰三角形 如图 d 所示 取BM的中点G 连接EG NG 则BM 平面EGN 在平面EGN中 过点E作EHGN 于H 则EH 平面BMN 故ENH 是EN与平面BMN所成的角 C A D B 图 a E M x y z 图 b C A D B E F M N 图 c B D P C F N E B G M N E H 图 d 第 19 题解答图 N 师大教育 助你成功 在 EGN中 易得 2 2 EGGNNE 所以 EGN是正三角形 故60ENH 即EN与平面BMN所成角的大小为60 28 2012 高考真题新课标理 19 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 1 1 2 ACBCAA D是棱 1 AA的中点 BDDC 1 1 证明 BCDC 1 2 求二面角 11 CBDA 的大小 师大教育 助你成功 29 2012 高考江苏 16 14 分 分 如图 在直三棱柱 111 ABCABC 中 1111 ABAC DE 分 别是棱 1 BCCC 上的点 点D 不同于点C 且ADDEF 为 11 BC的中点 求证 1 平面ADE 平面 11 BCC B 2 直线 1 AF平面ADE 师大教育 助你成功 解析解析 1 要证平面ADE 平面 11 BCC B 只要证平面ADE上的AD 平面 11 BCC B即 可 它可由已知 111 ABCABC 是直三棱柱和ADDE 证得 2 要证直线 1 AF平面ADE 只要证 1 AF 平面ADE上的AD即可 32 2012 高考真题北京理 16 本小题共 14 分 如图 1 在 Rt ABC 中 C 90 BC 3 AC 6 D E 分别是 AC AB 上的点 且 DE BC DE 2 将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置 使 A1C CD 如图 2 I 求证 A1C 平面 BCDE II 若 M 是 A1D 的中点 求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小 III 线段 BC 上是否存在点 P 使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直 说明理由 答案 解 1 CDDE 1 AEDE DE 平面 1 ACD 师大教育 助你成功 又 1 AC 平面 1 ACD 1 AC DE 又 1 ACCD 1 AC 平面BCDE 2 如图建系Cxyz 则 200D 002 3A 030B 220E 1 032 3AB 1 210AE 设平面 1 ABE法向量为 nxyz 则 1 1 0 0 AB n AE n 32 30 20 yz xy 3 2 2 zy y x 123n 又 103M 103CM 1342 cos 2 143132 2 2 CM n CMn CM与平面 1 ABE所成角的大小45 z y x A1 0 0 2 3 D 2 0 0 E 2 2 0 B 0 3 0 C 0 0 0 M 师大教育 助你成功 3 3 2012 高考真题浙江理 20 本小题满分 15 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面是边 长为2 3的菱形 且 BAD 120 且 PA 平面 ABCD PA 2 6 M N 分别为 PB PD 的中点 证明 MN 平面 ABCD 过点 A 作 AQ PC 垂足为点 Q 求二面角 A MN Q 的平面角的余弦值 答案 如图连接 BD M N 分别为 PB PD 的中点 在 PBD 中 MN BD 又 MN 平面 ABCD MN 平面 ABCD 如图建系 师大教育 助你成功 A 0 0 0 P 0 0 2 6 M 3 2 3 2 0 N 3 0 0 C 3 3 0 设 Q x y z 则 33 33 2 6 CQxyzCP 332 6 CQCP 33332 6 Q 由0OQCPOQ CP 得 1 3 即 2 32 6 2 33 Q 40 2012 高考真题湖南理 18 本小题满分 12 分 如图 5 在四棱锥 P ABCD 中 PA 平面 ABCD AB 4 BC 3 AD 5 DAB ABC 90 E 是 CD 的中点 证明 CD 平面 PAE 若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等 求四棱锥 P ABCD 的体积 师大教育 助你成功 由PAABCD 平面知 PBA 为直线PB与平面ABCD所成的角 4 2 ABAGBGAF 由题意 知 PBABPF 因为sin sin PABF PBABPF PBPB 所以 PABF 由90 DABABCADBCBGCD 知 又 所以四边形BCDG是平行四边 形 故3 GDBC 于是2 AG 在Rt BAG中 4 2 ABAGBGAF 所以 2 22 168 5 2 5 52 5 AB BGABAGBF BG 于是 8 5 5 PABF 师大教育 助你成功 又梯形ABCD的面积为 1 53 416 2 S 所以四棱锥PABCD 的体积为 118 5128 5 16 33515 VSPA 解法 2 如图 2 以 A 为坐标原点 AB AD AP所在直线分别为 xyz轴 轴 轴建立空间直角坐标系 设 PAh 则相关的各点坐标为 4 0 0 4 0 0 4 3 0 0 5 0 2 4 0 0 0 ABCDEPh cos cos CD PBPA PB CD PBPA PB CDPBPAPB 即 由 知 4 2 0 0 0 CDAPh 由 4 0 PBh 故 2 2 2 160000 16 2 516 h hh h 师大教育 助你成功 解得 8 5 5 h 又梯形 ABCD 的面积为 1 53 416 2 S 所以四棱锥PABCD 的体积为 118 5128 5 16 33515 VSPA 2011 年高考试题年高考试题 一 选择题一 选择题 1 2011 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 11 下图是长和宽分别相等的两个矩形 给定下列三个命题 下图是长和宽分别相等的两个矩形 给定下列三个命题 存在三棱柱 其正存在三棱柱 其正 主主 视图 俯视图如下图 视图 俯视图如下图 存在四棱柱 其正存在四棱柱 其正 主主 视图 俯视图如视图 俯视图如 下图 下图 存在圆柱 其正存在圆柱 其正 主主 视图 俯视图如下图 其中真命题的个数是视图 俯视图如下图 其中真命题的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 答案 A 解析 对于 可以是放倒的三棱柱 容易判断 可以 4 2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 6 一个空间几何体得三视图如图所示 则该几何体的表面积 为 A 48 B 32 8 C 48 8 D 80 答案 C 解析 由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱 底面等腰梯形的上底为 2 下底为 4 高为 4 故 S 表 5 2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 8 如图 四棱锥 S ABCD 的底面为正方形 SD 底面 ABCD 则下列结论中不正确的是 师大教育 助你成功 A AC SB B AB 平面 SCD C SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 8 2011 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 8 已知 1 2 3 是三个相互平行的平面 平面 1 2 之 间的距离为 1 d 平面 2 3 之间的距离为 2 d 直线l与 1 2 3 分别相交于 1 P 2 P 3 P 那么 12 PP 23 P P 是 12 dd 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 过点 1 P作平面 2 的垂线 g 交平面 2 3 分别于点 A B 两点 由两个平面平 行的性质可知 2 P A 3 PB 所以 121 122 PPd PPd 故选 C 师大教育 助你成功 3 3 2 正视图侧视图 俯视图 图 1 9 2011 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 3 设图 1 是某几何体的三视图 则该几何体的体积为 A 12 2 9 B 18 2 9 C 429 D 1836 答案 B 解析 由三视图可以还原为一个底面为边长是 3 的正方形 高为 2 的长方体以及一个 直径为 3 的球组成的简单几何体 其体积等于 233 2 3 3 4 3 18 2 9 故选 B 10 2011 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 7 如图如图 l 3 某几何体的正视图 某几何体的正视图 主视图主视图 是平行四边形 是平行四边形 侧视图侧视图 左视图左视图 和俯视图都是矩形 则该几何体的体积为 和俯视图都是矩形 则该几何体的体积为 A 6 3 B 9 3 C 12 3 D 18 3 解析 B 由题得三视图对应的直观图是如图所示的直四棱柱 ABCDEA平面 393123 2 hSV ABCD平行四边形 所以选 B 师大教育 助你成功 11 2011 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 5 某几何体的三视图如图所示 则它的体积是 A 2 8 3 B 8 3 C 82 D 2 3 答案 A 12 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 9 高为 2 4 的四棱锥 S ABCD 的 底面是边长为 1 的正方形 点 S A B C D 均在半径为 1 的同一球面上 则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离 为 A 2 4 B 2 2 C 1 D 2 解析 选 C 设底面中心为 G 球心为 O 则易得 2 2 AG 于是 2 2 OG 用一 个与 ABCD 所在平面距离等于 2 4 的平面去截球 S 便为其中一个交点 此平面的中心设 H G F E D C B A 3 1 2 3 师大教育 助你成功 为 H 则 222 244 OH 故 2 22 27 1 48 SH 故 2 22 72 1 84 SGSHHG 15 2011 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 11 已知平面 截一球面得圆 M 过圆心 M 且与 成 0 60 二面角的平面 截该球面得圆 N 若该球的半径为 4 圆 M 的面积为 4 则圆 N 的面积 为 A 7 B 9 c 11 D 13 答案 D 解析 由圆M的面积为4 得2MA 222 4212OM 2 3OM 在 0 30Rt ONMOMN A中 2 1 3 313 2 ONOM 2 r 4 13 N S 圆 故选 D 二 填空题二 填空题 1 2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 15 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等 体积为32 它的三视图中的俯视图如右图所示 左视图是一个矩形 则这个矩形的面积是 60 B A O N M 师大教育 助你成功 2 2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 15 已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4 的球O的 球面上 且6 2 3ABBC 则棱锥OABCD 的体积为 答案 38 解析 如图 连接矩形对角线的交点 1 O和球心O 则 32 2 1 34 1 ACAOAC 四棱锥的高为 2 32 4 22 1 OO 所以 体积为382326 3 1 V 3 2011 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 10 一个几何体的三视图如图所示 单位 一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则这个几 则这个几 何体的体积为何体的体积为 3 m 4 2011 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 15 如图 半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱 当圆柱的侧面积最 大时 求球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 答案 2 2 R 解析 22222 max 224 SrRrrRrS 侧侧 时 2 2222 2 22 R rRrrrR 则 222 422RRR 三 解答题三 解答题 j o1 B D C A o 师大教育 助你成功 1 2011 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 19 本小题满分 本小题满分 12 分 在如图所示的几何体中 四边形分 在如图所示的几何体中 四边形 ABCD 为平行四边形 为平行四边形 ACB 90 平面平面 EF 若 是线段 的中点 求证 若 是线段 的中点 求证 平面 平面 若 若 求二面角 求二面角 的大小 的大小 解析 连结 AF 因为 EF EF F 所以平面 EFG 平面 ABCD 又易证 EFG ABC 所以 1 2 FGEF BCAB 即 1 2 FGBC 即 1 2 FGAD 又 M 为 AD 的中点 所以 1 2 AMAD 又因为 D 所 以 M 所以四边形 AMGF 是平行四边形 故 GM FA 又因为 平面 FA 平面 所以 平面 取 AB 的中点 O 连结 CO 因为 所以 CO AB 又因为 平面 CO 平面 所以 CO 又 AB A 所以 CO 平面 在平面 ABEF 内 过点 O 作 OH BF 于 H 连结 CH 由三垂线定理知 CH BF 所以CHO 为二面角 的平面角 设 2a 因为 ACB 90 2a CO a 2 2 AEa 连结 FO 容易证得 FO EA 且 2 2 FOa 所以 6 2 BFa 所以 OH 22 26 a 3 3 a 所以 师大教育 助你成功 在Rt COH 中 tan CHO CO OH 3 故 CHO 60 所以二面角 的大小为 60 2 2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 20 本题满分 15 分 如图 在三棱锥PABC 中 ABAC D 为 BC 的中点 PO 平面 ABC 垂足 O 落在线段 AD 上 已知 BC 8 PO 4 AO 3 OD 2 证明 AP BC 在线段 AP 上是否存在点 M 使得二面角 A MC 为直二面角 若存在 求出 AM 的长 若不存在 请说明理由 平面APC的法向量 2222 nxyz 师大教育 助你成功 由 1 2 0 0 BM n BC n 得 111 1 4 23 44 0 80 xyz x 即 1 11 0 23 44 x zy 可取 1 23 0 1 44 n 由 2 2 0 0 AP n AC n 即 22 22 340 450 yz xy 得 22 22 5 4 3 4 xy zy 可取 2 5 4 3 n 由 12 0n n 得 23 430 44 解得 4 5 故3AM 综上所述 存在点 M 符合题意 3AM 从而cos2PMPBBPA 所以3AMPAPM 综上所述 存在点 M 符合题意 3AM 5 2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 18 本小题满分 12 分 师大教育 助你成功 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为平行四边形 DAB 60 AB 2AD PD 底面 ABCD a 2a B DC A p 证明 PA BD 若 PD AD 求二面角 A PB C 的余弦值 师大教育 助你成功 8 2011 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 19 本小题满分 12 分 如图 5 在圆锥PO中 已知PO 2 O 的直径2AB C是AAB的中点 D为AC的中点 证明 平面POD 平面PAC 求二面角BPAC 的余弦值 解法 1 连结 OC 因为 OAOC DAC 是的中点 所以ACO D 又PO 底面 O AC 底面 O 所以ACPO 因为 OD PO 是平面 POD 内的两条相交直线 所以AC 平面 POD 而AC 平面 PAC 所以平面 POD 平面 PAC II 在平面 POD 中 过 O 作OHPD 于 H 由 I 知 平面 PODPAC 平面 所以OH 平面 PAC 又 PA 面 PAC 所以 PAOH 在平面 PAO 中 过 O 作OG PA 于 G 连接 HG 则有PA 平面 OGH 从而PAHG 故OGH 为二面角 B PA C 的平面 角 在 2 sin45 2 Rt ODAODOA 中 师大教育 助你成功 在 22 2 2 10 2 51 2 2 PO OD Rt PODOH POOD 中 在 22 2 16 321 PO OA Rt POAOG POOA 中 在 10 15 5 sin 56 3 OH Rt OHGOGH OG 中 所以 2 1510 cos1 sin1 255 OGHOGH 故二面角 B PA C 的 余弦值为 10 5 所以 11111 0 1 1 1 0 zxyyn 取得设 2222 nxyz 是平面 PAC 的一个法向 量 师大教育 助你成功 则由 22 0 0nPAnPC 得 22 22 20 20 xz yz 所以 22222 2 2 1 xzyz 取z得 2 2 2 1 n 因为 12 1 1 0 2 2 1 0 n n 9 2011 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 18 如图如图 5 在椎体 在椎体PABCD 中 中 ABCD是边长为是边长为 1 的棱形 的棱形 且且 0 60DAB 2PAPD 2 PB E F分别是分别是 BC PC的中点 的中点 1 证明 证明 ADDEF 平面 2 求二面角 求二面角PADB 的余弦值 的余弦值 解析解析 法一 1 证明 取 AD 中点 G 连接 PG BG BD 因 PA PD 有PGAD 在ABD 中 1 60ABADDAB 有ABD 为 师大教育 助你成功 等边三角形 因此 BGAD BGPGG 所以AD 平面 PBG ADPB ADGB 又 PB EF 得ADEF 而 DE GB 得 AD DE 又FEDEE 所以 AD 平面 DEF 2 PGAD BGAD PGB 为二面角 P AD B 的平面角 在 222 7 4 Rt PAGPGPAAG 中 在 3 2 Rt