三角函数九类经典题型

1 三角函数九种经典类型题三角函数九种经典类型题 类型一类型一 同角三角函数关系式的应用同角三角函数关系式的应用 1 1 已知 tan 2 则 sin2 sin cos 2cos2 2 已知 sin cos 且 则 cos sin 的值为 1 8 5 4 3 2 答案 1 2 4 5 3 2 解析 1 由于 tan 2 则 sin2 sin cos 2cos2 sin2 sin cos 2cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin cos cos2 2 sin2 cos2 1 tan2 tan 2 tan2 1 22 2 2 22 1 4 5 2 5 4 3 2 cos 0 sin 0 且 cos sin cos sin 0 又 cos sin 2 1 2sin cos 1 2 1 8 3 4 cos sin 3 2 思维升华 1 利用 sin2 cos2 1 可以实现角 的正弦 余弦的互化 利用 tan 可以实现角 的弦切互化 2 应用公式时注意方程思想的应用 对于 sin cos sin cos sin cos sin cos 这三个式子 利用 sin cos 2 1 2sin cos 可以知一求二 3 注意公式逆用及变形应用 1 sin2 cos2 sin2 1 cos2 cos2 1 sin2 2 已知 sin cos 0 则 tan 2 答案 1 解析 由Error Error 消去 sin 得 2cos2 2cos 1 0 2 即 cos 1 2 0 2 cos 2 2 2 又 0 3 4 tan tan 1 3 4 类型二类型二 诱导公式的应用诱导公式的应用 1 已知 sin 则 cos的值为 12 1 3 7 12 解析 1 cos cos 7 12 12 2 sin 12 1 3 思维升华 1 诱导公式用法的一般思路 化大角为小角 角中含有加减的整数倍时 用公式去掉的整数倍 2 2 2 常见的互余和互补的角 常见的互余的角 与 与 与 等 3 6 3 6 4 4 常见的互补的角 与 与 等 3 2 3 4 3 4 2 已知 sin 则 cos 3 1 2 6 解析 3 6 2 cos cos 6 2 3 sin 3 1 2 变式 已知 sin 则 3 1 2 2 6 cos 类型三类型三 三角函数的单调性三角函数的单调性 1 1 函数 f x tan的单调递增区间是 2x 3 2 已知 0 函数 f x sin在上单调递减 则 的取值范围是 x 4 2 3 答案 1 k Z 2 k 2 12 k 2 5 12 1 2 5 4 解析 1 由 k 2x k k Z 得 2 3 2 x k Z k 2 12 k 2 5 12 所以函数 f x tan的单调递增区间为 k Z 2x 3 k 2 12 k 2 5 12 2 由 x 0 得 2 x 2 4 4 4 又 y sin x 在上递减 2 3 2 所以Error 解得 1 2 5 4 思维升华 1 已知三角函数解析式求单调区间 求函数的单调区间应遵循简单化原则 将解析式先化简 并注意复合函数单调性规律 同增异减 求形如 y Asin x 或 y Acos x 其中 0 的单调区间时 要视 x 为一个整体 通过解不等式求 解 但如果 0 那么一定先借助诱导公式将 化为正数 防止把单调性弄错 2 已知 三角函数的单调区间求参数 先求出整体函数的单调区间 然后利用集合间的关系求解 2 1 函数 f x sin的单调减区间为 2x 3 2 已知 0 函数 f x cos在上单调递增 则 的取值范围是 x 4 2 答案 1 k Z 2 k 12 k 5 12 3 2 7 4 解析 1 由已知函数为 y sin 2x 3 欲求函数的单调减区间 只需求 y sin的单调增区间 2x 3 由 2k 2x 2k k Z 2 3 2 得 k x k k Z 12 5 12 4 故所给函数的单调减区间为 k Z k 12 k 5 12 2 函数 y cos x 的单调递增区间为 2k 2k k Z 则Error k Z 解得 4k 2k k Z 5 2 1 4 又由 4k 0 k Z 且 2k 0 k Z 5 2 2k 1 4 1 4 得 k 1 所以 3 2 7 4 类型四类型四 三角函数的周期性 对称性三角函数的周期性 对称性 1 1 已知函数 f x sin x 的最小正周期是 若将 f x 的图象向右平移 0 2 个单位后得到的图象关于原点对称 则关于函数 f x 的图象 下列叙述正确的有 3 填正确的序号 关于直线 x 对称 关于直线 x 对称 12 5 12 关于点对称 关于点对称 12 0 5 12 0 2 已知函数 y 2sin的图象关于点 P x0 0 对称 若 x0 则 x0 2x 3 2 0 解析 1 由题意知 2 2 又由 f x 的图象向右平移 个单位后得到 y sin 2 sin 此时关于原 3 x 3 2x 2 3 点对称 k k Z k k Z 又 2 3 2 3 2 2 3 k 2 k 1 f x sin 当 x 时 3 2x 3 12 2x 错误 当 x 时 2x 正确 错误 3 6 5 12 3 2 2 由题意可知 2x0 k k Z 故 x0 k Z 又 x0 k 0 时 3 k 2 6 2 0 x0 6 5 2 若函数 y cos N 图象的一个对称中心是 则 的最小值为 x 6 6 0 答案 2 解析 由题意知 k k Z 6k 2 k Z 又 N min 2 6 6 2 思维升华 1 对于函数 y Asin x 其对称轴一定经过图象的最高点或最低点 对称 中心一定是函数的零点 因此在判断直线 x x0或点 x0 0 是不是函数的对称轴或对称中心 时 可通过检验 f x0 的值进行判断 2 求三角函数周期的方法 利用周期函数的定义 利用公式 y Asin x 和 y Acos x 的最小正周期为 y tan x 的最小 2 正周期为 3 1 已知函数 f x 2sin x 对于任意 x 都有 f f 则 f的值为 6 x 6 x 6 2 已知函数 f x sin x acos x 的图象关于直线 x 对称 则实数 a 的值为 5 3 答案 1 2 或 2 2 解析 1 f f x 是函数 f x 2sin x 的 3 3 6 x 6 x 6 一条对称轴 f 2 6 2 由 x 是 f x 图象的对称轴 可得 f 0 f 解得 a 5 3 10 3 3 3 类型五类型五 函数函数 y Asin x 的图象及变换的图象及变换 1 1 把函数 y sin x 图象上各点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 再将图象向右 6 1 2 平移 个单位长度 那么所得图象的一条对称轴方程为 填正确的序号 3 x x x x 2 4 8 4 2 设函数 f x cos x 0 将 y f x 的图象向右平移 个单位长度后 所得的图象与原 3 图象重合 则 的最小值等于 6 解析 1 将 y sin x 图象上各点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 得到函数 6 1 2 y sin 2x 再将图象向右平移 个单位长度 得到函数 y sin 2 x sin 2x 6 3 3 6 2 故 x 是其图象的一条对称轴方程 2 2 由题意可知 nT n N 3 n n N 2 3 6n n N 当 n 1 时 取得最小值 6 类型六类型六 由图象确定由图象确定 y Asin x 的解析式的解析式 1 1 已知函数 y Asin x A 0 0 的图象上一个最高点的坐标为 2 22 由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与 x 轴交于点 6 0 则此函数的解析式为 2 函数 f x Asin x A 0 0 的部分图象如图所示 则函数 f x 的解析式 为 解析 1 由题意得 A 6 2 所以 T 16 又 sin 1 所以 2 T 4 2 T 8 8 2 2k k Z 又因为 所以 4 2 2 4 2 由题图可知 A 所以 T 故 2 因此 f x sin 2x 2 T 4 7 12 3 42 又为最小值点 2 2k k Z 2k k Z 7 12 2 7 12 3 2 3 又 故 f x sin 2x 32 3 2 函数 f x 2sin x 的部分图象如图所示 则 0 2 2 答案 3 7 解析 T 2 11 12 5 12 T 又 T 0 2 由五点作图法可知当 x 时 x 2 2 5 12 2 即 2 5 12 2 3 类型七 三角函数图象性质的应用类型七 三角函数图象性质的应用 1 已知关于 x 的方程 2sin2x sin 2x m 1 0 在上有两个不同的实数根 则 m 的 3 2 取值范围是 答案 2 1 解析 方程 2sin2x sin 2x m 1 0 可转化为 m 1 2sin2x sin 2x cos 2x sin 2x 333 2sin x 设 2x t 则 t 2x 6 2 6 7 6 13 6 题目条件可转化为 sin t t 有两个不同的实数根 m 2 7 6 13 6 y 和 y sin t t 的图象有两个不同交点 如图 m 2 7 6 13 6 由图象观察知 的范围为 1 故 m 的取值范围是 2 1 m 2 1 2 类型八类型八 角的变换问题角的变换问题 1 1 1 设 都是锐角 且 cos sin 则 cos 5 5 3 5 2 已知 cos sin 则 sin 的值是 6 4 5 3 7 6 答案 1 2 2 5 25 4 5 解析 1 依题意得 sin cos 1 cos2 2 5 5 1 sin2 4 5 又 均为锐角 所以 0 cos 因为 所以 cos 4 5 5 5 4 5 于是 cos cos 4 5 8 cos cos sin sin 4 5 5 5 3 5 2 5 5 2 5 25 2 cos sin cos sin cos sin 6 4 5 3 3 2 3 2 4 5 3 3 1 2 3 2 4 5 3 sin sin sin sin 3 6 4 5 3 6 4 5 7 6 6 4 5 2 2 若 0 0 cos cos 则 cos 2 2 4 1 3 4 2 3 3 2 答案 5 3 9 解析 cos cos coscos sinsin 2 4 4 2 4 4 2 4 4 2 0 2 4 4 3 4 sin 又 0 则 sin 4 2 2 3 2 4 4 2 2 4 2 6 3 故 cos 2 1 3 3 3 2 2 3 6 3 5 3 9 3 3 1 已知 0 且 cos sin 则 cos 的值为 2 2 1 9 2 2 3 2 已知在 ABC 中 sin A B cos B 则 cos A 2 3 3 4 易错分析 1 角 的范围没有确定准确 导致开方时符号错误 2 2 2 对三角形中角的范围挖掘不够 忽视隐含条件 B 为钝角 解析 1 0 cos 2 4 2 2 4 2 2 sin cos cos 1 sin2 2 5 3 2 1 cos2 2 4 5 9 2 2 2 coscos sinsin 2 2 2 2 1 9 5 3 4 5 9 2 3 7 5 27 cos 2cos2 1 2 1 2 49 5 729 239 729 2 在 ABC 中 cos B B sin B 3 4 21 cos2B 7 4 9 B A B sin A B cos A B 2 2 3 1 sin2 A B 5 3 cos A cos A B B cos A B cos B sin A B sin B 5 3 3 4 2 3 7 4 3 5 2 7 12 类型九类型九 三角函数的求角问题三角函数的求角问题 1 1 已知锐角 满足 sin cos 则 5 5 3 10 10 2 已知方程 x2 3ax 3a 1 0 a 1 的两根分别为 tan tan 且 则 2 2 解析 1 由 sin cos 且 为锐角 可知 cos sin 5 5 3 10 10 2 5 5 10 10 故 cos cos cos sin si