2014年中考专题复习第18讲等腰三角形与直角三角形

第十八讲第十八讲 等腰三角形与直角三角形等腰三角形与直角三角形 基础知识回顾基础知识回顾 一 等腰三角形 1 定义 有两边 的三角形叫做等腰三角形 其中 的三角形叫做等边 三角形 2 等腰三角形的性质 等腰三角形的两腰 等腰三角形的两个底角 简称为 等腰三角形的顶角平分线 互相重合 简称为 等腰三角形是轴对称图形 它有 条对称轴 是 3 等腰三角形的判定 定义法 有两边相等的三角形是等腰三角形 有两 相等的三角形是等腰三 角形 简称 名师提醒 名师提醒 1 等腰三角形的性质还有 等腰三角形两腰上的 等腰三角形的性质还有 等腰三角形两腰上的 相等 两腰上的相等 两腰上的 相等 两底角的平分线也相等相等 两底角的平分线也相等 2 因为等腰三角形腰和底角的特殊性 所以在题目中 因为等腰三角形腰和底角的特殊性 所以在题目中 往常出现对边和角的讨论问题 讨论边时应注意保证往常出现对边和角的讨论问题 讨论边时应注意保证 讨论角时应主 讨论角时应主 要底角只被为要底角只被为 角角 4 等边三角形的性质 等边三角形的每个内角都 都等于 等边三角形也是 对称图形 它有 条对称轴 1 等边三角形的判定 有三个角相等的三角形是等边三角形 有一个角是 度的 三角形是等边三角形 名师提醒 名师提醒 1 等边三角形具备等腰三角形的所有性质 等边三角形具备等腰三角形的所有性质 2 有一个角是直角的等腰三角形是 有一个角是直角的等腰三角形是 三角形三角形 二 线段的垂直平分线和角的平分线 1 线段垂直平分线定义 一条线段且 这条线段的直线叫做线段的垂直平 分线 2 性质 线段垂直平分线上的点到 得距离相等 3 判定 到一条线段两端点距离相等的点在 4 角的平分线性质 角平分线上的点到 的距离相等 5 角的平分线判定 到角两边距离相等的点在 名师提醒 名师提醒 1 线段的垂直平分可以看作是 线段的垂直平分可以看作是 的点的集合 角平分线的点的集合 角平分线 可以看作是可以看作是 的点的集合 的点的集合 2 要能够用尺规作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线 要能够用尺规作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线 三 直角三角形 1 勾股定理和它的逆定理 勾股定理 若 一 个直角三角形的两直角边为 a b 斜边为 c 则 a b c 满足 逆定理 若一个三角形的三边 a b c 满足 则这个三角形是直角三 角形 名师提醒 名师提醒 1 勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛 要注意和二次根式的结合 勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛 要注意和二次根式的结合 2 勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据 勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据 3 勾股数 列举常见的勾股数三组 勾股数 列举常见的勾股数三组 2 直角三角形的性质 除勾股定理外 直角三角形还有如下性质 直角三角形两锐角 直角三角形斜边的中线等于 在直角三角形中如果有一个锐角是 300 那么它所对 边是 边的一半 3 直角三角形的判定 除勾股定理的逆定理外 直角三角形还有如下判定方法 定义法有一个角是 的三角形是直角三角形 有两个角 的三角形是直角三角形 如果一个三角形一边上的中线等于这边的 这个三角形是直角三角形 名师提醒 直角三角形的有关性质在四边形 相似图形 圆中均有广泛应用 要注意这名师提醒 直角三角形的有关性质在四边形 相似图形 圆中均有广泛应用 要注意这 几条性质的熟练掌握和灵活运用几条性质的熟练掌握和灵活运用 重点考点例析重点考点例析 考点一 角的平分线考点一 角的平分线 例例 1 1 2013 丽水 如图 在 Rt ABC 中 A Rt ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D AD 3 BC 10 则 BDC 的面积是 思路分析 思路分析 过 D 作 DE BC 于 E 根据角平分线性质求出 DE 3 根据三角形的面积求出即 可 解 解 如图 过 D 作 DE BC 于 E A 90 DA AB BD 平分 ABC AD DE 3 BDC 的面积是 DE BC 10 3 15 1 2 1 2 故答案为 15 点评 点评 本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用 注意 角平分线上的点到角两边 的距离相等 对应训练对应训练 1 2013 泉州 如图 AOB 70 QC OA 于 C QD OB 于 D 若 QC QD 则 AOQ 1 35 考点二 线段垂直平分线考点二 线段垂直平分线 例例 2 2 2013 义乌市 如图 AD BC 于点 D D 为 BC 的中点 连接 AB ABC 的平分线交 AD 于点 O 连结 OC 若 AOC 125 则 ABC 思路思路分析 分析 先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出 C 再根据 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 OB OC 根据等边对等角的性质求出 OBC C 然后根据角平分线的定义解答即可 解 解 AD BC AOC 125 C AOC ADC 125 90 35 D 为 BC 的中点 AD BC OB OC OBC C 35 OB 平分 ABC A 2 OBC 2 35 70 故答案为 70 点评 点评 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质 等边对等角的 性质 角平分线的定义 是基础题 准确识图并熟记各性质是解题的关键 对应训练对应训练 2 2013 天门 如图 在 ABC 中 AB AC A 120 BC 6cm AB 的垂直平分线交 BC 于点 M 交 AB 于点 E AC 的垂直平分线交 BC 于点 N 交 AC 于点 F 则 MN 的长为 A 4cmB 3cmC 2cmD 1cm 2 C 考点三 等腰三角形性质的运用考点三 等腰三角形性质的运用 例例 3 3 2013 武汉 如图 ABC 中 AB AC A 36 BD 是 AC 边上的高 则 DBC 的 度数是 A 18 B 24 C 30 D 36 思路分析 思路分析 根据已知可求得两底角的度数 再根据三角形内角和定理不难求得 DBC 的度 数 解 解 AB AC A 36 ABC ACB 7 2 BD 是 AC 边上的高 BD AC DBC 90 72 18 故选 A 点评 点评 本题主要考查等腰三角形的性质 解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质 和三角形的内角和定理进行答题 此题难度一般 对应训练对应训练 3 2013 云南 如图 已知 AB CD AB AC ABC 68 则 ACD 3 44 考点四 等边三角形的判定与性质考点四 等边三角形的判定与性质 例例 4 4 2013 黔西南州 如图 已知 ABC 是等边三角形 点 B C D E 在同一直线上 且 CG CD DF DE 则 E 度 思路分析 思路分析 根据等边三角形三个角相等 可知 ACB 60 根据等腰三角形底角相等即可 得出 E 的度数 解 解 ABC 是等边三角形 ACB 60 ACD 120 CG CD CDG 30 FDE 150 DF DE E 15 故答案为 15 点评 点评 本题考查了等边三角形的性质 互补两角和为 180 以及等腰三角形的性质 难度 适中 对应训练对应训练 4 2013 黄冈 已知 ABC 为等边三角形 BD 为中线 延长 BC 至 E 使 CE CD 1 连接 DE 则 DE 4 3 考点五 三角形中位线定理考点五 三角形中位线定理 例例 5 5 2013 昆明 如图 在 ABC 中 点 D E 分别是 AB AC 的中点 A 50 ADE 60 则 C 的度数为 A 50 B 60 C 70 D 80 思路分析 思路分析 在 ADE 中利用内角和定理求出 AED 然后判断 DE BC 利用平行线的性质可 得出 C 解 解 由题意得 AED 180 A ADE 70 点 D E 分别是 AB AC 的中点 DE 是 ABC 的中位线 DE BC C AED 70 故选 C 点评 点评 本题考查了三角形的中位线定理 解答本题的关键是掌握三角形中位线定理的内容 三角形的中位线平行于第三边 并且等于第三边的一半 对应训练对应训练 5 2013 厦门 如图 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O 点 E F 分别是线段 AO BO 的 中点 若 AC BD 24 厘米 OAB 的周长是 18 厘米 则 EF 厘米 5 3 考点六 直角三角形考点六 直角三角形 例例 6 6 2013 衢州 将一个有 45 角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3cm 的纸带边沿 上 另一个顶点在纸带的另一边沿上 测得三角板的一边与纸带的一 边所在的直线成 30 角 如图 则三角板的最大边的长为 A 3cmB 6cmC 3cmD 6cm22 思路分析 思路分析 过另一个顶点 C 作垂线 CD 如图 可得直角三角形 根据直角三角形中 30 角 所对的边等于斜边的一半 可求出有 45 角的三角板的直角直角边 再由等腰直角三角形 求出最大边 解 解 如图 过点 C 作 CD AD CD 3 在直角三角形 ADC 中 CAD 30 AC 2CD 2 3 6 又三角板是有 45 角的三角板 AB AC 6 BC2 AB2 AC2 62 62 72 BC 6 2 故选 D 点评 点评 此题考查的知识点是含 30 角的直角三角形及等腰直角三角形问题 关键是先由求 得直角边 再由勾股定理求出最大边 对应训练对应训练 6 2013 重庆 如图 在 ABC 中 A 45 B 30 CD AB 垂足为 D CD 1 则 AB 的长为 A 2B 2 C 1D 13 3 3 3 6 D 考点七 勾股定理考点七 勾股定理 例例 7 7 2013 扬州 矩形的两邻边长的差为 2 对角线长为 4 则矩形的面积为 思路分析 思路分析 设矩形一条边长为 x 则另一条边长为 x 2 然后根据勾股定理列出方程式求出 x 的值 继而可求出矩形的面积 解 解 设矩形一条边长为 x 则另一条边长为 x 2 由勾股定理得 x2 x 2 2 42 整理得 x2 2x 6 0 解得 x 1 或 x 1 不合题意 舍去 77 另一边为 1 7 则矩形的面积为 1 1 6 77 故答案为 6 点评 点评 本题考查了勾股定理及矩形的性质 难度适中 解答本题的关键是根据勾股定理列 出等式求处矩形的边长 要求同学们掌握矩形面积的求法 对应训练对应训练 7 2013 莆田 如图是一株美丽的勾股树 其中所有的四边形都是正方形 所有的三角 形都是直角三角形 若正方形 A B C D 的面积分别为 2 5 1 2 则最大的正方形 E 的面积是 7 10 聚焦山东中考聚焦山东中考 1 2013 临沂 如图 四边形 ABCD 中 AC 垂直平分 BD 垂足为 E 下列结论不一定成立 的是 A AB ADB AC 平分 BCDC AB BDD BEC DEC 1 C 2 2013 枣庄 如图 ABC 中 AB AC 10 BC 8 AD 平分 BAC 交 BC 于点 D 点 E 为 AC 的中点 连接 DE 则 CDE 的周长为 A 20B 12C 14D 13 2 C 3 2013 淄博 如图 ABC 的周长为 26 点 D E 都在边 BC 上 ABC 的平分线垂直于 AE 垂足为 Q ACB 的平分线垂直于 AD 垂足为 P 若 BC 10 则 PQ 的长为 A B C 3D 4 3 2 5 2 3 C 4 2013 威海 如图 在 ABC 中 A 36 AB AC AB 的垂直平分线 OD 交 AB 于点 O 交 AC 于点 D 连接 BD 下列结论错误的是 A C 2 A B BD 平分 ABC C S BCD S BOD D 点 D 为线段 AC 的黄金分割点 4 C 5 2013 莱芜 在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 点 A 的坐标为 1 M 为坐3 标轴上一点 且使得 MOA 为等腰三角形 则满足条件的点 M 的个数为 A 4B 5C 6D 8 5 C 6 2013 滨州 在等腰 ABC 中 AB AC A 50 则 B 6 65 7 2013 滨州 在 ABC 中 C 90 AB 7 BC 5 则边 AC 的长为 7 2 6 8 2013 烟台 如图 ABCD 的周长为 36 对角线 AC BD 相交于点 O 点 E 是 CD 的中点 BD 12 则 DOE 的周长为 8 15 9 2013 泰安 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 E 交 BC 的延长线于 F 若 F 30 DE 1 则 BE 的长是 9 2 10 2013 烟台 如图 ABC 中 AB AC BAC 54 BAC 的平分线与 AB 的垂直平 分线交于点 O 将 C 沿 EF E 在 BC 上 F 在 AC 上 折叠 点 C 与点 O 恰好重合 则 OEC 为 度 10 108 11 2013 菏泽 我们规定 将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图 形的 面线 面线 被这个平面图形截得的线段叫做该图形的 面径 例如圆的直径 就是它的 面径 已知等边三角形的边长为 2 则它的 面径 长可以是 写出 1 个即可 11 或介于和之间的任意两个实数 2323 12 2013 威海 操作发现 将一副直角三角板如图 摆放 能够发现等腰直角三角板 ABC 的斜边与含 30 角的直角三 角板 DEF 的长直角边 DE 重合 问题解决 将图 中的等腰直角三角板 ABC 绕点 B 顺时针旋转 30 点 C 落在 BF 上 AC 与 BD 交于点 O 连接 CD 如图 1 求证 CDO 是等腰三角形 2 若 DF 8 求 AD 的长 12 解 1 由图 知 BC DE BDC BCD DEF 30 BDC BCD 75 ACB 45 DOC 30 45 75 DOC BDC CDO 是等腰三角形 2 如图 作 AG BC 垂足为点 G DH BF 垂足为点 H 在 Rt DHF 中 F 60 DF 8 DH 4 HF 4 3 在 Rt BDF 中 F 60 DF 8 D B 8 BF 16 3 BC BD 8 3 AG BC ABC 45 BG AG 4 3 AG DH AG DH 四边形 AGHD 为矩形 AD GH BF BG HF 16 4 4 12 4 33 备考真题过关备考真题过关 一 选择题一 选择题 1 2013 成都 如图 在 ABC 中 B C AB 5 则 AC 的长为 A 2B 3C 4D 5 1 D 2 2013 南充 如图 ABC 中 AB AC B 70 则 A 的度数是 A 70 B 55 C 50 D 40 2 D 3 2013 淮安 若等腰三角形有两条边的长度为 3 和 1 则此等腰三角形的周长为 A 5B 7C 5 或 7D 6 3 B 4 2013 长沙 下列各图中 1 大于 2 的是 A B C D 4 D 5 2013 宜昌 如图 在矩形 ABCD 中 AB BC AC BD 相交于点 O 则图中等腰三角形 的个数是 A 8B 6C 4D 2 5 C 6 2013 南平 如图 在 ABC 中 AB AC DE BC ADE 48 则下列结论中不正确 的是 A B 48 B AED 66 C A 84 D B C 96 6 B 7 2013 遂宁 如图 在 ABC 中 C 90 B 30 以 A 为圆心 任意长为半径画 弧分别交 AB AC 于点 M 和 N 再分别以 M N 为圆心 大于MN 的长为半径画弧 两弧交 1 2 于点 P 连结 AP 并延长交 BC 于点 D 则下列说法中正确的个数是 AD 是 BAC 的平分线 ADC 60 点 D 在 AB 的中垂线上 S DAC S ABC 1 3 A 1B 2C 3D 4 7 D 8 2013 铁岭 如果三角形的两边长分别是方程 x2 8x 15 0 的两个根 那么连接这个三 角形三边的中点 得到的三角形的周长可能是 A 5 5B 5C 4 5D 4 8 A 9 2013 柳州 在 ABC 中 BAC 90 AB 3 AC 4 AD 平分 BAC 交 BC 于 D 则 BD 的长为 A B C D 15 7 12 5 20 7 21 5 9 A 10 2013 德宏州 在 Rt ABC 中 C 90 AB 10 若以点 C 为圆心 CB 为半径的圆 恰好经过 AB 的中点 D 则 AC A 5B 5 C 5 D 623 10 C 11 2013 大庆 正三角形 ABC 的边长为 3 依次在边 AB BC CA 上取点 A1 B1 C1 使 AA1 BB1 CC1 1 则 A1B1C1的面积是 A B C D 3 4 3 3 4 9 4 9 3 4 11 B 12 2013 鄂州 如图 已知直线 a b 且 a 与 b 之间的距离为 4 点 A 到直线 a 的距离 为 2 点 B 到直线 b 的距离为 3 AB 2 试在直线 a 上找一点 M 在直线 b 上找一点30 N 满足 MN a 且 AM MN NB 的长度和最短 则此时 AM NB A 6B 8C 10D 12 12 B 二 填空题二 填空题 13 2013 徐州 若等腰三角形的顶角为 80 则它的底角度数为 A 80 B 50 C 40 D 20 13 B 14 2013 白银 等腰三角形的周长为 16 其一边长为 6 则另两边为 14 6 4 或 5 5 15 2013 广州 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 PA 7 则 PB 15 7 16 2013 长沙 如图 BD 是 ABC 的平分线 P 为 BD 上的一点 PE BA 于点 E PE 4cm 则点 P 到边 BC 的距离为 cm 16 4 17 2013 宿迁 如图 为测量位于一水塘旁的两点 A B 间的距离 在地面上确定点 O 分别取 OA OB 的中点 C D 量得 CD 20m 则 A B 之间的距离是 m 17 40 18 2013 漳州 如图 正方形 ODBC 中 OC 1 OA OB 则数轴上点 A 表示的数是 18 2 19 2013 泰州 如图 ABC 中 AB AC 6cm BC 的垂直平分线 l 与 AC 相交于点 D 则 ABD 的周长为 cm 19 6 20 2013 资阳 在矩形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O 若 AOB 60 AC 10 则 AB 20 5 21 2013 吉林 如图 在平面直角坐标系中 点 A B 的坐标分别为 6 0 0 8 以点 A 为圆心 以 AB 长为半径画弧 交 x 正半轴于点 C 则点 C 的坐标为 21 4 0 22 2013 锦州 在 ABC 中 AB AC AB 的垂直平分线 DE 与 AC 所在的直线相交于点 E 垂足为 D 连接 BE 已知 AE 5 tan AED 则 BE CE 3 4 22 6 或 16 23 2013 无锡 如图 ABC 中 AB AC DE 垂直平分 AB BE